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直线与椭【考试要求】理解直线与椭圆位置关系判断方法掌握直线被椭圆所截的弦长公式.了解直L
2.3线与椭圆相交的综合问题.【知识梳理】直线与椭圆的位置判断
1.将直线方程与椭圆方程联立，消去，或尤，得到关于或的一元二次方程，则直线与椭圆相M y交=/对；直线与椭圆相切=/三；直线与椭圆相离o=/
4.弦长公式
2.设直线与椭圆的交点坐标为沏,%,Bg丫2，4则|A5|=41+FM—X2|=yj2-1+^[xi+%24XIX2]或州一切iA3i=qi+=+迎【钿”],=q8+”2-k为直线斜率且kwa.【常用结论】92已知椭圆”+方=乂＞
10.2b1⑴通径的长度为詈.过左焦点的弦Bg，则焦点弦囚〃尤过右焦点弦券，2AB,A3,yi,m8|=2+%1+2;CD,CX3,则焦点弦为椭圆的离心率0X4,%,|CQ|=2a—*3+x
4.e34,4为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于4,4的任一点，则狂如・以殳=—《是椭圆的不平行于对称轴的弦，为原点，为的中点，则％4AB M A3Ml8=—过原点的直线交椭圆于两点，是椭圆上异于的任一点，则5A,3P A,3ZFPH=一点尸松，儿在椭圆上，过点的切线方程为等+詈=6P
1.【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“或“义”J”⑴椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦.V y2直线与椭圆彳+丁=一定相交.2y=x1J；222\Z H+33zn+45设/小,=4+32e2t3则两子整理得，-1=3-13=0,解得t=3或％舍去，即m=±\[
6.=g故直线的方程为即x±\[6y-x=±^6j+1,1=
0.【教师备选】2-v.天津已知椭圆”+》=的一个顶点为其中为原点.202040,-3,右焦点为凡且|*=|川,求椭圆的方程；已知点满足次点在椭圆上异于12C3=5,38椭圆的顶点,相切于点且为线段的中点.求直线的方程.P,P A3A3解由已知可得记半焦距为16=3,c,直线与以为圆心的圆A8由可得〃|OF|=|OA|c==3,又由a2=b2-\-c2可得/=18,9所以椭圆的方程为会=a+
1.1O27因为直线与以为圆心的圆相切于点P,2A8C所以尸.A3_LC依题意，直线和直线尸的斜率均存在.A8设直线AB的方程为y^kx-
3.[y=kx—3,联立方程组[e+4=]12k解得％或=0x=2^+r_6F—3依题意，可得点的坐标为3标+“21消去可得2日y2F+1%—12=0,因为为线段的中点，点的坐标为所以点尸的坐标为；，P A3A0,-3,Q,i由=以得点的坐标为3C1,0,-3-02^+3故直线CP的斜率为二二而「28厂22+13又因为所以心胃女+]=一A3_LCP,2_61整理得23-3%+1=0,解得攵或k=
1.=5所以直线AB的方程为y=\x-3或y=x-3,即%—或2y—6=0X—3=
0.思维升华解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的1方程，消去或幻得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参y变量的等量关系求解.⑵涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形.跟踪训练已知椭圆的两个焦点分别为尸一尸，短轴的两个端点分别为囱,3C11,0,21,0•若为等边三角形，求椭圆的方程；若椭圆的短轴长为过点出的直线/与椭圆相交12C2,C于两点，且诉，求直线/的方程.P,Q_LK5解由题意知，△均为等边三角形，1/1所以c=y[3b,又c=l,所以人=岑，又由a2=b2-\~c2,可得/=*故椭圆的方程为苧+32=
1.易知椭圆的方程为£+尸=21,当直线/的斜率不存在时，其方程为不符合题意；x=l,当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y=Ax—1,y=k（x—l）,得（
（一）23+
1.2—431+231=0,画上_
4._2F-1入，5I X1+X2—23+1X1X2-2^+1K=xi+i,ji,元5=x2+1,2,因为了所以户市・KO=o,即3+lx2+l+yiy2=X\X2~\~X\++1+%2X1—1X2—1=F+1X|%2—F—1X1+%2+S+17^-1==0,2FH解得即仁理，故直线l的方程为币或x—y/ly—x+y—1=01=
0.课时精练72直线与椭圆有两个公共点，则机的取值范围是，，I
1.y=x+22+,=1JA.1,+8B.1,3U3,+8C.3,+8D.0,3U3,+8答案By=x+2,解析由“止+且］V-得根2〃+3x+4mx+z=
0.由/且m¥3及0m0,得ml且〃zW
3.已知椭圆〃泌过的右焦点尸作直线交椭圆于两点，若
2.M\+/=10,M3,0A,8的中点坐标为则椭圆M的方程为2,1,答案D解析直线的斜率攵=男=—A31,2~5设（）Bg），）A xi,yi,2,72代入椭圆方程可得3+8=1,a.21两式相减，整理得亲一点=0,又a2=b2-\-c
2.c=3,联立解得〃b2=
9.2=18,f y2所以椭圆的方程为M m+5=
1.1O JZ2r.4s已知椭圆主与直线=犬+相交于两点，且，则实数机的值为（）
3.+y2=i8|A8|=3A,土;A.±1B.C.^/2D.±72答案A*丁=，1解析由消去并整理，J2yy=x-\-m,得2+4/7tr+2/71—2=
0.根（加）/=162—1222—22=-8m+240,4m2m2—2则X1+X2=-XjX2=~9设为，，4yD B（X2,），2）,由题意，得|A3|=72（X1+%2）2—8X1X2=4^23解得加经检验满足题意.=±1,已知直线当左变化时，此直线被椭圆标+产=截得的最大弦长是（）
4.=+1,1芈A.2B.一）不能确定C.4D.答案B解析直线恒过定点（）且点（）在椭圆上，可设另外一个交点为（羽）则弦长为0,1,0,1y,x1+fy—221=^/4—4^+^—2y+12=^/-3^-2^+5=^-3^+|+^,所以当时，弦长最大为斗士y=—gV-JT已知Q,分别为椭圆丁=的左、右焦点，过作倾斜角为工的弦则△出的面积为
5.7+1B A8,A8芈A.芈D*C答案B解析由题意知々=陋，b=l,C=d2—1=1,Fi-l,O,1,0,直线的方程为AB y=x+l,设Bg，Axi,y,ly=x+l,得2，所以盾尸切一”|3y_2y_l=0,yi=—I/=1,5q=32zX2X设椭圆的方程为方+亍斜率为攵的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点,
6.=1,A,3I-为线段的中点.下列结论正确的是MA8直线与垂直A.A8OM若点/坐标为则直线方程为B.1,1,2x+y—3=0若直线方程为则点坐标为生£C,y=x+l,M若直线方程为则用=小D.y=x+2,|4答案B4解析对于项，根据椭圆的中点弦的性质心小左河=-彳-所以项不正确；对于项，A07=—21,A B根据kABkM=-2,所以♦ICAB=-2,所以直线方程为y—1=—2x—1,即所以项正确；对于项，若直线方程为2x+y—3=0,B Cy=x+l,点吗与则•攵所以项不正确;OM=1X4=4W—2,C对于项，若直线方程为与椭圆方程联立，得到『+（）D y=x+2,7+=12x+22—4=0,整理得3f+4x=0,4所以4^2[45|=[1+12—1—0=，3解得修=^2=—y0,交于不同的两点B,中点的横坐标为已知直线与椭圆，=1A,A33,
7./y=Zx—1C+y2所以项不正确.D答案±1解析设（为,）（丁）4J1,3X2,2,得（）因为直线/过椭圆内的定点（）京43+1x2—8Fx+4F—4=0,1,0,2所以］，10,Xl+X2=47+=1,即然=:，所以％=±*与椭圆弓有相同的焦点且与直线/相切的椭圆的离心率为
8.+V=i%—+3=0答案因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为5+a=i解析a2—1联立方程组如—式层工+V“1=2/—110/—/=0,2+6J=x+3因为直线/与椭圆相切，所以』=〃，364—42/—110/—4=化简得4-2即2或2舍.a6a+5=0,a=5a=1则a=邓.又C=l,所以6=》=方=乎・已知椭圆，的左、右顶点分别为B,右焦点为尸，椭圆的离心
9.M+W=lab0A,M⑴求椭圆的方程；M⑵若过点的直线与该椭圆交于，两点，且线段尸的中点恰为点求直线的方程.MU MP QM PQ则〃，3/=4将代入椭圆方程得1,34+2=1cr4b2解得b=y[3,Q=2,2・••椭圆M的方程为5+=
1.设yp yo2PXP,QXQ999;线段尸的中点恰为点N,yp~\~XQ=2,Q=
2.,•呼+号亨十号两式相减可得^xp+xQ{xp—XQ+^yp+yoyp-yQ=1,=1=0,・yp-yQ3•・--------------——T,Xp—XQ43即直线的斜率为一不PQ・•・直线尸的方程为y-l=-4（x-l）,艮口3x+4y—7=
0.设中心在原点，焦点在光轴上的椭圆过点（阴，且离心率为坐.尸为的右焦点，
10.E1,E为上一点，轴，尸的半径为P EPfUx PF.（）求椭圆和尸的方程；1E（）若直线/=%（%一）（）与尸交于两点，与交于两点，其中在第一23*048E C,A,C象限，是否存在人使若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.|AC|=|3Q|29由题设知次7a2一吩小I3+/=a
2.解（）设£的方程为了+$=11解得b=l,故椭圆的方程为亍=2,E+V=i.因此不）即/的半径为之乙乙0,|PF|=|,所以O尸的方程为（%—木）2+2=/⑵由题设可知，在外，B在E内,在尸内，在/外，在/上的四点B,D满足|A EA,C,AC|一|==|A8||8C|,|318|—.设（制，，）（）将/的方程代入的方程得（合）工於-yD£X
2.2,£11+42—84Rx+124=0,一8v5则X\+X2_49+112^-4为及=矛4+1|CD\乒「（工）=/1+1+122—4X1X24F+43=4FM=1+4F+TU又的直径b|A3|=1,所以|一）一引=〉|5|AC|=|CZ||A|C0|—10,故不存在正数k使HC|=|8O|.（.临汾模拟）过椭圆内定点且长度为整数的弦，称作该椭圆过点的“好弦”.在
11.2022M M/2椭圆.+髭中，过点（小，）的所有“好弦”的长度之和为（）=1M40A.120B.130C.240D.260答案C解析由已知可得人==8,4,所以=、，故为椭圆的右焦点，42M由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直无轴时弦长最短，所以当％、「时，=4日l小口、^山廿22X16最短的弦长为丁=^^=Cl4,o当弦与轴重合时，弦长最长为〃x2=16,则弦长的取值范围为[4,16],故弦长为整数的弦有到的所有整数，416则“好弦”的长度和为4+16+5+6+7+…+15X2=
240.•江南十校模拟已知椭圆彳x2〃的左、右焦点分别为Q,，过长的
12.2022C+y2=l l6直线与椭圆交于两点，若△的周长为则面积的最大值为M,N MNB8,雪B.小A小C.2D.3答案B解析由椭圆的定义可得△的周长为MNB\\-\-\\-\-\\MN MFNF22=|MFI|+|N/I|+|M|+|NBI=4Q=8,则c=y13••*2,9则AMFiFz面积的最大值为;•为=2c be=/.1y
22.兰州质检已知PQ,是离心率为抽椭圆£+方〃外一点,经过点P的光线被轴反
13.2022-2=120y射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是A.-f B.c.iD4o答案Dc1解析由题意可知，eW3又a2=b2-\-c2故庐=科,9设过点尸的直线斜率为k,则直线方程为y+2=Zx—2,即y=kx—2k—2,则反射后的切线方程为y=-kx-2k-2,[y——kx—2k—2,得屋=3+4Ff+16ZA+lx+16Q+32A+16—30,「所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，网%+舒标•••/=
[161]2—43+416+32k+16—3/=0,化简得标+炉+攵4/3/=1632+16,4/=16,即＜〃[32=32%+16,27=4,解得I1k=一忌・・•此切线的斜率为O已知产为椭圆器+手=的右焦点，过尸的直线/交椭圆于两点，M为AB的中点，则
14.C1A,8到轴的最大距离为.M x答案喙解析因为/=尻=6,2,所以椭圆的右焦点坐标为2,
0.设AMyi,3X2,2,直线/显然当直线斜率为和不存在时，不可能最大，与椭圆方程联立，消去x=y+2«W00得，xt2+3y2+4ty-2=0恒成立，4=16e+85+309,4/所以+以=—尸+y3,即弦的中点的纵坐标为M竺_2tyi+-2所以到轴的距离为押？M x当，美C叶______—工―也-2H当时，尸、，/W0+3—32#—3国十M当且仅当户时等号成立,=3”）的直线的斜率%=三低.（）过椭圆上两点X4yi,B%2,AM,（）直线被椭圆与+截得的弦长为也.（）3y=x-19=1X2v的位置关系是（）
1.直线与椭圆彳=y=x+l5+1相交相切A.B.相离无法判断C.D.【教材改编题】答案A解析方法一（通解）联立直线与椭圆的p=x+l,方程得/+=1,T T消去得（（）＞所以直线与椭圆相交.y9/+11¥—15=0,zl=100-4X9X-150,方法二（优解）直线过点（）而即点（）在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交.0,1,0+*1,0,1已知斜率为的直线/过椭圆尸=的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（）
2.17+1A,8AB「46-13A彳D.wZA.TB.TC.T答案c解析由题意得，层尻=所以，=4,1,=3,所以右焦点坐标为（小，）0,则直线/的方程为y=x-y[3,设（乃）,（丁）A xi,8x2,2,y=x—y[3,联立消得，小%+叮+产，y5f—88=0,1,8^38niI则，，Xl+X2=5X32=5所以\AB\+小々（为+尢）=y122-4X1X2=6尸FtQ即弦的长为言AB故到轴的最大距离为坐.M x92已知从圆/+丁（）上一点（）作两条互相垂直的直线与椭圆相切，
15.C2=//00,r8+=1T同时圆与直线/勿小加交于两点，则的最小值为（）2事小C a+y—-1=0A,3|AB|A.B.4C.4D.8答案C解析由题意可设过（）与椭圆工相切的直线方程为了=履+0,r6联付沁[y=kx-\-r,消元可得（标）攵加+1+342+63»—12=0,所以/=，一（后）（，一）36941+3312=0,即后一^+124=0,所以两直线的斜率之积—^+4k\k2=j~2=-]，所以=16,所以圆的方程为/+y2=16,直线/如十一小过定点「（、，）2—1=031,且点在圆内部，当最小时，P|A8|CPJ_A8,此时圆心到直线/的距离d=\CP\=2「小.|AB|=242—22=4729已知直线/经过椭圆十方（〃»°）的右焦点（），交椭圆于点B,点、F为椭
16.C a=114圆的左焦点，△尸的周长为AB
8.⑴求椭圆的标准方程；C（）若直线〃与直线/的倾斜角互补，且交椭圆于点N,求证直线加与直22M,|MN|2=4|AB|,线I的交点P在定直线上.\c==1,1,⑴解由已知得c，c4a=8,[a=2,•,・序=3,22・,•椭圆C的标准方程为7+4=
1.r⑵证明若直线/的斜率不存在，则直线机的斜率也不存在，这与直线机与直线/相交于点P矛盾，・••直线/的斜率存在.设，后，冲，，，/y=Gx—1ZWO,m y=—kx+Ag,BXB,MXM,W,NXN N.将直线m的方程代入椭圆方程得，及+4F»—3=0,8信4^-3XMXN=标3+4后户+1612^—39附22=1+
9.3+4M2於3+4同理，八8|二尸百・斗^^121+F=3+4F•由引得，=,|MN|2=4H此时，1=64^2―163+4SFP—30,心一/，直线y=~kx,/.2即点在定直线上.P已知椭圆《+£=（〉/»）的右顶点为（）过其焦点且垂直于长轴的弦长为则椭圆
3.10A1,O,1,IzVC-X方程为.答案1+/=1解析因为椭圆力+的右顶点为）1=141,0,所以b=l,因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1,2b2所以=^=1,2,所以椭圆方程为+f=l.题型一直线与椭圆的位置关系例已知直线椭圆，，.试问当相取何值时，直线/与椭圆1/y=2x+m,C+=1C（）有两个不重合的公共点；1⑵有且只有一个公共点.解将直线/的方程与椭圆的方程联立，Cy=2x-\-m,得方程组,芷十q=1消去并整理得2Smx+y9A+2ITT—4=
0.（团）（加）尸+/=84X9X24=—
8144.2—2—
①当/＞即一娘＜加＜娘时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数0,33解.这时直线/与椭圆有两个不重合的公共点.
②当即加=±吸时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时J=0,3直线/与椭圆有两个互相重合的公共点，即直线/与椭圆有且只有一个公共点.【教师备选】92直线y=kx~y[2k+与椭圆方+京=的位置关系是（）11相交相切A.B.相离无法判断C.D.答案A解析直线,=丘一也）恒过定点（也，）又点（地，）在椭圆内，故直线与椭圆相交.+11,1思维升华判断直线与椭圆位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.1对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.2跟踪训练已知动点M到两定点「九的距离之和为40m2且动点M的轨迹曲线过点小12C9份，£.求m的值；1⑵若直线/=+啦与曲线有两个不同的交点B,求攵的取值范围.4解⑴由小得加可知曲线是以两定点尸〈一九加为焦点,长半轴长为02,24,C0,60的椭圆，2所以设曲线的方程为与+奈=，=2,C1把点《万，§代入，得打表，=1解得b2=l,由c2=a2—b2,解得，=3,所以m=yf
3.联立方程得由知曲线C的方程为21^+2=1,消去得\+乒/+镜+则有一得标；.所以或%—；，所以的取值范围为y21=0,/=4910,Z题型二弦长及中点弦问题命题点弦长问题1例22022・百校联盟开学考在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C\+^=1泌过点J3尸且离心率，2,1,e=.⑴求椭圆的方程；直线/的斜率为]直线/与椭圆交于两点.若依切=小，求直线/的方程.2432c^—b1c39M斛2—=彳，I***2—a er4/.a1=4b
2.又椭圆方过点尸』，C2吟+”1,；・/=8,庐=
2.92故所求椭圆方程为菠十=
1.o Z设/的方程为y=}jx+m,2点，Axi,y,5X2,2,y=^x-\-m,联立，22工+匕=1十，1821整理，得22x+2//tr+2m—4=
0.22解得|以|・AJ=4m-8m+160,2••・为+垃=-2m,x\X2=2nr—
4.贝+；义乃+尤1|A5|=q1222-4X1X2=、浮=小,54—解得m=±\[
3.所求直线/的方程为命题点中点弦问题2例已知为椭圆内一定点，经过引一条弦，使此弦被点平分，则此弦3Pl,l+=1P PL-I所在的直线方程为.答案x+2y—3=0解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，消去得,y，设其方程为—弦所在的直线与椭圆相交于B两点、,Bg”.l=Zx—1,A,Axi,y,y-l=^x—1,4MAT/.Xl+%2—2F+12氏2F+1%—42—lx+2F—2Z—1=0,又・.・为+X2=2,4kk—“小11•解仔k—经检验，仁一，满足题意.2—+]=2,——2«故此弦所在的直线方程为；y-l=—x—l,即x+2y—3=
0.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，•••设斜率为攵，弦所在的直线与椭圆相交于两点,A,8
①—
②得乃一巾一十一°，X1+%2+2242，+12=2,yi+2=2,•••玛这+y—2=0,F i•7yIf1及一为手，=一不X・・k=X\-X22经检验，仁一口满足题意.，此弦所在的直线方程为即尤y-l=-1x-l,+2y—3—
0.【教师备选】2^2丫f2已知直线/与椭圆亍片相交于B两点,且线段的中点尸』.=1A,A31求直线/的方程；1求△的面积.2Q4B解由斜率公式可知％1OP=1,设BgAxi,yi,J
2.化间付一—kAB,/X|—4y\+yi x\—X2•.・为2,y+,2=2,+12=•1——3•••直线方程为y—1=—,x—1,；・直线/的方程为3x+4y—7=
0.将直线方程与椭圆方程联立，可得221f—42X+1=0,2J=42-4X210,即无.,.X1+X2=2,2=.4JL由弦长公式得到\AB\=y]1+Z|xi—X2I代入椭圆方程得，X54-JTO5_5VTO5421-21再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线的距离d=ABH7I_7^9+16-5的面积；吗质:=咚S=X52213b思维升华解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练212022・济宁模拟已知椭圆C1+弓，过点，，的直线交椭圆于=1y1C4两点，若为的中点，则直线的方程为8P A5AB3x~2y—2=0A.B.3x+2y—4=0工一一C.3x+4y—5=0D.34y1=0答案B解析设点yi,BgAxi,y2,+12由中点坐标公式可得〈yi+^21=292所叱…,XI+X2=2,
①-
②得手，+y=即科一货——3即焉_»一中即空号[3X\元+%21-X2243所以kAB=一亍因此直线AB的方程为厂；=—|x—1,BP3x+2y—4=
0.已知椭圆氏的左、右焦点分别为Q,过原点的直线/与£交于两点,且都2j+^=l F,A,3AQ,BF22与轴垂直，则x|AB|=.答案V13解析由题意得/—后一因为直线/过原点，且交椭圆旧于B两点,所以与关于原4—3—1,A,A5点对称，又都与轴垂直，所以设B1,36x A—1,yi,—yi,则=y]—l—l2+lyi——yi]2=y/4+4yl又点在椭圆上，|A5|A E所以+弓=得1,w=*贝UHB|=q4+4X.=VH.题型三直线与椭圆的综合问题例已知椭圆去泌的离心率为杀短轴长为4C,+=
1302.求椭圆的标准方程；1C3_⑵过点的直线/与椭圆交于两点，若△的面积为彳为坐标原点，求直Pl,0A,B43〜线/的方程.a=2解由题意可得_10ZZ2一，，22c2=6z—Z,解得〃丛=2=4,
1.故椭圆的标准方程为cY+y2=L由题意可知直线的斜率不为20,则设直线的方程为Bg yi.x=my+l,AX1,yi,x=my-\-1,2=1,整理得5+4y2+2my—3=0,A2义—=2m-4/7+43=16/7+480,则+=-m+43一而,y»=故-y\ly=Nyi+y22—4yy2=植_磊+磊24dm2+32m+43因为△的面积为本A30J4\lnr+
3..11所以习拳+4OPIM—y2l=]X ix。
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