2022年数学百色专用一轮复习教学案-教材知识特训3平行线与角的平分线的几大模型

特训1平行线的两线一点模型教材知识特训三平行线与角的平分线的几大模型图1中，NBED=/B+/D；图2中，Z BED=360一/3一/；图3中，ZBED=/D-/B；/BED=/B-/D—.图4中，本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键是作辅助线，即过拐点作平行线.过点石作射线后方〃【解析】AB,由平行于同一条直线的两条直线平行，可得〃后「再由平行线的性质即可——解答.特训2平行线的两线多点模型【例1】请你探究出图1至图4各图中Nb与N3EO之间的数量关系:【例2】已知A5〃CD

（1）如图1,探究NB,ZD,NE与//之间的数量关系；⑵如图2,直接写出N/D,NE与N/之间的数量关系;⑶如图3,你可以得到什么结论？（直接写出结论）【解析】类同【例1】作辅助线，根据平行线的性质即可得到结论.【解答】解

（1）过点£作射线过点b作射线尸VAB//CD,.AB//EM//FN//CD..Z1=ZB,N2=N3,N4=ND.ZB+ZDFE=ZBEF+ND;⑵图2中，180°+ZF=ZB+ZE+ZD;〃尸3/Ei+/及+…+/E=N8+/2+…+N氏一+/B+ND【例3】图

①中AIM〃A2N,图

②中AIM〃A3N,图

③中AIM〃A4N,图

④中4A/〃A5M…，则图@中的N Ai+ZA2+ZA3+…+N A〃+1=180/1°用含〃的代数式表示.

（2）【解析】分别求出图

①、图

②、图

③中这些角的和，探究规律后，依据规律解决问题即可.图

①中，ZAI+ZA=180°=1X180°;2图

②中，ZA1+ZA+ZA=360°=2x180°;23图

③中，NAi+ZA+ZA+ZA=540°=3x180°;234图8中，N4+ZA+NA3+…+NA〃+i=〃•180°.2特训3模型点拨通过角的平分线的性质，常用三角形的内角和定理与三角形的外角的性质，找到探求的两个角之间的数量关系，理解其推算过程，碰到类似题型快速而准确求解，也可以逆推进行验算.【例4】1如图1,在△ABC中，点是NA3C与/AC3的平分线B和C的交点，试写出N3与NA之间的数量关系/8=90十乙4；2如图2,点是NA8C与外角NACO的平分线8和C的交点，试写出N8OC与NA之间的数量关系；ZBQC^ZA3如图3,点是外角NO3C与外角NEC5的平分线3和C的交点，试写出N8OC与NA之间的数量关系”=90-.角平分线性质模型于点、如图，点尸是NM0N的平分线上一点，过点尸作于点A,PBLON B.结论PA=PB.-B N模型点拨过角平分线上的点向两边作垂线，利用角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等，构造此类模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口.【例5】如图，在△ABC中，ZC=90°,Z1=Z2,CZ=15,50=25,求AC的长.【解析】过点作垂足为£,由角平分线的性质可知=应根据勾股定理可得出的长，再推出RtA4CZgRtA4E，可得出AC=AE,根据勾股定理即可解答.【解答】解过点作DEL4B,垂足为点E VZ1=Z2,ZC=90°,.CD=DE=

15.在RtABDE中，BE=y]BD2-DE2=^252-152=

20.■;CD=DE,AD=AD..Rt^ACD^Rt^AEDHL..AC=AE.丁AB2=AC2+BC2,即AC+202=42+15+252,.AC=

30.特训5角平分线与平行线模型如图，点P是NMON的平分线上一点，过点P作尸Q〃ON,交0M于点Q.结论ZiPOQ是等腰三角形PQ=OQ.模型点拨有角平分线时，常过角平分线上一点作角一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系.【例6】1已知在AABC中，AB=AC,BD平分/ABC,C平分NAC3,过点作E/〃3C,分别交A4c于后,尸两点如图

1.与图中共有个等腰三角形，分别是;EF BE,Cb之间的数量关系是;与2若将⑴中在3中，改为若”3为不等边三角形“，其余条件不变如图2,则图中共有个等腰三角形，分别是;EF BE,CF之间的数量关系是；3已知如图3,点在△ABC外，ABAC,且3平分NABC,CO平分△ABC的外角NACG,过点作DE//BC,分别交A-AC于E,尸两点，则石方与BE,之间有何数量关系？写出你的结论，并加以证明.图1图2图3A A【解析】本题关键是推出£=5£和尸=£E12根据角平分线的定义可得NMD=NCa,ZFCD=ZBCD,再根据两直线平行，内错角相等可得/EDB=/CBD,然后得出/FDC=/BCD,/EBD=/EDB,/FDC=/FCD,再根据等角对等边可得3£=ZE,CF=DF,然后解答即可；3由2知3E=ED,CF=DF,然后利用等量代换即可得出8，CF,Eb之间的数量关系.【解答】解:15;bABC,AEF,RDEB,ADFC,ABDC;EF=BE+CF;22;DE,ADFC;EF=BE+CF;⑶BE-CF=EF.证明同2可得3E=ED9EF//BC,.ZEDC=ZDCG=ZACD..CF=DF.又,ED-DF=EF,.BE-CF=EF.。