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抛物线【考试要求】
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程2掌握抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）3了解抛物线的简单应用.【知识梳理】
1.抛物线的概念把平面内与一个定点尸和一条定直线/（/不经过点F）的距离相箜的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点,直线I叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质标准方程y2=2pxp0y2=~2pxp0x2=2〃yp0/=12pyp〉0图形范围xWO,y£R yWO,x£R隹占
八、、
八、、准线方程x=—E一甘22对称轴x轴y轴顶点0,0离心率e=l【常用结论】抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线丁=2〃式60）的焦点尸的弦，若A（xi，y）,3（检，”），则p
（1）X1X2=4，1”=—P;
（2）若A在第一象限，B在第四象限，则依尸|=.,|明=,弦长4J|A5|=X1+X2+PI COS（Xt XI COSCK=黑（仪为弦A3的倾斜角）；o111（X⑷以弦AB为直径的圆与准线相切；⑸以或Bb为直径的圆与y轴相切；
（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；⑺通径过焦点与对称轴垂直的弦长等于2P.【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）⑴平面内与一个定点方和一条定直线/的距离相等的点的轨迹是抛物线.（X）
（2）方程y=4f表示焦点在无轴上的抛物线，焦点坐标是（1,0）.（X）⑶抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.（X）
（4）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线相切.（X）【教材改编题】
1.抛物线y=2f的准线方程为（）A.j=-|B.y=一；C.y=—D.y=—1答案A解析由y=2f,得/二；丁，故抛物线=2r的准线方程为y=—
2.过抛物线y2=4x的焦点的直线/交抛物线于P（xi，yi）,（尤2，）两点，如果为+也=6,则IPQI等于（）A.9B.8C.7D.6答案B解析抛物线2=4%的焦点为尸（1,0）,准线方程为X=—1,根据题意可得，|PQ|=|qF|+|用=即+1+检+1=xi+xz+2=
8.
3.已知抛物线与双曲线/一）a=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线的方程是答案y2=±4y[2x解析由已知可知双曲线的焦点为（）迎）-^2,0,
0.设抛物线方程为y2=±2px（p0）,则^=啦，所以p=2吸，所以抛物线方程为丁=±4痔・题型一抛物线的定义和标准方程命题点1定义及应用例1
（1）（2020・全国I）已知A为抛物线Cy2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p等于（）A.2B.3C.6D.9答案C解析设Ax,y,由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12,即x+=
12.又因为点A到y轴的距离为9,即％=9,所以9+=12,解得p=
6.2已知点例20,40,抛物线y2=2pxp0的焦点为E若对于抛物线上的一点P,\PM\+\PF]的最小值为41,则p的值等于.答案42或22解析当点M20,40位于抛物线内时，如图
①，过点尸作抛物线准线的垂线，垂足为，则|PF|=|PD|,\PM\-\-\PF\=\PM\-\~\PD\.当点P,三点共线时，|尸M+I尸川的值最小.由最小值为41,得20+3=41,解得p=
42.当点”20,40位于抛物线外时，如图
②，当点P,M,/三点共线时，IPM+IPFI的值最小.由最小值为41,得,402+20-92=41,解得p=22或p=
58.当〃=58时，尸=116居点”20,40在抛物线内，故舍去.综上，p=42或p=
22.思维升华“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.命题点2求标准方程例21设抛物线V=2px的焦点在直线2x+3y—8=0上，则该抛物线的准线方程为A.x=—4B.%=—3C.x=—2D.x=—1答案A解析直线2x+3y—8=0与x轴的交点为4,0,・••抛物线产=2川的焦点为4,0,•••准线方程为x=-
4.2已知抛物线Ca=2px〃0的焦点为F,准线为/,点A是抛物线上一点，ADM.交/于D若|AF|=4,ND4b=60，则抛物线C的方程为A.尸=81B.y2=4xC.V=2x D.y2—x答案B解析根据抛物线的定义可得|4D|=|AH=4,所以|A|—p=|A Qcos60=张用，所以4—p=2,解得p=2,所以抛物线C的方程为V=4x.【教师备选】
1.已知抛物线V=4x的焦点为忆M,N是抛物线上两个不同的点.若|VF|+|NF|=5,则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.1C.5D.1答案B解析由题意知抛物线的准线方程为X=—1,分别过点M,N作准线的垂线，垂足为,M（图略）,根据抛物线的定义得=|,|NF|=|NN|,所以|MF|+|NH=|MAT I+INN I，所以线段MN的中点到准线的距离为1S535（|M/7|+|NF|）=5，所以线段MN的中点到y轴的距离为5—1=5・
2.（2022・济南模拟）已知抛物线fnZpMp＞），过焦点/的直线与抛物线交于A,B两点（点A在第一象限）.若直线A3的斜率为半，点A的纵坐标为5则p的值为（）4BA4C.1D.2，1~I答案c解析由题意得，抛物线/二2〃）〉）的焦点在y轴上,准线方程为y=一设A（心,后）,则|”|=以+今=|+$设直线AB的倾斜角为a,贝I tana—y^~2所以=sin a2sin a因为a£[0,7i,1J2X-所以3—〃=|+$解得p=L思维升华求抛物线的标准方程的方法
（1）定义法；
（2）待定系数法当焦点位置不确定时，分情况讨论.跟踪训练1
（1）设抛物线的顶点为，焦点为「准线为/,P是抛物线上异于的一点，过P作PQ-LI于.则线段FQ的垂直平分线（）A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OP D.垂直于直线尸答案B解析连接PF（图略），由题意及抛物线的定义可知|尸|=||,则△QPb为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
（2）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设点F是抛物线/=2PMp0）的焦点，I是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线，垂足为B,直线Ab交准线/于点C,若RtzMBC的“勾”|AB|=3,“股|CB|=3小，则抛物线的方程为（）A.）a=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=6x答案B解析如图,IAB|=3,13cl=3低则|AC]=、32+
（35）2=6,设直线/与x轴交于点H,由|A6|=|Af]=3,|AC|=6,可知点尸为AC的中点，所以|F”|=；|A5|=|,又|F”|=p,所以p=,所以抛物线的方程为V=3x.题型二抛物线的几何性质例3
（1）（2021・新高考全国II）抛物线/=2〃如〉0）的焦点到直线y=x+l的距离为镜，则p等于（）A.1B.2C.2y[2D.4答案B。
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