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第五章四边形多边形与平行四边形
5.1课标|导|航|◎了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.◎理解平行四边形的概念;了解四边形的不稳定性.◎探索并证明平行四边形的性质定理和判定定理.从多年的安徽中考试题看,这部分的内容属于高频考点，题型多样，难度中等及以上，题目的综合性强,既能与三角形的全等、相似相结合，又能与列代数式、方程、函数相结合.预测年安徽中考会延续这2022种趋势.命题点多边形的性质［年考］11031（.2015•安徽第8题）在四边形4BCD中,乙4=/3=/,点£在边A5上,NAEO=60，则一定有（D）A.ZADE=20°B.ZADE=30°C.ZADE=^ZADC D.ZADE=^ZADC23【解析】设由题意可得即NAD£+NA£O+NA=180°,NA+NB+NC+NADC=360°,x+60°+ZA=180°
①,3NA+y=360°
②，由
①x3—
②可得3x-y=0,所以x=1y即N4DE=VfADC.（•安徽第题）在口中典方是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形
2.20189430BD AECF一定为平行四边形的是（）BN.BE=DF B.AE=CFC.AF//CE D.ZBAE=ZDCF【解析】如图，由口43£）得A庆CU〃CD斯以N4BE=NCDF,结合选项A或D的条件可得到△ABE名△CDF,进而得到〃尸，判断出四边形AEC尸一定为平行四边形;结合选项C的条件可得到△A3户名△CD区所以区判断出四边形一定为平行四边形;只有选项不能判断出四边形一定为平行四Ab=C AECFB AE5边形.（•安徽第题）如图，尸为平行四边形边上一点禺歹分别为的中点，△尸△尸
3.2013134BCD PB,PC EF,OC,△PAB的面积分别为SSS.若S=2,则SI+S=
8.2【解析】因为£/分别为PB,PC的中点，所以所〃BC,且即=；BC.由相似三角形的性质可得S△PBC=114s△PEF=8,又因为S△PBC=SQ4BCO,所以SI+S2=所以SI+§2=
8.
4.［一题多解］2019•安徽第20题如图，点E在BCD内部4尸〃尸〃CE1求证:△SCEgZVIOF;⑵设口的面积为四边形的面积为求/的值.45S,AEDF T,解:⑴如图延长与的延长线交于点1,FA CBM.,:AD〃BC,.ZFAD=ZM.又,AF〃BE,.NM=NEBC,.ZFAD=ZEBC.同理得NED4=N£CA在△5CE和△AOF中，V NEBC=N FAD,BC=AD,N ECB=N FDA,:•△BCEQAADF.⑵解法如图连接1:1,EF.由⑴知△SCE gAADF,.AF=BE.5L9AF//BE,.四边形ABEF为平行四边形,A S^AEF=SAAEB1^1S SADEF=SADEC,:.T=SAAEB+SADEC・另一方面/产=SAAEZ+SZ\A SZUED+SABCE,•S=S AEB+S ADELS AAED+SBCE=2T,于是沁.解法2:V△BCEqAADF,:.T=SAEDTSW如图2,过点E作直线I上BC,交BC于点G,交AD于点H..EG±BC,EH±AD,111G:.T=SAAED0RCEWBC.EG+EH=gBC,GH=S,即*=
2.改编题如图,四边形是矩形,ABCD N£DC=NC45,ND£C=90°.⑴求证:AC〃0E;过点作于点居连接判断四边形的形状；2B BFLACEF,BCEF⑶连接居若矩形ABCD的面积记为多,四边形CEDF的面积记为Sz,直接写出f1的值.$2解:⑴:四边形是矩形，ABCD.AB//CD,.ZACD=ZCAB.V ZEDC=ZCAB,.ZEDC=ZACD,.AC//DE.⑵四边形是平行四边形.BCEF理由:丁足四边形是矩形,，3LAC,ABC NZEC=90A ZDEC=ZAFB=90°,DC=AB.Z-DEC=Z-AFB,在和△A4厂中J4EDC=^FABfCD=BA,.ACDE^ABAFAAS,/.CE=BF,DE=AF.,:AC〃DE,.四边形ADEF是平行四边形,，AO=£E,:AD=BC,，EF=BC.VCE=BF,.四边形BCEF是平行四边形.
32.〃内用和定理切边形的内角和等fD-件而,外用和定理，多边形的外用和都等于
②卜布!对用线，过〃边形的一个顶点可以引缸上二3一条耐用线共有对待线
④—r^条.♦多边形多边形,边U正■边形一边一“日与平怀flh正阳边形每个内角郡等于
⑥J.卷个外角都等于
⑦一四边形11多边形的性质《正边花行®________条时称.N对称性J正刀边形有一个外接圈，又有一个内切IW,它的是同心1«I边数为隅数的正多边形是中心对称图形f两组对边分附行边K两组W角分别⑪性质〈用四组邻用分别互补多边形平行四边形《耐的线，对角线⑪「I丫分与平忖旦登在，平行四边形是中心M称图形•时称中心是两条对用线的交点四边形|两组对边分别平行的四边形是平行四边形边1两组时边分别相等的四边形是平行四边形判定《I一组咐边⑬Fc m的四边形是平行四边形用两组对用分别相等的四边形是平行四边形定义，两组对边分别
⑨门.的四边形叫做平行四边形时用线，时用线⑪丫的四边形是平行四边形典例中心为的正六边形的外接圆半径为经过点的直线交于点ABCDEF6cm,0AF.CDPQ汝口图11,
①正六边形尸的内角和是，每个内角是°,中心角的度数48CDE NA03是°，正六边形的对角线共有条淇中ABCDEF AD=cm.
②当是的中点时,P AFN0P4=°,OP=cm.
③求证:△尸A gADOQ.连接尸星尸瓦£,如图
22.
①求证:四边形为平行四边形；P8QE
②四边形周长的最小值是一PBQE cm.如图若是上一点求证:〃尸33,M3AM0【答案】⑴
①720;120;60;9;
12.290;3V
3.
③在正六边形中,尸〃ABCDEF4=04CD,:.ZOAP=Z ODQ,ZAPO=ZDQO,./\AOP^ADOQ.⑵
①由1可知△AOPg△OOQ,A AP=DQ.又;在正六边形中A5COE/AB=DE,NBAP=NED=120°,.AABP^ADEQ,:.BP=EQ.9AF=CD,.AF-AP=CD-DQ^PF^CQ.同理可证PE=BQ,.四边形PBQE为平行四边形.
②12®提示:如图，作点E关于直线4尸的对称点连接BE与4尸的交点为P,此时BP+EP的值最小.连接EF,EE\EE与4F的延长线交于点易得EF=FEf=6,EEf1AH EE=2EH=2EF-sin60°=6V3,BEf=12,ZBEEf=90,・・.BE，=J BE2+EE，2=J122+6何2=6收...四边形为平行四边形」四边形周长的最小值是PBQE PBQE12bcm.连接30c在正六边形中；都是等边三角ABCDEF OB=OC=OD,NBOC=NCOD=60JAOBCAOCD形,:.OB=BC=CD=OD=OC,.四边形BCDO是平行四边形,，区〃.又四边形是平行四边形，MQD0:.OM=DQ.由1
③知△A OPg△DO0,:.AP=DQ,:.AP=OM.9AP//DQ,.AP//OM,.四边形AMOP是平行四边形,•••AM〃尸归纳总结l.n边形的内角和为〃-2・180°，过每个顶点有〃-3条对角线,共有的衿条对角线;正n边形的每个内角为空咏中心角为也.正多边形的中心到各顶点的距离相等.I nn.要体会性质与判定之间的互逆关系.2提分1如图,0是△ABC内一点，连接O30G并将AB.0B.0CAC的中点D,E,F,G依次连接，得到四边形DEFG.求证:四边形是平行四边形；1DEFG⑵若为的中点和互余，求的长度.M,0M=3,N03N0CB DG解:⑴分别是的中点，ABAC.DG//BC,DG=^BC.，2•E,F分另I」是OB.OC的中点,•••£耳〃5C,E尸二；BG:・DG=EFQG〃EF,•••四边形是平行四边形.DEFG2V ZOBC^iZOCB互余，工NOBC+NOCB=90°,.ZBOC=90°.为的中点,V MEF0M=3,■EF=2OM=
6.由⑴知四边形是平行四边形,DEFG提分如图，在口区中，点分别在上力与相交于点，且24E.F BC^D EFAO=CO.求证:金1ZU/XCOE;⑵连接『,则四边形填“是”或“不是”平行四边形,并说明理由.A£,C解:⑴:四边形ABCD是平行四边形，.AD//BC,.ZOAF=ZOCE.Z-OAF=Z-OCE,在△40厂和△COE中,40=C0f乙[^AOF=COE,.AAOFg△COEASA.2理由由1得AAO万名△COE,.FO=EO.又,，四边形是平行四边形.•••40=AECF。
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