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平面向量基本定理及坐标表示【考试要求】
1.了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【知识梳理】
1.平面向量基本定理如果I，C2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量〃，有且只有一对实数小，石，使=2回+/纥我们把不共线的向量约，€2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
（1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模设=（即,yi）,5=（必2），则+』=（々+12，yi+、2），a-力=（勺-12，y1-）2），（尢，23）,||=4#+近
（2）向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设yi）,8（X2，2），则赢=3—卬）2一月），\AB\Xi）2+（y—J1）
2.
24.平面向量共线的坐标表示设Q=（XI，y）,b=g），其中WO,则〃〃0和2—卬］=
0.【常用结论】已知产为线段A3的中点，若A（xi,yi）,3（X2,2），则点P的坐标为（2要+2△A3C的顶点A（xi,9），Bg,2），C（X3，），则△ABC的重心G的坐标为X1+^2+X3y1+），2+酒V33/【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）
（1）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底.（X）
（2）设〃，力是平面内的一组基底,若实数九，/，〃2满足加+〃内=22+〃2瓦则九=丸2,
（3）若Q=（XI,yi）,b=（X2,》2）,则Q〃，的充要条件可以表示成干■=
9.（X）人2）2
（4）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变.（V）2设d=x,y,则d—c=x—4,y—1,又+=2,4,|d—c|=小,4x-4-2-1=0,•Vx=3,x=5,解得=
3.e,lx-42+^-l2=5,・・・d的坐标为3,—1或5,
3.课时精练I.A.—2,—4B.2,4C.6,10D.-6,-10（2022・巴中模拟）若向量43=（2,3）,AC=（4,7）,贝等于（）答案B
2.（
2022.TOP300尖子生联考）已知4—1,2）,BQ,-1）,若点C满足4C+A5=0,则点的A.B.-3,322坐标为（）C.3,-3D.-4,5答案D
3.下列向量组中，能表示它们所在平面内所有向量的一组基底是（）A.Q=1,2,b=0,0B.〃=1,-2,5=3,5C.〃=3,2,b=9,6£|，=3,-2D.4答案B
4.在△ABC中，角A,B,所对的边分别为
①b,c,帆一（〃，b）,n-（cos B,cos A）,则am^r是“△ABC是等腰三角形”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D解析由m//n,得/cos8—acos A=0,即sin Bcos8=sin AcosA,所以sin28=sin2A,所以2A=23或2A+23=兀，即A=8或A+3=5，A所以△ABC为等腰三角形或直角三角形；若反之，/XABC是等腰三角形，a=c#b,则不能得到m//所以“小〃/是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件.
5.2022・聊城一中模拟在梯形A8CO中，AB//CD,AB=2CD,E,尸分别是48,CQ的中点，AC与5交于点M,设施=〃，AD=b,则下列结论不正确的是-1-1AAC=^a-\rb B.BC=一5〃+J L-12-1C.BM=-D.EF=一平+力答案c解析AC=AD-\-DC=AD-\-^AB=^a-\-b,故A正确；BC=BA-\-AD-\-DC=-AB+AD+^AB=-^a-\-b,故B正确；BM=BA-\-AM=—AB+^AC=—|zt+$,故C错误；-A——-A1-A-1-►EF^EA-\-AD-\-DF^=一+从故D正确.
6.已知向量后=1,-3,9S=2,-1,OC=/7i+l,/71-2,若点A,B,C能构成三角形，则实数小不可能是A.-2B.1C.1D.-1答案c解析各选项代入验证，若A,B,三点不共线即可构成三角形.因为赢=协一/=2,-1-1,—3=1,2,AC=OC-OA=m-\-l,m—2—1,-3=m,m+
1.假设A,B,C三点共线，则1X加+1—2加=0,即根=1,所以只要相Wl,A,B,C三点就可构成三角形.
7.在梯形A3CD中，AB//CD,且C=2AB,若点Al,2,32,1,C4,2,则点的坐标为.答案2,4解析在梯形A3CO中，DC=2AB,AB//CD,.DC=2AB,设点的坐标为x,y,则DC=4-x,2-y,又赢=1,-1,・・・4—x,2—y=2l,-1,4—x=2,即l2-y=-2,x=2,一J=4,・••点的坐标为2,
4.
8.2022・开封模拟已知向量山=+1/，〃=2+2,
2.若2M+〃〃5—2〃，则4=.答案解析由题意得，2根+〃=34+4,4,m一2〃=一X一3,一3,・.•2m+〃〃机一271,・•・一332+4—4—2—3=0,解得2=
0.灰
9.已知A—2,4,83,-1,C-3,—
4.设矗=m J=b,CA=c,且且=3的CN=~2b.1求3“+b—3c；2求满足a=mb-\-nc的实数m,〃；3求M,N的坐标及向量MN的坐标.解由已知得〃=5,-5,b=—6,-3,c=l,
8.l3a+b—3c=35,—5+—6,—3—31,8=15—6—3,—15—3—24=6,-
42.2方法一mb~\~nc=—6根+〃，一3m+8〃，—62+力=5,m=1,・•・解得，—3m+^n=5,[n=—
1.方法二・・・°+方+c=0,.•.a=—b—c,又a=mb-\-nc9•\mb+〃c=一b一c,m——1,・・n——
1.3设为坐标原点，9CM=0M-0C=3c,.dM=3c+OC=3,24+-3,-4=0,
20.AM0,
20.又•/E=ON-6c=-2b,・•・ON=-2A+次=12,6+—3,-4=9,2,・・・N9,2,二加=9,-
18.
10.已知=1,0,b=2,l.⑴当％为何值时，
①一力与〃+2共线；2若蕊=2〃+3正=+〃必且4B,C三点共线，求机的值.解1^一=41,0—2/=攵一2,-1,〃+26=1,0+22,1=5,
2.・:ka—b与a~\~2b共线,・・・2Z—2——1X5=，即2攵一4+5=0,解得攵=—12方法一VA,B,三点共线,2=2,解得m=2,3=m/,即2a+3b=Xa+mb,方法二赢=2a+3A=2l,0+32/=8,3,BC=a+=1,0+m2,1=2m+1,m,VA,B,三点共线,.AB//BC9・・・8加一32根+1=0,3即2m—3=0,.•.〃2=5・小
11.2022•兰大附中模拟已知△ABC的三边分别是a,b,c,设向量机=sin sin A,a+c,/i=sin C,a-\-b且相〃〃，则8的大小是9A兀B・6A6-2兀D.T答案B解析因为m//n,所以a+Zsin B—sinA=sin C小a+c、.由正弦定理得3+b-4=c、/§a+c,整理得a2-\-c2—b2=—y[3ac,—小ac，+02―/72cos B=2ac2ac由余弦定理得5兀又OvBv兀，所以3=不.
12.如图，8是AC的中点，BE=2OB,P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且+y（9B（x,y£R）,则下列结论中不正确的是（）A.当x=0时，y£[2,3]B.当P是线段CE的中点时，％=—3，y=2C.若x+y为定值1,则在平面直角坐标系中，点尸的轨迹是一条线段D.当尸在C点时，x=-l,y=2答案A解析当5=y为时，点P在线段BE上，故10W3,故A中结论错误;当P是线段C£的中点时，—►——►—►1—►-A0P=0E+EP=3OB+5EB+BO=35+1-25+ABB B，A J，A AA=303+5—203+08—04=—故B中结论正确；当x+y为定值1时，A,B,P三点共线，又尸是平行四边形BCQE内含边界的一点，故尸的轨迹是一条线段，故C中结论正确；-A1―►-A因为O5=5OC+OA,所以又则d=一殖+2血所以x=—1,y=2,故D中结论正确.
13.已知|晶|=1,|而|=小，晶・油=0,点在NA0B内，且沆与晶的夹角为30，设女~—171=m0A+n0B{m,〃£R,则一的值为.答案3解析5=,V AOBO.\6A10B,以为原点，QA所在直线为x轴，06所在直线为y轴建立平面直角坐标系图略，则晶=1,0,9B=0,5，事OC—mOA+nOB=m,n.•tan30——o9m3:・m=3n,即％=
3.n
14.若点“是△A3C所在平面内一点，且满足病=涧+然,则5M与△A3C的面积之比为；若为A3的中点,AW与CN交于点0,设反=尤俞+y赢,则x+y=答案14与»O1解析由4\/=446+不1，可知点M,B,三点共线,令俞=2丽Q£R,则赢=赢+痂=赢+施=赢+，/一赢=1—»赢+痴已SAABM BM1所以SAABC BC4所以2=,即点M在边5c上，如图所示,由筋=不俞+丽得说『丽+迦,-A X-»-A由，M,A三点共线及O,N,BOqBC+yBN,所以尤+〉=万.解得
15.若©夕是平面内一组基底，向量＞=xa+*x,y£R,则称x,y为向量7在6基底”，p下的坐标，现已知向量在基底p=l,-1,q=2,1下的坐标为一2,2,则Q在基底帆=—1,1,〃=1,2下的坐标为.答案0,2解析因为在基底p,q下的坐标为一2,2,所以〃=—2p+2q=2,4,令Q=XI〃+y〃=—%+＞，x+2y,一x+y=2,x—0,即所以，b=2,《+2y=4,所以在基底机，〃下的坐标为0,
2.
16.如图，G是△43的重心，P,分别是边4,08上的动点，且P,G,三点共线.1设讫=2而，将灰;用2,OP,而表示；2设0P=xO4,OQ=yOB,求证是定值.x y⑴解6G=OP+PG=OP+XPQ^OP-\-^OQ-OP=l—2d+2血2证明由1得论=1—2+2诙=1—2疝+函因为G是△048的重心，-2-■21-►—►所以OG=QOM=Q X504+0B1—►1—►=Q±4+QOB.又3Z为不共线，r i1—2x=^,所以J i4=T解得j一=3九所以+5=3，即=+；为定值.x yA y【教材改编题】
1.下列各组向量中，可以作为基底的是A.ei=O,O,殳=1，-2B.1=—1,2,«2=5,-10C.d=3,5,及=6/0D.d=2,3,改=3，答案D
2.若Pil,3,P24,0,且P是线段P]P2的一个三等分点靠近点P I,则点P的坐标为A.2,2仁2,2或3,-1D.2,2或3,1B.3,-1答案A解析设尸尤，y,由题意知后下=如益，/.%—1,y—3=^4—1,0—3=1,—1,x—1=1,x=2,即J〔厂3=-1,[y=
2.
3.已知向量a=x/，5=2,%—1,若2°一5〃°,则x为答案2或一1角窣析2一b=2x—2,3—1，2a~b//a,/.2光一2=x3—x,即f—x—2=0,解得x=2或x=-
1.题型一平面向量基本定理的应用例11在△ABC中，AD为3C边上的中线，E为AD的中点，则就等于A^AB—^ACC翔十次D.^4B+^4C答案A2如图，已知平面内有三个向量万1,OB,OC,其中万1与油的夹角为120°,后与女的夹角为30，且|浦|=|励|=1,|次|=2小.若女=丸殖+川而九R,则人+〃=.答案6解析方法一如图，作平行四边形05cA1,则女=砺+涌,因为与为的夹角为120，后与沆的夹角为30,所以N8OC=
90.在Rt△囱中，Z6CSi=30°,|沆|=2小,所以|西|=2,|菽|=4,所以|涌|=|瓦0=4,所以女=4万1+2历，所以2=4,〃=2,所以2+〃=
6.方法二以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,则A（l,0）,孚），C（3,小）.3=2—%,得巧1=4,解得，_所以2+〃=
6.2亚y/3=2%由OC=XOA+/dOB,【教师备选】兀
1.（2022・山东省实验中学等四校联考）如图，在RtZXABC中，ZABC=T,AC=2AB,ABAC的角平分线交AABC的外接圆于点，设矗=a,AC=b,则向量由）等于（）A.a~\~b B.1Q+bC.a+^b D.〃+%答案c解析设圆的半径为八TT在RtZXABC中，NA3C=5，AC=2AB,jr TT所以NA4C=1,NACB=z，3o火/BAC的角平分线交△ABC的外接圆于点D,jr所以ZACB=ZBAD=NCAO=x，则根据圆的性质得BD=AB9又因为在中，AB=^AC=r=OD,所以四边形4为菱形，
2.（2022・郑州质检）如图，在平行四边形ABCO中，E,b分别为边A的中点，连接CE,-A-----A-----A4DF,交于点G若CG=2CQ+〃CB（九//ER）,则一=.答案I解析由题图可i^CG=xCE0x1,则dd=x^+丽=4a+3同=^CD-\-xCB.因为db与无不共线,所以2=],〃=x,所以”思维升华
（1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
（2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.跟踪训练1⑴如图，矩形A3CZ）的对角线相交于点O,E为AO的中点，若虎=2赢+〃病（九〃为实数），则/+/等于（）A上B15C.1D.77lo答案A解析DE=\DA+\DO=^DA-\-^DB1―►1―►―►=^DA+z（OA+A3）=拗一油,13S所以2=不〃=_不故以+〃2=g.
（2）如图，以向量后=m油=＞为邻边作平行四边形43,BM=^BC,CW=|cb,则加=.（用a,b表示）答案2a~6b解析9BA=0A-0B=a-b,9OD=a-\-bBM=^BA=^a9-^b,dk=dc+|cb=|db+|dbMN=ON—OM=^a-\~^b—^a—^b=2a~6b-题型二平面向量的坐标运算例21已知=5,-2,力=—4,—3,若〃一2+3c=0,则c等于答案D解析9a-2b+3c=09/.c——ga-2b.a—2=5,-2--8,—6=13,4,
113.e.c=—2«—2^=12如图，在直角梯形A3CO中，AB//DC,A£±ZC,AD=DC=2AB,E为AQ的中点，若之=2走+〃加九R,则的值为688A R答案B解析建立如图所示的平面直角坐标系，则00,
0.不妨设AB=1,则CO=AO=2,AC2,0,40,2,81,2,£0,1,ACA=-2,2,CE=-2,1,5fi=l,2,^=+//5,VC ACEB—2/1+//——2,U+2〃=2,••・一2,2=2一21+〃l,2,故％+〃=亍【教师备选】解得已知四边形A3CQ的三个顶点A0,2,B-l,-2,C3,l,且比=2而，则顶点的坐标C.3,2D.1,3答案A解析设Ox,y,则4b=x,y—2,病=4,3,又正万,=24=2x,[3=解得|72厂2,y=Tx=2,所以顶点的坐标为2,A思维升华向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体.跟踪训练21向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若c=2a+〃伙九〃金R,则J等于A.1B.2C.3D.4答案D解析以向量和力的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系设每个小正方形边长为1,贝-1,86,2,C5,-1,・・・a=Ab=—1,1,b=无=6,2,c=BC=-l,-3,・・・一1,—3=Z—1,1+46,2,一2+6〃=-19则2+2〃=-3,7=-2,解得11〃=一］，2在△A3C中，点尸在3C上，且丽=2无，点是AC的中点，若萩=4,3,丽=1,5,则而=，BC=.答案-3,22-6,21解析恁=丽—丽=1,5—4,3=—3,2,无=丽+/=丽+2而=4,3+2—3,2=-2,7,BC=3PC=3-2,7=-6,
21.题型三向量共线的坐标表示例31已知a=l,2+sinx,b=2,cosx,c=—1,2,若〃一〃的则锐角x等于A.15°B.30°C.45°D.60°答案c2已知在平面直角坐标系xOy中，Pi3,l,P2T,3,P I,，P3三点共线且向量就与向量〃=1,-1共线，若万耳=2宿+1—2•旗，则4等于A.-3B.3C.1D.-1答案D解析设方万=x,y,则由方耳〃〃知x+y=O,所以加5=x,—x.若旗=2漏+1T旗，则x,-x=A3,l+l-
2.-1,3=42—1,3—22,4A—1=x,即〔3—22=—x,所以4人一1+3—24=0,解得2=—
1.【教师备选】
1.已知向量〃=1,2,b=Q,-2,c=l,A.若〃2Q+A,则丸=.答案2解析由题意得2a+=4,2,因为c=l,A,c//2a+b,所以42—2=0,解得
2.已知为坐标原点，点A6,3,若点在直线04上，且|5|=/丽|,P是3的中点，则点B的坐标为.答案4,2或—12,-6解析.••点P在直线0A上，.OP//P\,又・.・|丽=辆|,••.5=弓瓦设点尸加，〃,则=（相，〃），B4=（6一m,3—〃）.
①若5=白丽，则Qn,n）=；（6—m,3—九），r1m=2（6—m）9J、（）n=z3—n,m=2,解得E,TP是03的中点，•••34,
2.
②若d=—J次，A则m,n=T6—根，3—ri,f1m=-]6一机,1/c、〃=-]3—叫\m——6,解得[n=-3o9P—6,—3,TP是OB的中点，AB-12,-
6.综上所述，点3的坐标为4,2或一12,-
6.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略1若=即，yi,5=X2,》2,其中8W0,则〃力的充要条件是西丁2=初丁
1.2在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为/la2£R.跟踪训练3平面内给定三个向量〃=3,2,力=—1,2,c=4』.1若a+Zc〃2b—〃，求实数公2若d满足d—c〃〃+A,且|d一c|=小，求d的坐标.解1〃+h=3+4匕2+4，25—0=-5,2,由题意得2X3+4Z——5X2+=0,。
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