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直线与圆、与圆的位置关系【考试要求】.能根据给定直线、圆的方程，判1断直线与圆、圆与圆的位置关系能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.2【知识梳理】直线与圆的位置关系（圆心到直线的距离为力圆的半径为厂）
1.相离相切相交^一图形方程观点/三J00J0量化dr d三r dr几何.圆与圆的位置关系（，的半径分别为门，Y2,d=\OiO\）2012图形量的关系外离dri+9外切d=—+厂2相交1口一r21〈.〈，|+「2内切4=.一罚内含dl—-「
21.直线被圆截得的弦长3⑴几何法弦心距、半径〃和弦长的一半构成直角三角形，弦长炉工d|45||A8|=
27.（）代数法设直线＞=+根与圆硝+/二相交于点N,代入,消去得关于的一元二次2/+9+6+y,x方程，则+元々（々/+必）|MN|=d12—【常用结论】圆的切线方程常用结论
1.（）过圆上一点，州）的圆的切线方程为xox+yoy=r.1PQo则A—m,0,B7TI,
0.又设则由|得y/千＞+两边平方并化简整理得2Px,y,P41=A|P31x+y2=R%—m2+y2,/i—122222—2m2+lx+A—ly=m l—A.当时，轨迹为线段的垂直平分线；2=1x=0,AB当且时，\一今=|加+_/=注号尹下+207W11轨迹为以点为圆心,0半径的圆.例⑴已知平面直角坐标系中，则满足|%|=的点尸的轨迹的圆心坐标为.1A—2,0,52,0,2|PB|答案得,0解析设由陷=PX,y,2|P3|,得、2yl—22+y2,Q+22+y2=x整理得詈，Q—¥+y2=所以点的轨迹的圆心坐标为管，P0已知圆和点若定点,犷一§和常数满足对圆上任2O f+y2=i A—0,802O意一点、M,都有则％=△面积的最大值为.|M8|=A|AM|,,AMB3答案21解析设点由Mx,y,整理得^+y2—21-Az=2,解得T^F=得22X—Z2+y2=%2x+£+y,如图所示，可加=于卦|加|,54由图可知，当即的坐标为或时，取得最大值，故的面|M|=1,M0,10,—1SAMAB2b+A2113-TF=积的最大值为——gX—22X1=~0所以例如图所示，在平面直角坐标系中，点直线/设圆的半径为圆心在2xOy A0,3,y=2x—4,1,/上.⑴若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；C y=x—14C⑵若圆上存在点使求圆心的横坐标的取值范围.C|M4|=2|MO|,C ay=x—[,解⑴联立【尸尸得圆心为24,C3,
2.|3%+3-2|圆心到切线的距离1=3+F切线的斜率存在，设切线方程为y=+
3.3得k=或女=一疝故所求切线方程为或y=33x+4y—12=
0.设点2Mx,y,由|MA|=2|M0|,知2]*+寸,32=化简得/++12=
4.即点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，M0,—12可记为圆D又因为点也在圆上，故圆与圆的关系为相交或相切.故其中|M1W|CD|3,CZ|=y/a2+2a-
32.12解得/彳.即圆心的横坐标的取值范围是彳0,课时精练圆与圆--的公切线的条数是
1.G x+l2+y—22=4232+22=4A.1B.2C.3D.4答案C解析圆的圆心为半径为圆22的圆心为Cl x+l2+y—22=4C1-1,2,2,Q x-3+y-2=4C23,2,半径为两圆的圆心距即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，2,|CiQI=d—1—32+2—22=4=2+2,故两圆外切，故公切线的条数为
3.过点作圆，产=的切线，则切线方程为
2.P2,4x—12+0-11A.3x+4y—4=0B.4x—3y+4=0或C.x=24x—3y+4=0或答案解析当斜率不存在时，直线％与圆相切；当斜率存在时,D.y=43x+4y—4=0C=2改一1+4-241,1—+1设切线方程为即kx—y+4—2k=0y—4=Zx—2,94解得攵=得切线方程为4x—3y+4=
0.综上，得切线方程为x=2或4x—3y+4=
0.（•沧州模拟）若圆/+麻+产+加二被直线），截得的弦长为则相等于
3.2022C3x+4+4=06,（）A.26B.31C.39D.43答案解析将圆化为C月+mm64,x+8V=64—所以圆心到直线的距离3x+4y+4=0,1—24+41d=该距离与弦长的一半及半径组成直角三角形，5=%所以—根，解得根42+32=64=
39.（•郑州模拟）若直线工+
⑥一〃-与圆-）丁交于两点，当质为最小
4.20221=0C22+2=4A,3时，劣弧的长为（）A5717t兀兀A.5B.C.2D.3答案B解析直线x-\~ay—a—可化为（）〃（）1=0x—l+y—1=0,则当且X—1=0y—1=0,即且时，等式恒成立，所以直线恒过定点x=l y=l设圆的圆心为（）半径C2,0,r=2,当时，取得最小值，|45|且最小值为2\1户一也丁=2小二i=2吸,此时弦长对的圆心角为去A3TT所以劣弧的长为兀A352=（•青岛模拟）已知直线〃曲线2则下列说法正确的
5.2022/3x+2y+3=0,C x+/+4x+2my+5=0,是（）“加是曲线表示圆的充要条件A.1”当〃小时，直线/与曲线表示的圆相交所得的弦长为B.2=3C1是直线/与曲线表示的圆相切的充分不必要条件C.=—3”当m=—2时，曲线与圆2有两个公共点D.C x+/=l答案C解析对于曲线22（）2（,）22曲线要表示圆，A,C x+y+4x+2my+5=0=x+2+j+/n=m—1,C贝（或m\,I—l0=m—1所以“加是曲线表示圆的充分不必要条件，故错误；1”C A对于小时，直线/B,m=3x+45y+l=0,曲线（）小产C:x+22+Q+326,圆心到直线/的距离」小（小）I—2+X—3+1|d=--------------/---------=5，V1+3所以弦长一心故错误；=2”=2^26—25=2,BjI—6—31对于若直线/与圆相切，则圆心到直线/的距离正一^=亚二加=±y]9+mC,4=^―1=3,所以“用=—是直线/与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，正确；3”C C对于当用=—时，曲线（）2）2其圆心坐标为（）r=小,曲线与圆『+D,2C X+2+CV-2=3,-2,2,2=1的圆心距为人（）（）动+故两圆相离，不会有两个公共点，错误.―2—02+2—02=261,D
6.（2022・海口模拟）已知圆f+V—2x—3=0和圆2/+9一2y—1=0的交点为A,B,则下列选项错误的是（）圆和圆有两条公切线A.012直线的方程为B.A3x—y+l=0圆上存在两点尸和使得C.Q|PQ||A5|圆上的点到直线的最大距离为也D.Oi A52+答案解析对于因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确;c A,A对于将两圆方程作差，可得一即得公共弦的方程为％—故正确；B,2x+2y—2=0,A3y+1=0,B对于直线经过圆的圆心,所以线段是圆的直径，故圆中不存在比C,45221,A322长的弦，故错误；对于圆|的圆心坐标为半径为圆心到直线九一,+的距A3C D,1,0,2,A1=0离为也，所以圆上的点到直线的最大距离为地，正确.A32+DI1+H b.天津若斜率为的直线与轴交于点与圆相切于点以则恒
7.20214y A,f+u,-12=i5|答案小解析设直线的方程为则点b,A0,由于直线与圆产=相切，且圆心为半径为AB110,1,1,则解得力=—或匕=所以13,|AC|=2,因为故，/产而18cl=1,|AB|=j i=
6.若为圆上的动点，为圆-＞，上的动点，则线段长度的
8.A G f+y2=l3232++42=4A5最大值是.答案8解析圆的圆心为Ci f+y2=i Ci0,0,半径n=1,圆工一+的圆心为半径所以|©.又为圆上的动点，Q32+42=4C23,-4,9=2,2|=5A G3为圆上的动点，所以线段长度的最大值是门G A3IGC2I++-2=5+1+2=
8.已知圆直线/依
9.C F+y2—8y+12=0,+y+2a=
0.⑴当为何值时，直线/与圆相切；4当直线/与圆相交于两点，且限时，求直线/的方程.2C A,3|A3|=2解根据题意，圆/十丁―1C8y+12=0,则圆的标准方程为42=4,其圆心为半径=0,4,r2,里卫若直线/与圆相切，则有C=2,⑵设圆心到直线/的距离为d,|4+23则有d=yjl+a2即+屋=解得也,24,d=解得=一或〃=—则直线/的方程为17,或x—y+2=07x—y+14=
0.已知点圆22过点的动直线/与圆交于B两点,线段的中点为为
10.P2,2,C x+y-8^=0,P4,A3坐标原点.求的轨迹方程；1M⑵当时，求/的方程及△的面积.解圆的方程可化为所以圆心为|OP|=|OM|POM1C42=16,半径为C0,4,
4.设y则雨y-4,MP=2~x,2~y.MX=x,99由题设知所•痴=0,故x2—x+j—42—y=0,即—3y=
2.由于点在圆的内部，所以的轨迹方程是22P CM x-l+y-3=
2.由⑴可知的轨迹是以点为圆心，啦为半径的圆.由于故在线段PM的垂直2M Ml,3|OP|=|OM|,平分线上，又在圆上，从而P NONJLPM.因为的斜率为所以/的斜率为一小ON3,故/的方程为x+3j—8=
0.又吸，到/的距离为生乎，|OM=QP|=2w/所以匝，|PM=M生续匝=学，故△的面积为冬乙POM=3X XPOM JJJJ如果圆上总存在两个点到原点的距离均为色，则实数，的取值范围
11.C x—a2+y—02=8是A.-3,-1U1,3B.-3,3C.[-1,1]D.-3,-1]U[1,3答案A解析到原点的距离为也的点的轨迹方程为圆22Ci%+^—2,因此圆C〃〃上总存在两个点到原点的距离均为艰，x—2+y—2=8转化为圆与圆了一有两个交点，G f+y2=20—2+2=8•・,两圆的圆心和半径分别为门=®a,r=2®C1O,O,CQ,Ar—ri|CiC|ri+r,.y[2y[2\a\3y[29解得实数的取值范围是一3,-1U1,
3.已知圆-尸=上存在四个点到直线+匕=的距离等于则实数的取值
12.C x—12+29/x—02,b范围是A.-8,1-5^201+572,+8隹的B.1-51+5C.-8,1-V2U1+V2,+8D.1-^2,1+72答案D解析由-知圆心半径为CX—12+22=9Cl,2,3,若圆--上存在四个点到直线的距离等于C12+2y=9/x—y+b=02,则点到直线/匕的距离=0dl,.|1~2+/|22b*^1+-1y[2bl~\-y[
2.1—•邯郸模拟已知点在直线上，过点作圆的两条切线，切点分别
13.2022P x+y=4P f+y2=4为B,则点到直线距离的最大值为A,M3,2B币C.2小A.^2D.答案D解析设Pa b,则a+b=4,9以为直径的圆的方程是OP[-软+^-凯马店，4+与圆的方程相减，f+y2=4得直线AB的方程为ax-\-by=4,即以+勿一4=0,因为所以Q+/=4,b=4—a,代入直线AB的方程，得ar+4—ay—4=0,即当％=，且丁一即时该方程恒成立，ax—y+4y—4=0,44=0,x=l,y=l所以直线过定点A3Nl,l,点到直线距离的最大值即为点之间的距离，IMM=小,所以点到直线距离的M48M,N M3,2A5最大值为小.
14.2021・新高考全国I改编已知点尸在圆工-52+-52=16上，点A4,0,80,2,则下列选项错误的是点到直线的距离小于A.P A510点到直线的距离大于B.P A82当最小时，限C.NPE4|P3|=3当最大时，『引=地D.NPA43答案解析设圆的圆心为由题易知直线回的方程为升学即B X—52+J—52=16“5,5,1,x-I4所以点到直线AB的距离的最大值为，P4+d=4+*4+^=5+故正确.510,A则圆心到直线的距离=叵里夸口=%%所以直线与圆相离,+2y—4=0,M ABA5M易知点P到直线的距离的最小值为岌—过点作484―4=%—4,4\^8125圆的两条切线，切点分别为Q,如图所示，连接MN,MQ,贝胃一故不正确.M N,MB,4=1,B当最小时，点与重合，\PB\22222当最大时，点NPBA PN=^/|MB|-|MN|=^5+5-2-4=3^2,/PB4与重合，IPB[=3®故都正确.P C,D.如图，仅是以为直径的圆上一段圆弧，合是以15A2,0,1,1,C-l,l,0—2,0,为直径的圆上一段圆弧，菊是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线给出3C OAW,以下命题
①曲线与轴围成的面积等于兀；W x2
②曲线上有个整点横纵坐标均为整数的点；W5
③所在圆的方程为22；C8x+^-l=l
④稔与谕的公切线方程为尸也x++
1.其中所有正确命题的序号是
①②②③A.B.
①②③②③④C.D.答案D解析曲线与％轴围成的图形由以为圆心，为半径的半圆加上以为圆心，为半径W0,111,01的;圆，加上以一为圆心，为半径的;圆，加上长为宽为的矩形构成，可得其1,012,1IT7T面积为兀故
①错误；5+5+2=2+曲线上有一共个整点，故
②正确；W2,0,-1,1,0,2,1,1,2,0,5无所在的圆是以为圆心，为半径的圆，其方程为故
③正确；0,11f12=1,设乃与编的公切线方程为y=kx-\-tk0,r0,由直线和圆相切的条件可得HI HIy11+e y/l+k2解得女也一也舍去，=-1,/=1+1则其公切线方程为也，y=—x+l+即x-\-y=故
④正确.1+^2,规定在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指
16.A该球的球心点两球碰撞后，目标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是A指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题图1图2⑴如图设母球的位置为目标球的位置为要使目标球向处运动，求母1,A0,0,B4,0,B8,—4球的球心运动的直线方程；A如图若母球的位置为目标球的位置为让母球击打目标球后,能否使目22,A0,-2,B4,0,A B标球向处运动？B C8,—4解点所在的直线方程为184,0,C8,—4过圆2外一点，作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为梦=2f+yZur Mxoyo9+
7.圆与圆的位置关系的常用结论
2.⑴两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.两个圆系方程2
①过直线与圆22交点的圆系方程为Ar+By+C=0x+y+Zx+Ey+F=0协+；+2Ax+C=0AeR
②过圆为和圆%2+丁+/+£，歹交点的圆系方程为2Ci f+y2+O|x+Sy+=022+2=0%+y2+Z[x+£[y尸2其中不含圆，所以注意检验是否满足题意，以+I+ix+y2+£2x+£2y+F2=0GW—12Q防丢解.【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“或“义”J”⑴若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.J若两圆相切，则有且只有一条公切线.2X⑶若直线的方程与圆的方程组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.V在圆中最长的弦是直径.4V【教材改编题】直线与圆的位置关系为
1.y=x+l f+y2=l相切A.相交但直线不过圆心B.直线过圆心C.相离D.J__V2解析圆心为0,0,到直线y=x+l即x—y+l=0的距离=后2答案B心不在直线上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.y=x+l而但是圆1,过点且倾斜角为微的直线/交圆于两点，则弦的长为
2.0,1d+V—6y=0A,8ABA.VW B.2710吸4y[2C.2D.答案解析过点且倾斜角为的直线/y—l=y[3x,即小尤一D0,11y+l=
0.圆即户=1+y2—6y=0,V+u1-39,L+・・•圆心坐标为0,3,半径r=3,圆心到直线/的距离d==i,・•・直线被圆截得的弦长H8|=2XqA尸=4，1若圆与圆〃相切，则常数〃=.
3.f+y2=l x+42+y—2=25答案小或±20解析两圆的圆心距d=d—42+/,由两圆相切外切或内切，得—〃或解得=±、於或〃4+2=5+14-4+Q2=5-1,2=
0.题型一直线与圆的位置关系命题点位置关系的判断1例直线依一—攵与圆『+的位置关系为1y+2=0y2-2%-8=0相交、相切或相离A.相交或相切B.相交C.相切D.答案解析方法一直线一攵=的方程可化为/:%—该直线恒过定点C y+2—01—3^—2=0,1,
2.因为22l+2-2Xl-80,所以点在圆22的内部,1,2x+y—2x—8=0所以直线依一—攵与圆22相交.y+2=0x+y—2x—8=0一用K+22的距离为所以直线与圆相交.+2—Z=0W23,—41+1方法二圆的方程可化为所以圆的圆心为半径为.圆心到直线区一x—12+9=32,1,0,3y思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法几何法利用与的关系.1d r代数法联立方程之后利用/判断.2点与圆的位置关系法若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.3命题点弦长问题2例⑴直线=日一与圆相交于两点，则的最小值为21C X+32+J—32=3648A.6B.C.12D.16答案解析因为直线=区―过定点故圆的圆心一到直线丁=丘-的距离的最B10,-1,3,31大值为［—3—02+3+12=
5.又圆的半径为故弦长的最小值为2yJ62-52=2y[H.6,|AB|设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为直线/过与圆交于两点，若|阴=则直线/的2C,0,3A,824,方程为或A.3x+4y—12=04x—3y+9=0或B.3x+4y—12=0x=0或C.4x—3y+9=0x=0或D.3x—4y+12=04x+3y+9=0答案B解析当直线/的斜率不存在，即直线/的方程为时，弦长为小，符合题意；当直线/的斜x=021^+2|解得左=—,,综上，直线/的方程为或x=03x+4y—12线的距离为从而有1,WT=i率存在时，可设直线/的方程为=丘+由弦长为小，半径为可知，圆心到该直3,22=
0.思维升华弦长的两种求法⑴代数法将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.几何法若弦心距为圆的半径长为心则弦长炉二系.2d,/=2命题点切线问题3例32022・贵阳模拟已知直线/光+町一1=0是圆C f+y2—6x—2y+l=0的对称轴，过点一必作圆的一条切线，切点为B,则等于41,|AB|A.1B.2C.4D.8答案C解析已知直线/x~\-ay—是圆一的对称轴，圆心半径丫=3,1=0C f+96x—2y+1=0C3,l,所以直线/过圆心3,1,故+一故〃=—31—0,2,所以点A—1,—2,产MC=d3+l2+l+25,\AB\=yl52-32=
4.思维升华当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法几何法设切线方程为丁一加=网工一回，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距禹1d,然后令进而求出攵.d=r,代数法设切线方程为了一加=-一即，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次21方程，然后令判别式进而求得/=0k注意验证斜率不存在的情况.命题点直线与圆位置关系中的最值范围问题4例在平面直角坐标系中，已知圆（产+丁点是直线上的一个动4xOy C x—22=4,A x—y+2=0点，直线分别切圆于两点，则线段尸的长的取值范围为.答案［也，）AP,AQ P,24解析由圆的方程知，圆心（）半径〃.连接PC,（图略），2,0,=2AC,QC、山小川、|广2—0+2|设则，=|AC|=x,x2,\/
2.・・为圆的切线，•AP,4CP.LAP,CQ±AQ
9.\\AP\=\AQ\=正_=,|AC|2_d
4.「是的垂直平分线，•AC PQ\AC\~x|AP||Pq4^-4•••|PQI=2X望,*1-・・吸•2W|PQ|4,即线段尸的长的取值范围为［吸，）
24.思维升华涉及与圆的切线有关的线段长度范围（或最值）问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.【教师备选】（•深圳模拟）设直线（止）与圆2则下列结论正确的是（）
1.2022/y=h+l RC x+/=5,/与可能相离A./可以将的周长平分B.当％时，/被截得的弦长为手c.=1/被截得的最短弦长为D.C4答案D解析对于选项，直线/过定点（），且点（）在圆内，则直线/与圆必相交，选项A0/0,1C CA错误；对于选项，若直线/将圆的周长平分，则直线/过原点，此时直线/的斜率不存在，选项错B C B误；对于选项，当女时，直线/的方程为圆心到直线/的距离为竽，C=1X—y+l=0,d=所以直线/被截得的弦长为，—停（，选项错误；C2152=3/c对于选项，圆心到直线/的距离为或号所以直线/被截得的弦长为、一屋D C4=W1,C2524,D选项正确.过点尸（|,坐）的直线/与圆（）交于两点，当最小时，此时直线
2.C x—12+V=4A,B NAC3/的方程为，ZACB=.答案厂x+S3=0—解析圆（）的圆心为（）验证知点尸在圆内，当最小时，最Cx—l2+y2=4C1Q,NACB|AB|落短，即和垂直，因为的斜率攵--------=小，CP45CP cp=q-12所以直线的斜率为一半,A3即小x+y—3=
0.所以直线/的方程为岑=y—此时所加f所以ZACB=~^.NACP=/,跟踪训练1
（1）（2021・新高考全国n改编）已知直线/依+E一d=0与圆C-+y2=己点〃，份，则下列说法错误的是（）若点在圆上，则直线,与圆相切A.A若点在圆内，则直线/与圆相离B.A若点在圆外，则直线/与圆相离C.A若点在直线/上，则直线/与圆相切D.A解析圆心（）到直线I的距离d=C0,0答案C所以d==|小则直线/与圆C相切，故A正确;y]cr+b2若点A（U）在圆C上,则层+02=於,9若点（）在圆点内,则22A Q,6f+Z r,所以耳，言凡则直线/与圆相离，故正确;1=CB所以d=则直线/与圆相交，故错误;|r|,C Cy]a2+b2若点在圆C外,则22Aa,6r+/r,若点〃在直线/上,则/+〃—/=,A,b即层+庐=户,了所以d=72+=1小则直线/与圆C相切，故D正确..北京已知圆x2-\-r—4,直线/y—kx+m,当攵变化时，/截得圆弦长的最小值22021C C为则相等于2,A.±2B.±^2C.±73D./答案C则圆心到直线的距离”=解析由题可得圆心为半径为0,0,2,依则弦长为一篝「2y4则当氏时，弦长取得最小值为—加解得加=地.=02y42=2,由直线上的一点向圆产=引切线，则切线长的最小值为.3y=x+l-32+1答案由解析设直线上一点尸，切点为圆心为的坐标为则即为切线长，为圆的半径，Q,M3,0,|PQ||MQ|M长度为\PQ\^\PM\2~\MQ\2^y[\PM\2-},1,要使最小，即求的最小值，此题转化为求直线上的点到圆心的最小距离.设圆IPQI|PM y=x+l M心到直线的距离为d,y=x+l,|3—0+1|nt r，=12+—12=2/的最小值为2版此时川|所—=叱的=S.IPQI122—1题型二圆与圆的位置关系例512022・来宾、玉林、梧州模拟若圆G-12+一〃2=4与圆2x+22+y+相交，则正实数的取值范围为12=/QA.3,+8B.2,+8，C.|+8D.3,4答案A解析解2|=9++12,因为圆22与圆相交,Ci:x—l+j—tz=4Q x+22+y+l2=/所以〃—21Vq9+4+12+2,解得
3.圆与圆的公共弦所在直线的方程为，公共弦2Gf+V—2x+iy—24=0Q f+y2+2x+2y—8=0长为.答案x-2y+4=02y[5解析联立两圆的方程得两式相减并化简，得此即两圆公共弦所在直线的方程.x—2y+4=0,由2%+10y—24=0,得x—l2+O+52=50,圆的圆心坐标为半径r=5p,Ci1,-5,|l-2X-5+4|d=3+—22圆心到直线的距离为x—2y+4=0设公共弦长为由勾股定理得户匕即小匕解得/=小,故公共弦长为小.2/,=4+50=32+2【教师备选】已知两圆^+y1—2x—6y—和丁一加.求1=0r+10%—12y+=0加取何值时两圆外切？1当机时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.2=45解两圆的标准方程分别为一+一1232=11,22%—5+J—6=61—m,圆心分别为N5,6,半径分别为和-m.qn16i当两圆外切时，122=y[Tl m.^5—1+6—3+^61—解得机=25+ls/TT.⑵两圆的公共弦所在直线的方程为年十一一寸+一即92x—6y—19IO%—I2y+45=O,4x+3j—23=
0.（）/l|4+3X3—23|由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，求得公共弦的长为疝）2x2—[―2思维升华（）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间1的关系，一般不采用代数法.⑵若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去2项得到.x,V跟踪训练⑴已知圆（）截直线所得线段的长度是艰，则2M f+V—20=040x+y=O2圆与圆
（五一），的位置关系是（）M N12+0-1y=1内切相交外切相离A.B.C.D.答案解析由题意得圆M的标准方程为〃）〃圆心（〃）到直线龙+尸的距离B f+0,—2=2,0,d=京,所以吸，解得=圆圆的圆心距也小于两圆半径之和大于两圆半径2\*=22,M,N|MN|=3,之差故两圆相交.1,
（2）（2022・长沙模拟）已知圆记+产+以一2）-4=0,圆C2（x+|+Q=，则这两圆的公共弦长为（）A.5B.2^2C.2D.1答案C解析由题意知圆『+G y2+4x—2y—4=0,圆22将两圆的方程相减，得G x+y+3x—3y—1=0,x+y—3=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y—3—
0.|-2+1-3|1—理.所以这两圆的公共弦的弦长为（公）=22^^=2^32—22=
2.又因为圆的圆心为
（一）半径所以圆的圆心到直线的距离G2,1,r=3,Ci x+y—3=0公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的3Apollonius平面轨迹问题，其中有如下结果:到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点为两定点，动点满足|布|=川45P PB|.则时，动点尸的轨迹为直线；当且时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼2=1202W1P斯圆.证明设〃（机）|%|=川剧，以的中点为原点，直线为轴建立平面直角H8|=220,AB45x坐。
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