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2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的［设2z+z+3设-力=4+6i,则z=.A.l-2i B.l+2i C.1+1D.1-i
2.已知集合S={s|s=2n+l,n£Z},T={11t=4n+l,n£Z},则SGT=A.0B.SC.TD.Z3•已知命题p3xER,sinxl；命题qVxeR,e因三1,则下列命题中为真命题的是A.pAqB.-ipAqC.pA-qD.-ipVq4,设函数fx五，则下列函数中为奇函数的是14-XA.fx-l-lB.fx-l+lC.fx+l-lD.f x+D+l
5.在正方体ABCD-ABCD中，P为BD的中点，则直线PB与AD1所成的角为综上，a-|.A冗A.-B.C.D.TC
66.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有A.60种B.120种C.240种D.480种7,把函数尸fx图象上所有点的横坐标缩短到原来的:倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移g个单位长度，得到函数尸sinx-3的图像，则fx=A./%7九\A.Sin（5一运）C.sin（2%-工）D.sin（2x+JB.23B.329C.
328.在区间0,1与1,2中各随机取1个数，则两数之和大五的概率为D.9•魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”,GC表高芸跖|本告表目距X的差+表问表高表题圭吉表目距XB的差一表问与EH的差称为“表目距的差”则海岛的高AB二.A C D AabB abCaba2D aba
210.设aWO,若X二a为函数fx=ax-a2x-b的极大值点，则.221ab0的上顶点，若C上的任意一点P都满11•设B是椭圆C宏+3足|PB|42b,则C的离心率的取值范围是.A B吟CD12,设a=21nl.0L b=lnl.02,c=V104-1,贝U.AabcBbcaCbacDcab
二、填空题本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知双曲线C--y2=l（m0）的一条渐近线为遮x+my=0,则C的焦距m」为.
14.已知向量a=（1,3）,b=（3,4）,若（a-入b）±b,贝入二
15.记Z\ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为遥,B=60°,a2+c=3ac,贝I」b二.
16.以图
①为正视图和俯视图，在图
②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图,组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为（写出符合要求的一组答案即可）.图
③图
⑤（第题图）16
三、解答题共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第
22、23题为选考题，考生根据要求作答
（一）必考题共60分
17.（12分）某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下
9.
810.
310.
010.
29.
99.
810.
010.
110.
29.7旧设备新设
10.
110.
410.
110.
010.
110.
310.
610.
510.
410.5备旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为元和夕，样本方差分别记为2W s2S121求3,y,Si2,s2；2下2判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高如果22杵I则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高.
18.12分如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,如，底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中点,且PB_LAM,1求BC；2求二面角A-PM-B的正弦值
19.12分记S n为数列｛4｝的前n项和，bn为数列｛SJ的前n项和，已知号+三二
2.Sn bn1证明数列｛｝是等差数列；2求｛3｝的通项公式.
20.（12分）设函数f x=ln a-x,已知x=0是函数y=xf x的极值点1求a；2设函数g x=*二，证明g x
1.xf x
21.12分己知抛物线Cx2=2py p0的焦点为F,且F与圆Mx2+y+4J1上点的距离的最小值为
4.1求p；2若点P在M上，PA,PB是C的两条切线，A,B是切点，求APAB的最大值.二选考题共10分，请考生在第
22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分
22.［选修4一4坐标系与参数方程］10分在直角坐标系xOy中，OC的圆心为C2,1,半径为
1.1写出OC的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；2过点F4,1作OC的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程.
23.［选修4—5不等式选讲］10分已知函数f x=|x-a|+1x+
31.1当a=l时，求不等式f x6的解集；2若f x2—a，求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乙卷参考答案注意事项
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回1-5CCABD6-10CBBAD11-12CB
13.
415.2V
216.
②⑤或
③④
17.1各项所求值如下所示x=-
9.8+
10.3+
10.0+
10.2+
9.9+
9.8+
10.0+
10.1+
10.2+
9.7=
10.010y=^
10.1+
10.4+
10.1+
10.0+
10.1+
10.3+
10.6+
10.5+
10.4+
10.5=
10.3[
9.7-
10.02+2x
9.8-
10.02+
9.9-
10.02+2X
10.0-
10.02+1io
10.1-
10.02+2x
10.2-
10.02+
10.3-
10.02]=
0.36,x[
10.0-
10.3尸+3x
10.1—
10.32+
10.3—
10.32+2x
10.4-
10.32+2io乙X
10.5-
10.32+
10.6-
10.32]=
0.
4.⑵由⑴中数据得9-石
0.3,34显然片32/学，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高
18.解1因为PD,平面ABCD,且矩形ABCD中，AD±DC,所以以瓦，反，DP分别为X,y,z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz设BC=t,A t,0,0,B t,1,0,M-,1,0,P0,0,1,所以丽二t,1,2-1,AM=—A1,0,2因为PBLAM,所以丽•俞二-曰+1=0,所以所以BC=加22设平面APM的一个法向量为x,y,z,由于丽二-企，0,1,则m•AP=V2x+z=0一V2AM=———x+y=0令x=,得V2,1,2o设平面PMB的一个法向量为n=xL,yl,z贝ij n•CB=V2xf=0n•PB=V2xf+-=0令yt=l,得n=0,1,
1.所以cos m,n二岩常义后所以二面角A-PM-B的正弦值为等|m||n|7Xv
2141419.1由已知则夫二SnnN2九+1Sn bn=竽+9=2=2*+2=2bn=b-*=如三2，氏芸nn bn22故｛bj是以I为首项，3为公差的等差数列乙乙n+2n+11n22时,n+1n九71+1⑵由⑴知b「|+n-1产^则,岛詈=2=SK故]n=l时,1一—九+171-
20.1[xf x]-xf f x+xf7x当x=0时，%[—xfS Sx-i]f=f0=lna=0,所以a二ln n2由f x=lnl-x,得xl当OVxVl时,f x=lnl-x0,xf x0；当xVO时，f x=lnl-x0,xf x0故即证x+f x xf x,x+ln l-x-xlnl-x0令l-x=t t0且tWl,x=l~t,即证l-t+lnt-l-t lnt0令f t=l-t+lnt-l-t Int,则f t=-l---[-1lnt+—]=-l+-+lnt--=lntt t tt所以ft在0,1上单调递减，在1,+8上单调递增，故1=0,得证
21.解1焦点F0，到乂2+丫+42=1的最短距离为《+3=4,所以尸
2.2抛物线y=x2,设Axi,y,Bx,y,Px,y,则2200=y=1x（x-x）+y=1xx-y,11111%B y=一旷且嬴=乙2,-yo-8yo-
15.y=-XiXo-y10lfi故UB yo=—y，即丫=yo=-xx-y,202i5%o%—y°・i联立•V2X°X,°,得x—2x0x+4y0=0,A=4xg-16y.
0、x2=4y所以|AB|=Jl+，4x1—16yo力4+x1,Jx2—4y（），d^=所♦P AB74J%%以SAPAB=,dp^=-|xo-4y|-Jx]-4yo=（x；-4y）2=|（-y2-12yo-F000乙乙乙乙315）
2.而yo6[-5,-3].故当y=-5时，达到最大，最大值为20遮.S/N B
22.⑴因为°C的圆心为2,1,半径为
1.故0C的参数方程为{:二黑0为参数.2设切线y=k x~4+1,即kx-y-4k+l=
0.故|2--l-4/c+llV1+/C2即12kl=JFTF,4k2=1+炉，解得k二土耳故直线方程为y二四x-4+1,y二一3333x-4+1故两条切线的极坐标方程为psin=—cos0--V3+1或psin=—cos0+3333序
1.
323.解la=1时，f x=|xT|+|x+3|,即求|xT|+|x-3|26的解集.当x》l时，2x十2三6,得xN2;当-3x〈l时,4三6此时没有x满足条件；当x-3时-2x-
226.得x-4,综上，解集为-8,-4]U[2,-
8.2fx最小值-a,而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.当x在a和-3之间时最小，此时fx最小值为|a+3|,即|a+31-a.AN-3时，2a+30,得a〉-；a~3时，-a-3〉-a,此时a不存在.2。
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