2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第11章 §11.1　随机事件的概率

随机事件的概率§

11.1【考试要求】了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率L的区别理解事件间的关系与运算.2【知识梳理】事件的相关概念

1.频数、频率和概率

2.（）频数、频率在相同的条件下重复〃次试验，观察某一事件是否出现，称〃次试验中事1S A件出现的次数〃人为事件出现的频数，称事件出现的比例加）为事件出现的频率.A A A A=^A（）概率对于给定的随机事件如果随着试验次数的增加，事件发生的频率以）稳定在2A,A A某个常数上，把这个常数记作（）称为事件的概率.P A,A事件的关系与运算

3.名称结论条件符号表示事件包含事件（事件B A包含关系发生发生或A=34AGB包含于事件）A B相等关系若33A且A3B事件牛与事件牛相等A=B事件与事件的并事件43并（和）事件发生或发生A8（或和事件）事件与事件的交事A3交（积）事件发生且发生或A3A n8AB件（或积事件）互斥事件A A5为不可能事件事件牛与事件5互斥AHB=0为不可能事件，AA8事件与事件互为对A8对立事件PAUB=1AGB=0,为必然事件AU8立事件【常用结论】当随机事件互斥时，不一定对立；当随机事件对立时，一定互斥.也即两事件互斥

1.A,3A,3是对立的必要不充分条件.随机事件发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，

2.A事件发生的频率逐渐稳定于事件发生的概率.AA【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“义”）J”⑴必然事件一定发生.（）V梦”“丁取到红楼梦”，所以石与歹不是对立事件，故与歹是互斥但不对立事件，正确；对E B于事件事件所以包含于正确；对于基本事件为正品，次品，C,A={1,2,3,4,5},3={2,3,5},5A,C D,故正确.D笼子中有只鸡和只兔，依次取出一只，直到只兔全部取出，记录剩下动物的脚数.则剩

7.433余动物的脚数为.答案0,246,8解析最少需要取次，最多需要取次，那么剩余鸡的只数最多只，最少只，所以剩余动3740物的脚数可能是8,6,4,2商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，

8.300以这周内某天售出的双皮鞋的尺码为一个样本，分为组，已知第组的频率为，第组40531,2,4的频数分别为若第组表示的是尺码为的皮鞋，则售出的这双皮鞋中尺码为6,7,

9.540〜42300的皮鞋约为双.40〜42答案60解析:第组的频数分别为1,2,46,7,9,・•・第1,2,4组的频率分别为6__7__9_===而=，而=，40-・••第3组的频率为，・••第5组的频率是1----------=,；・售出的这300双皮鞋中尺码为40〜42的皮鞋约为X300=60（双）.盒子里有个红球、个白球，现从中任取个球，设事件个球中有个红球、个白

9.643A={312球},事件个球中有个红球、个白球},事件个球中至少有个红球},事件={个B={321C={313球中既有红球又有白球}.⑴事件与人是什么样的运算关系？D B⑵事件与的积事件是什么事件？A解

（1）对于事件可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故O=A+B.⑵对于事件可能的结果为个红球、个白球或个红球、个白球或个红球，故C,12213CA=4设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为.现采用分层抽样的方法从这三个

10.27,9,18协会中抽取名运动员组队参加比赛.6⑴求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；⑵将抽取的名运动员进行编号，编号分别为.现从这名运动员中随机抽64,A2,A3,A,A5,464取人参加双打比赛.2

①用所给编号列出所有基本事件；

②设为事件“编号为和的两名运动员中至少有人被抽到”,写出该事件的集合表A441水.解甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为则应从甲协会抽取备人，127+9+18=54,27X=3从乙协会抽取义备人，9=1wZ I从丙协会抽取方人.18X=2故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,12⑵

①从名运动员中随机抽取人参加双打比赛的所有基本事件为624,A2,Ai,A3,Ai,A4,Ai,A5,Ai,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,共种.4,4,A,A,A,A,A,1554656

②事件可用集合表示为A｛4,A5,AI,A6,A2,A5,A2,46,A3,A5,A3,A6,Ai,A5,4,4,4,46}.年月日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活

11.202157疫苗细胞，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单世卫组织审评Ver EUL.认为该疫苗的效力为，最高达安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题.所谓疫苗的90%,效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗对照组发病率一疫苗组发病率义.关于注射疫苗，下列说法正确的是100%对照组发病率组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力=只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎A.注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低B.若对照组人，发病人；疫苗组人，发病人，则效力为C.10000100200004040%若疫苗的效力为对照组的发病率为那么在个人注射该疫苗后，一定有D.80%,50%.100001000个人发病答案B解析由题意知，疫苗的效力为，最高达但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠90%,肺炎，故选项错误；A疫苗的效力为，最高达所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选90%,项正确；B若对照组人,发病人；疫苗组人,发病人,则注射疫苗的效力=1000010020000401000020000X100%=80%,故选项C错误;ibo1004010000若疫苗的效力为对照组的发病率为只是反应了一个概率问题，并不能说明在个80%,50%,10000人注射该疫苗后，一定有个人发病，故选项错误.1000D一批产品共件，其中件是次品，件是合格品，从这批产品中任意抽取件，现给

12.1005955出以下四个事件事件“恰有一件次品”；4事件“至少有两件次品”；b事件“至少有一件次品”；C事件“至多有一件次品”.则以下结论正确的是（）是必然事件A.AUB=A B.C.AUB=B D.AUD=C答案B解析表示的事件为至少有一件次品，即事件所以不正确，不正确；表示的事AUB C,A COU3件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以正确；表示的事件为至B AU多有一件次品，即事件所以不正确.D对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设｛两次都击中飞机｝,｛两次

13.4=3=都没击中飞机｝,｛恰有一弹击中飞机｝,=｛至少有一弹击中飞机｝,下列关系不正确的是C=（）A.AQD B.BCD=0C.AUC=D D.AUC=BUD答案D解析对于选项事件包含于事件A,A O,故正确.A对于选项由于事件不能同时发生.B,3,故故正确.8GO=0,B对于选项由题意知正确.C,对于选项由于）｛至少有一弹击中飞机｝,不是必然事件；而为必然事件，所D,AUC=Z=3UO以，故不正确.AUCW8U D某汽车站每天均有辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站

14.3乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序.为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为.套案-u木2解析共有6种发车顺序

①上、中、T；

②上、下、史；

③中，上、下；

④中、下、上；

⑤下、史、±；

⑥下、上、中其中画横线的表示袁先生所乘的车，所以他乘坐上等车的概*J1率熊=亍

4115.若A,3互为对立事件，其概率分别为尸A=n PB=-,且心0,0,则x+y的最小xy值为A.7B.8C.9D.10C答案4i解析由题意知1y则叶产%+处停+；=伴+*5+5+2g1=9,当且仅当#=,即时等号成立.x=2y%y甲、乙二人用张扑克牌分别是红桃红桃红桃方片玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，

16.42,3,4,4背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.⑴写出甲、乙抽到牌的所有基本事件；⑵若甲抽到红桃则乙抽到的牌的数字比大的概率是多少？3,3甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为3什么？解分别用表示红桃红桃红桃方片则甲、乙抽到牌的所有基本事12,3,4,4,2,3,4,4,件为2,3,2,4,2,4,3,2,3,4,3,4,4,2,4,3,4,4,4‘，2,4，3,4‘，4,共12种.⑵甲抽到红桃乙抽到的只能是红桃红桃方片因此乙抽到牌的数字比大的概率是奈3,2,4,4,33甲抽到的牌的数字比乙的大，有3,2,4,2,4,3,4；2,43,共5个基本事件,57因此甲胜的概率为有，乙胜的概率为乙乙1-157因为方而，所以此游戏不公平.乙!_JL⑵在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.（）V⑶两个事件的和事件是指两个事件都得发生.（）X

（4）若AU8是必然事件，则A与8是对立事件.（X）【教材改编题】一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）

1.至多有一次中靶两次都中靶A.B.只有一次中靶两次都不中靶C.D.答案D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.把一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，其中有次正面朝上，次反面朝上，则掷一

2.1000496504次硬币正面朝上的概率为.答案解析掷一次硬币正面朝上的概率是

3.先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0,则这个试验有个基本事件.答案4解析这个试验的基本事件为（）（）（）（）共个.1,1,1,0,0,1,0,0,4题型一随机事件与基本事件个数例（）在，这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于11123,…105”这一事件是（）必然事件不可能事件A.B.随机事件以上选项均有可能C.D.答案A解析从1,2,3,…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6,・•・事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，•••由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件.⑵袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸次，每次摸取一个，观3察摸出球的颜色，则此随机试验的基本事件个数为（）A.5B.6C.7D.8答案解析因为是有放回地随机摸次，所以随机试验的基本事件有（红，红，红），（红，D3红，黑）,（红，黑，红），（红，黑，黑），（黑，红，红），（黑，红，黑），（黑，黑，红），（黑，黑，黑）共个.8【教师备选】一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的个白球，个黑球，个红球，从中分两次234依次取两个球.⑴写出这个试验的基本事件；（）“至少有个白球”这一事件包含哪几个基本事件？21解

（1）这个试验的基本事件有（白，白），（黑，黑），（红，红），（白，黑），（白，红），（黑，白）,（红，白）,（黑,红），（红,黑）.（）“至少有个白球”这一事件包含以下个基本事件（白，白），（白，黑），（白，215红），（黑,白）,（红,白）.思维升华确定基本事件个数的方法⑴必须明确事件发生的条件.（）根据题意，按一定的次序列出问题的答案.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去2写，要做到既不重复也不遗漏.跟踪训练1

（1）下列说法错误的是（）任一事件的概率总在［］内A.0,1不可能事件的概率一定为B.0必然事件的概率一定为C.1概率是随机的，在试验前不能确定D.答案D解析任一事件的概率总在［］内，不可能事件的概率为必然事件的概率为概率是客观0,10,1,存在的，是一个确定值.⑵同时抛掷两枚完全相同的骰子，用（尤，）表示结果，记为“所得点数之和小于，则事y A5”件包含的基本事件的个数是（）AA.3B.4C.5D.6答案D解析事件包含（）（）（）（）（）（）共个基本事件.A1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1,6题型二事件的关系与运算例（）某人打靶时连续射击两次，设事件只有一次中靶，两次都中靶”，给出下21A=B=列说法

①②（）至少一次中靶”

④A与3互为对立事件.APB=03AUB=其中正确的是（）A.

①②B.

②③C.

③④D.

①④答案B解析事件只有一次中靶，=两次都中靶”，所以是互斥但不是对立事件,所以

①④A=A,5B错误，

②正确.至少一次中靶”，

③正确.AUB=⑵将颜色分别为红、绿、白、蓝的个小球随机分给甲、乙、丙、丁个人，每人一个，则44事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是对立事件B.事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”C.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是:D.答案D解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，错误；事件A“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，错误；B事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，错误；C事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是正确.D■【教师备选】抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件

1.Ci=点数为/，其中i=l,2,3,4,5,6；Di=“点数不大于2，D=点数不小于2，6=点数大于5”；2点数为奇数”，点数为偶数”.E=F=下列结论正确的是与对立＞］与互斥A.B.£22C.D QFD.E D1CD23卫答案C解析对于A,C=点数为1”，C=点数为2”，G与C2互斥但不对立，故选项A不正确；2对于B,Dx=点数不大于2，6=“点数不小于2”，当出现的点是2时，与2同时发生，所以］与不互斥，故选项不正确；2B对于点数大于表示出现点，点数为偶数”，所以6发生产一定发生,所以C,3=5”6F=3口尸，故选项正确；C对于表示两个事件同时发生，即出现点，点数为奇数”，所以D,2E=发生，事件右不发生，所以七不正确，故选项不正确.D02从至这个自然数中任取两个，有如下随机事件

2.199恰有一个偶数；恰有一个奇数”；A=B=至少有一个是奇数；两个数都是偶数”；C=D=至多有一个奇数”.E=下列结论不正确的是（）A.A=B B.B7C）C.DHE=0D.CnZ=0,CUD=Q答案c解析事件A,3都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以故正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件有公共事3GC,B D,E件，故错误；此时是对立事件，所以C C,CAO=0,CUO=

0.思维升华事件的关系运算策略（）互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生.1⑵进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运用图分析事Venn件.跟踪训练2⑴（

2022.长春模拟）口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是（）至少有个红球与至少有个黑球A.11至少有个红球与都是黑球B.1至少有个红球与至多有个黑球C.11恰有个红球与恰有个红球D.12答案D解析对于不互斥，如取出个红球和个黑球，与至少有个黑球不是互斥事件，所以A,211A不符合题意；对于至少有个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中个发生.所以为互斥事件,且为B,11对立事件，所以不符合题意；B对于不互斥.如取出个红球和个黑球，与至多有个黑球不是互斥事件，所以不符合题C,211C意；对于恰有个红球与恰有个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有个红D,123球.⑵抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件向上的点数为广，其中向上4=7=123,4,5,6,8=的点数为偶数”，则下列说法正确的是（）B.A2+B—Q答案解析对于C A,A1={2,345,6},3={246},故错误;.BQ A1,A对于B,对于C,A3与3不能同时发生，是互斥事件，故C正确;故错误;A+B={2}U{2,4,6}={2,4,6}WQ,B2对于D,4={4},5={1,3,5},4与8是互斥但不对立事件，故D错误.频率与概率题型三例某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶元，售价每瓶元,346未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位）有关.如果最高气温不低于需求量为瓶；如果最高气C25,500温位于区间［）需求量为瓶；如果最高气温低于需求量为瓶.为了确定六20,25,30020,200月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:[10,[15,[20,[25,[30,[35,最高气温152025303540]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.⑴估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率;300⑵设六月份一天销售这种酸奶的利润为丫（单位元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出丫的所有可能值，并估计丫大于零的概率.解

（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25,由表中数据可知,最高气温低于的频率为黠*25所以这种酸奶一天的需求量不超过瓶的概率的估计值为300⑵当这种酸奶一天的进货量为瓶时,450若最高气温低于20,则Y=200X6+450-200X2-450X4=-100；若最高气温位于区间[20,25,则Y=300X6+450-300X2-450X4=300；若最高气温不低于25,则7=450X6-4=900,所以利润的所有可能值为一y100,300,

900.丫大于零当且仅当最高气温不低于由表格数据知，最高气温不低于的频率为20,2036+25+7+490因此丫大于零的概率的估计值为【教师备选】某险种的基本保费为单位元，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下上年度出险次数2501234保费a a a a a2a随机调查了该险种的名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表:200出险次数2425013频数605030302010记为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求的估计值；1A PA2记3为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P3的估计值；⑶求续保人本年度平均保费的估计值.解事件发生当且仅当一年内出险次数小于.由所给数据知，一年内出险次数小于的1A22『6n频率为=,故的估计值为PA⑵事件发生当且仅当一年内出险次数大于且小于.由所给数据知，一年内出险次数大于81430+30且小于的频率为，而一=，故尸的估计值为140由所给数据得3保费aaaaa2a频率调查的名续保人的平均保费为因此，续保人本年度平均保200aX-\-aX-\-aX-\-aX-\-aX-\-2aX=5a费的估计值为5a思维升华概率与频率的关系1随机事件概率的求法2跟踪训练某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量单位万千瓦时与该河上游在3y六月份的降雨量X单位毫米有关.据统计，当X=70时，y=460；X每增加10,Y增加

5.已知近年的值为20X140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,

160.⑴完成如下的频率分布表近年六月份降雨量频率分布表20降雨量70110140160200220频率⑵假定今年六月份的降雨量与近年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今20年六月份该水力发电站的发电量低于（万千瓦时）或超过（万千瓦时）的概率.490530解

（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个.故近年六月份降雨量频率分布表为20降雨量70110140160200220频率X—70X（）根据题意，乙2Y=460+—[7-X5=7+425,JL故（“发电量低于万千瓦时或超过万千瓦时）=（或）P490530P Y497530（或）=P X130X210（）（）（）=P X=70+P X=110+P X=220j_2_j_==一而十而十疝一花・3故今年六月份该水力发电站的发电量低于（万千瓦时）或超过（万千瓦时）的概率为行.490530课时精练

1.下列说法正确的是（）任何事件的概率总是在（）之间A.0,1频率是客观存在的，与试验次数无关B.随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率C.概率是随机的，在试验前不能确定D.答案c解析不可能事件的概率为必然事件的概率为故错；0,1,A频率是由试验的次数决定的，故错；概率是频率的稳定值，故正确，错.B CD年东京奥运会中国体育代表团共有人，截止到月日，未完成疫苗接种的有

2.2021777715人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为（）3A.B.C.D.答案A777—3解析中国体育代表团成员的疫苗接种率约为一^二1=在一个袋子中装有分别标注的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中

3.123,4,5随机取出个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为或的事件包含的基本事224件个数为A.2B.4c.6D.8答案B解析从个小球中任取个，其中数字之差的绝对值为或的事件包含52241,3,1,5,2,4,3,5,共个基本事件.4抛掷一枚骰子，“向上的点数是或为事件“向上的点数是或为事件以则

4.12”A,23”A.A^BB.A=B表示向上的点数是或或C.A+3123表示向上的点数是或或D.AB123答案c解析由题意,可知A={1,2},B={2,3},则表示向上的点数为或或AG3={1},AUB={1,2,3},

123.一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为从中任取两球，则互斥而不对

5.3,2,1,立的两个事件为至少有一个白球；都是白球A.至少有一个白球；至少有一个红球B.恰有一个白球；一个白球一个黑球C.至少有一个白球；红球、黑球各一个D.答案D解析对于红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各D,一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以选项符合.下列说D

6.法不正确的是若事件与互斥，则是必然事件A.A8A《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著.若在这四大名著中，B.甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件甲取到《红楼梦》，事件乙取到E=F=《红楼梦》”，则与尸是互斥但不对立事件E掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件向上的点数不大于，事件向上的点数为C.A=55=质数”，则BGA个产品中有个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则包含两个基本事件D.102答案A解析对于事件与互斥时，不一定是必然事件，故不正确；对于事件与不会A,A5AU5A B,E b同时发生，所以与尸是互斥事件，但除了事件与尸之外还有“丙取到红楼E E。