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等式性质与不等式性质【考试要求】L掌握等式性质2会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用.佚口识梳理】
1.两个实数比较大小的方法a-hO^ah,作差法一匕=00［三，a,ZeR^a—bO^ab.
2.等式的性质性质1对称性如果那么性质2传递性如果〃=/,b=c,那么a=c；性质3可加减性如果a=b,那么〃土c=b土c；性质4可乘性如果4=，那么〃c=bc；性质5可除性:如果=，cWO,那么旦=与
3.不等式的性质性质1对称性ab0ba；性质2传递性ab,bc^ac；性质3可加性ab^a+cb-\rc；性质4可乘性ah,cO=achc；ah,cO=achc；性质5同向可加性ab,cd^a-\-ch-\-d；性质6同向同正可乘性ah0,cdO^achd；性质7同正可乘方性Qb0=Q〃〃〃£N,〃N
2.【常用结论】
1.若ah0,且01Vl.a bb b-\-m
2.右abO,m0=-_r-；ci a-vm,bb-\-m右ba0,心0=一〉-;.a a-rm【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“J”或“X”⑴两个实数，之间，有且只有泌，a=b,三种关系中的一种.Vb2若一1,则/a X
4.若m=log，/+l）,〃=log，a+l）,〃=log，2〃），则相，,〃的大小关系是（）A.nmp B.mpnC.mnp D.pmn答案B解析由co\知,tz2+1—la—（a—1）20,即/+l2m而2a—（+1）=-l0,即2〃〃+1,，/+1,而y=logx在定义域上单调递增，atnpn.
5.已知a,ZeR,则“⑷||”是“齐1”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析不妨令a=l,b=Oy故⑷|不能推出齐1,若亮1,故，同号，若a,b都大于0,则ab0,从而间|切;若a,b都小于0,则从而间故齐1能推出间制,从而“间|例”是成立的必要不充分条件.
6.（2022・济宁模拟）已知xyz,x+y+z=O,则下列不等式恒成立的是（）A.xyyz B.xyxzC.xzyz D.x|y||j|z答案B解析因为xyz,x+y+z=O,所以x0,z0,y的符号无法确定，对于A,因为xOz,若y0,则xyOyz,故A错误；对于B,因为yz,x0,所以xyxz,故B正确；对于C,因为xy,z0,所以xzyz故C错误；9对于D,因为xz,当|y|=0时，x\y\=\y\z,故D错误.
7.设m h,c,d为实数,且Q»O〉cd,则下列不等式正确的是A.cd B.a-cb—d-——c d〜C.acbd D—T0a b答案D解析因为ahOcd,所以ahO,Ocd,对于A,因为0cd,由不等式的性质可得，cd,故选项A错误；对于B,取Q=2,b=1,c=—1,d=-2,则a—c=3,b—d=3,所以a—c=b—d,故选项B错误；对于C,取Q=2,b=l,c=—1,d=-2,则=—2,bd=—2,所以故选项C错误；对于D,因为ab0,dc0,则adbc,所叫，故，一条0,故选项D正确.Vv ex
8.若0〃vl,bc1,贝J A-O B骨/C.ca~}bal D.logM〈log/M答案Dh解析对于A,・”c1,■.*0fl1,贝I150=1，对于B,右b—a b故选项A错误；则bc—abbc—ac即ac—b0这与0al,bc\矛盾,故选项B错误;99对于C,・・・01,.a-lQ.\9hcU.ca~]ha~\故选项C错误;对于D,・.・01,hc\,/.logc^log^,故选项D正确.
9.已知M=/+y2+z2,N=2x+2y+2z—兀，则M M填“〉”“”或“=”答案解析A7—A^=x2+y2+z2—2x—2j—2Z+TT=%—12+^—l2+z—12+TT—3^TT—30,故MN.；10,2022•宜丰模拟若:、,已知下列不等式
①〃+/次；®\a\\b\；
③Q@-+^
2.v-i C/L,
1.7其中正确的不等式的序号为.答案
①④解析因为号0,所以匕〃0,故
③错误；所以Q+00R,故
①正确；所以同依，故
②错误；所以》0,表0且均不为1,与冷
2、快=2,当且仅当£=曰=1时，等号成立，LC Uv€-LX\f WFLZvv Uhn所以力+/2,故
④正确.C4-Lx
11.若0Q7,且〃+Z=l,则将a,b,2ab,/+尻从小到大排列为.答案a2ab^aI+12解析方法一令=不b=y4145则2ab=6,72+/2=Q+Q=Q,V y yy方法二,・・0“〃且4+〃=1,a^h1,;・2h1JL2a1,a2b-a—21—a=-2a1+2a又^2+/2=6Z+/2-2ab=1—2abi—\=2SP cr+Z2y.\h1,••・层+庐-b=［l—32+为一力=2庐—3b+l=2b—lS—lvo,即即+庐＜,综上可知a2ab^a2+trb.jr jr3兀三答案二
212.若a,夕满足一5＜av夕＜5，则2a一夕的取值范围是兀兀解析*/—/.一兀＜2a＜兀.*畤«＜一一当＜2一4＜当又a—^0,a^2a一夕
913.（2022•长沙模拟）设实数a,b,c满足b+c=6—4+32,c—=4-4〃+4,则下列不等式恒成立的是（）A.cbC.bWa D.ac答案D4+3H—4+2,Z+c=6—Q C/=4—Q Q两式相减得2Z;=24+2,［又b-a—cr-\-1—〃=一］2+0,〉即Z=〃+i,/.ba.而一/=4-44+/=〃-22〉0,:・c，b,从而c^ba.
14.实数m b,c,d满足下列三个条件:
①心c；
②a+/=c+d；@a~\~db~\~c.那么a,b,c,d的大小关系是,答案bdca解析由题意知dc
①,
②+
③得2〃+/+d2c+/+d,化简得ac
④，由
②式a-\-b=c~\-d及avc,可得到，要使
②成立，必须bd
⑤成立，综合
①④⑤式得到hdca.
15.已知函数於=加+/»+满足火1=0,且则］的取值范围是V v解析因为yi=o,所以+/+c=o,所以b=—〃+c,又abc所以—〃+cc,且0,c0,答案9a~\~cc CC所以1—7即1T7Gc|解得一2vv—/Ci乙即的取值范围为一2,一；.
16.某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件:1男学生人数多于女学生人数；2女学生人数多于教师人数；⑶教师人数的两倍多于男学生人数.
①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为.
②该小组人数的最小值为.答案
①6
②12xy,解析设男学生人数为X,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得卜,z,且羽y,z2zx,均为正整数.
①当z=4时，8x4,.・・x的最大值为7,y的最大值为6,故女学生人数的最大值为
6.X5
②xyz5，当X=3时，条件不成立，当x=4时，条件不成立，当x=5时，5yz5，此时z=3,y—
4.・••该小组人数的最小值为
12.
（4）若［/，则/〃.（X）【教材改编题】1,设比Q0,ceR,则下列不等式不正确的是（--\1A.a2b2B-Ta b〃+2a aaC力+2〉g D.ac5bc5答案D解析因为y=/在（0,十8）上单调递增，_i_j_所以〃A正确；2Vb2,因为在（o，+8）上单调递减，所以B正确；因为7^-7=万，所以C正确；Z十2b（b十2）b Z十2b当c=0时，ac3=b（,所以D不正确.
2.已知3x,N=—3f+x—3,贝UM,N的大小关系是答案MN解析A/—N=（A2—3x）—（—3）（）=4f—4x+3=2x—12+20,・•・MN.
3.已知一la2,—35,则a+2的取值范围是.答案（-7,12）解析•••-3/5,.-62b10,又一\a2,二•一7a+2/
12.题型一比较两个数（式）的大小例1⑴若〃0,b3则〃=工+不与的大小关系为（A.pqB.pWqC.pqD.p》q答案B解析p-q=^+^-a-bh2-^6Z2—Z2o9—厂=〃一〃（店一层乂一4）（人一a）a）abab2s+因为0,b0,所以a+Z0,ah
0.若a=b,则〃一夕=0,故p=q；若aWZ,则p—q0,故pq.综上，pWq.e并In3In4In5⑵右ci—3,b—4,c—5,贝l」A.ahc B.chaC.cah D.bacB答案解析令函数八%=号，则/⑴=上乎，易知当xe时，/（幻0,函数段）单调递减,因为e345,所以13/4次5,即cba.r教师备选】e202,+l e2022+l已知〃=已，^=2023则例，N的大小关系为2022+］e+1答案MN…、…e202,+l e2022+l斛析万法一M—^222+|-223j e©电+一12⑵+14222+12二e2022+le2023+l2021_|_2023_22022e ee=e2022+le2023+le2021e—I2=e2022+le2023+l0-.MN.eA+1方法二令!尸+1+1-1l-T显然/U）是R上的减函数,・・・12021次2022,gp MN.思维升华比较大小的常用方法1作差法
①作差；
②变形；
③定号；
④得出结论.2作商法
①作商；
②变形；
③判断商与1的大小关系；
④得出结论.3构造函数，利用函数的单调性比较大小.跟踪训练11已知04［且Af=］；〃+［；、N=［j「则M，N的大小关系是A.MN B.MNC.M=N D.不能确定答案A解析/.1+tz0,l+Z0,l—ab
0..1—a1—b21—ab,加_止不+巾=1+01+犷3・•・MN.⑵e兀W与1・兀兀的大小关系为.答案6兀书〈1兀兀•e又吟兀I-，•_He即西沅即•兀兀兀.ch I.e71ye♦\%/C7L题型二不等式的性质例2⑴2022•滨州模拟下列命题为真命题的是A.若ab,则6/C2/C2若ab0,则crabb1若cab0则9答案D解析对于A选项，当c=0时，显然不成立，故A选项为假命题；对于B选项，当〃=-3,6=—2时，满足但不满足/〈而〈及，故B选项为假命题;对于C选项，当c=3,=2,/=1时，~^―^7=1,故C选项为假命题；c~a3-2c—b2对于D选项,由于abc,所以岩=〃S+c-Z7a+c ac—bc〃一〃c a〃+c//+c//+c bb+c°，『b+c，故D选项为真命题.
（2）若会卜0,则下列不等式正确的是.（填序号）
②间+；@（2—-/-7；
④In/lnb
2.a答案
①③解析由可知Z〃
0.
①中，因为a+bvo,ab0所以二7，!•故有T T£，即
①正确；a-rb ana-rb cib9
②中，因为baQ所以一/一
40.9故一比|〃|,即⑷+0,故
②错误；
③中，因为ba0又!*,则一｝一和，所以〃一故
③正确；9
④中，因为bVzvO,根据y=/在（一8,0）上单调递减，可得2420,而y=]nx在定义域（0,+8）上单调递增，所以InUan/,故
④错误.r教师备选】若m b,ceR,心，则下列不等式恒成立的是（）110,A._T B.crb2a b_a bc.a\c\h\c\D.^q-j-^2qry答案D解析对于A,若aOb,则故A错误；对于B,取4=1,b=—2,则/〈尻，故B错误；对于C,若c=0,a\c\=b\c\故C错误;9对于D,因为/+121,所以斗育0,c-十1又ab,所以*T*T，故D正确.思维升华判断不等式的常用方法1利用不等式的性质逐个验证.2利用特殊值法排除错误选项.3作差法.4构造函数，利用函数的单调性.跟踪训练212022•珠海模拟已知a,满足出0,a+b0,ah,则A.-T B.~+r0a ba bC.crb1D.a\h\答案c解析因为ab0,ah,则a0,/0,[0,10,A不正确；0,T0,贝菅，B不正确；又a+b0,即a—b0则a2—Z2,a2b2,9C正确；由a—b0得a\b\,D不正确.⑵设Alc0,下列四个结论正确的是.填序号*尤;
②bQa%
③1—cyi—4；
④10g从〃+C10gb+C.a答案
③④解析由题意知，ablc09所以对于
①，acbc09故悬，所以
①错误；对于
②,取4=3,=2,c=1,则J、=2小，a〃=3®所以bacabc故
②错误；9对于
③，因为01—”1,且所以1—c“l-c「故
③正确；对于
④，6z+cZ+cl,所以log从a+clog从+clog〃s+c,故
④正确.题型三不等式性质的综合应用例31已知一Ix4,2v，v3,则x—y的取值范围是,3光+2y的取值范围是答案一4,21,18解析V—1x4,23,-3——2,/.—4x—y
2.由一lxv4,2vy3,得一33x12,42y6,.\l3x+2y
18.2已知3々8,469,则押取值范围是.答案G，2解析・・・49,.111行〈加••又3〃8,•••呆3448,rr1Cl即铲产延伸探究若将本例1中条件改为一lx+y4,2x—y3,求3x+2y的取值范围.解设3x+2y=mx+y+〃x—y,r_5f771+72=3,m~T则c・X1m—n=2,I即3x+2y=zx+y+ix—j,・・・3x+2y的取值范围为（一I，y）.r教师备选】TT已知0Pa^贝1J a—0的取值范围是答案0,\TT TT解析・；0夕5，，一5—yo,J J
71.71」又0a^・・一—9又/3a,/.a—B°，即0a—8与思维升华求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.跟踪训练3⑴已知abc.2a-\-b^c=0,则的取值范围是（）c CIA.—3-—1B.—1_Ta a3C.—2-—1D.—1-—a a2答案A解析因为ahc,2a+/+c=0,所以〃0,c0,h=—2a—cy因为abc.所以一2〃一即3a—c,解得一3,将b=—2a—c代入bc中，得一2〃一cc,即〃v—c,得］—1，所以一3vv—
1.Ct-m2已知则a-b的取值范围是，,勺取值范围是答案-2,0J,1解析:1/3,二.一3一b—1,又1a3,—2a—/2,又a〈b,—/0,二・一2a—Z0,又铲L.a aa
1.1〃1A••亨年1，又孑公，・・不£L综上所述，一6的取值范围为（一2,0）；的取值范围为（g,1）课时精练
1.已知区0,b0,N=/+也，则M与N的大小关系为（）A.MNB.MNC.MWND.M,N大小关系不确定答案B解析M2一解=〃+/—a~\-b~\-2\[ab=-2y]~ab0,.MN.
2.已知非零实数a,8满足〃4则下列命题成立的是（）A.〃22B.ab1crb―11~baC.FF D.-7ab ab ab答案c解析若ab0则tz2/2,故A不成立；9ab09ab.则a2bab2故B不成立;9若Q=1,b=2,则9=2,f=1,然，故D不成立，由不等式的性质知，C正确.
3.已知一3va—2,3/4,则会的取值范围为（）答案A
一、解析因为一3av—2,所以片金（4,9）,层而3〃4,故石的取值范围为（1,3）.434-9。
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