2022年中考数学总复习微专题第五章双正方形问题探究

微专题双正方形问题探究⑴求证:厂”为等直角三角形.典例如图1,在正方形ABCD和正方形ECGF中,C,G三点共线连接AF.FH.⑵若AF与CE相交于点M,且A3=3,£F=5,求EM的长变式1如图1,连接BE,求BE与DG之间的关系.变式2如图2,连接BE.当DG垂直平分BE时，求券的值.变式3如图2,设正方形ABCD的面积为Si,以DE,EF为邻边的矩形面积为S.若Si=Sz,K为CG的中点.求证:及变式4如图3,若P.Q分别为AF,FG的中点，连接尸口43=5,所=7,求PQ的长.变式5如图3,当为CE的中点时，连接A4G1G判断△AEG的形状.变式6如图4,连接AG,EG.若AG平分NEGJ4G与CE相交于点P,求空的值.变式如图若求阴影部分的面积.74,45=1,EF=2,变式8如图5,连接BE,与AF交于点N,连接CN,C『,求证:CN_LAE【答案】⑴♦AD〃GHAH〃DG,工四边形ADGH为平行四边形，.AH=DG^D=HG.•:CD=AD=HG,NDCG=NHGF=90°,CG=GF,.ADCG^AHGFSAS,:.FH=DG,Z CDG=Z GHF,.AH=FH.9AH//DG,.ZAHB=ZDGC.VZCPG+ZPGC=90°,.ZGHF+ZAHB=9Q°,A ZAHF=90°△AfW为等腰直角三角形.2V四边形ABCD.ECGF为正方形，A ZADC=ZFEC=90°,.AD//EF,/\DMA.DM AD^,:AB=3,EF=5,.ED=

2.设EM的长为x,.DM的长为2-x.・・・£=!，解得“*经检验/芸是原分式方程的解，4:・EM的长为.4变式解:延长交后于点1G5MV四边形ABCD与四边形ECGF为正方形，A ZDCB=ZECG=9Q°,EC=CG,BC=DC,.AECB^AGCDSAS\.BE=DG,ZCEB=ZCGD.V ZCEB+ZCBE=9G°，:.ZCGD+ZCBE=9Q°,A ZBNG=90°,.BELDG,:.BE与DG垂直且相等.变式解:连接不妨设2EG,£F=4V四边形ABCD与四边形ECGF为正方形，.EG=V2b.设AB=a,:.BG=a+b.,:DG垂直平分BE,.EG=BG=a+b./•a+b=y/2b,:.a=V2b—瓦,,*=£=V2—

1.变式证明:取的中点连接设3CG EP=/MU=a./•Si=a2,S2=ft—axb=b2—ab.V Si=S2,•a*一〃

①解得舍去负值为的中点,•••K CG•••CK=

5.在RtAECK中，加+心=旧心•・A=/2+C2=等,.BK=BC+CK=^^+-=—,222:.EK=BK.变式解:连接丁尸为尸的中点,为尸的中点，4AG AQ G.PQ为4FAG的中位线,•••P0=；AGVAB=5,EF=7,ABG=12,,在RtAABG中4G=，AB2+BG2=

13.•・・P岑变式解:连接53D.•:D为CE的中点,，后二.•四边形ABCD为正方形,•••A5=OE9AB//DE,.四边形ABDE为平行四边形，A ZAED=ZABD=45°.•••四边形ECG户为正方形,，NCEG=45°,A ZAEG=ZAED+ZCEG=90°,•••△AEG为直角三角形.变式6解:解法1:延长BA,GE交于点M连接AC.V四边形ABCD为正方形，A ZABC=90°,CE〃MB,NMGB=45°,•••△M3G为等腰直角三角形,NM=45°,，M£〃AC^AM//CE,.四边形AMEC为平行四边形，.AM=EC=EF.过点B作BI〃AG灰EG的延长线于点I.:.ZAGE=ZI,ZAGB=ZGBI.VAG平分N£G・\ZAGE=ZAGB,.ZI=ZGBI,.BG=GL9AM MGMG

2.ABV2••瓦=3・解法2:过点P作PQ±EG于点Q.设CG=a,BC=b,.EG=

5.VAG平分NEGB,PC±BG,P上EG,:.PQ=PC.又V PG=PG,:.RtZkPQG义RtZkPCGHL,:.QG=CG=a,.EQ=EG-QG=V2-la.V ZCEG=45°,NPQE=90°,:.PC=PQ=EQ=^2-la.VAB//EC,:.MCGs AABG,gp.PC AB=V2-la_b._V2a a+bfCG BGV

2.AB_b_方，V22EF变式7解::四边形ABC为正方形,.ZADC=ZDCG=9Q°.9AD//CG,.AADP^△GCP,.—CP设DP-x^:.CP=l—x.有=浮，解得窕=［，•,0=3,1i ii，S阴影.DP=-xlx-=-.=942236变式8证明:易证△ABHgZ\DCG,Z\BCEg△£＞，6AZ1=Z

3.JVZ2+Z3=90°,・\N1+N2=9O°,.AH±BE.由⑴知N4F=45，:./ENF=ZANB=45°,:.ZENF=ZECF.又丁ZEMN=ZFMC,.△ENMs△尸CM,•弛_FM•*MN-MC又；NEMF=/NMC,.AFEM^ACNM,.ZCNM=ZFEM=9Q°,.CN±AF.。