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答案A解析由题意可设所求直线方程为x—2y+机=0,将42,3代入上式得2—2义3+根=0,即加=4,所以所求直线方程为x—2y+4=
0.
2.过直线/ix—3y+4=0和82x+y+5=0的交点，且过原点的直线的方程为A.19%—9^=0B.9x+19y=0C.19x—3y=0D.3x+19y=0答案D x—3y+4=0,
193、解析方法一解方程组L I「八可得直线和/2的交点坐标为一亍，亍，又所求⑵+y+5=0,1/〃3直线过原点，所以所求的直线方程为，=—念，即3x+19y=
0.方法二根据题意可设所求的直线方程为x—3y+4+22x+y+5=0,因为此直线过原点，44所以4+5Z=0,解得a=一不所以所求直线的方程为x—3y+4—£2x+y+5=0,即3x+19y=
0.
3.2022•漳州质检已矢口/一3〃+2=0,则直线人〃％+3—一=0和直线办6—2ax+3〃-5厂4+〃=0的位置关系为A.垂直或平行B.垂直或相交C.平行或相交D.垂直或重合答案D解析因为〃2—3+2=0,所以=1或4=
2.当a=1时，/i1+2y—1=0,b4x—2y—3=0,，17八k\=一3,k=2,所以％1・%2=—1,则两直线垂直；当〃=2时，/i2x+y—2=0,Z2x+y—2=0,则两直线重合.
24.点P2,5关于x+y+1=0对称的点的坐标为A.6,3B.3,-6C.-6,-3D.—6,3答案c解析设点P2,5关于工++1=0的对称点为访b.7—5,—1—a—2+2/+5―--5~+]=0，解得:6即P2,5关于x+y+l=O对称的点的坐标为一6,—
3.b=—3,
5.已知直线/i分+2y+1=0与直线，23—ox—y+a=O,若l\〃b,则的值为A.1B.2C.6D.1或2答案c解析•・•直线小〃x+2y+l=0与直线方3—QX—y+〃=0的斜率都存在，且・kl=k2,即一今=3—a,解得=
6.
6.已知直线/一2丁+8=0和两点42,0,3—2,-4,若直线/上存在点尸使得|B4|十|P8|最小，则点P的坐标为A.-2,-3B.—2,3C.2,3D.-2,2答案B解析根据题意画出大致图象，如图.设点A关于直线x—2y+8=0的对称点为40，〃.n—Q1m-22则有，..根+2〃+0,m=—2,解得〃=
8.~——2・--+8=0,故4—2,
8.此时直线48的方程为x=—
2.所以当点尸是直线43与直线x—2y+8=0的交点时，|B4|十|PB|最小，将x=—2代入x—2y+8=0,得y=3,故点尸的坐标为一2,
3.
7.若动点A,3分别在直线尔x+y—7=0和/21十厂5=0上移动，则的中点M到原点的距离的最小值为A.372B.2^2C.3#D.4^2答案A解析••・A3的中点M的轨迹是平行于/1，L的直线，且到/i,b的距离相等，易求得M所在直线的方程为x+y—6=
0.中点M到原点的最小距离为原点到直线x+y—6=0的距离，即a=3册.
8.2022•苏州模拟已知直线/iax-y+l=0,/x+ay+l=0,以下结论不正确的是2A.不论为何值时，/1与/2都互相垂直B.当〃变化时，/1与，2分别经过定点40,1和3—1,0C.不论为何值，/］与/2都关于直线x+y=0对称D.如果/］与办交于点M，为坐标原点，则|MO|的最大值是啦答案C解析对于A,1+—1义=0恒成立，/i与L互相垂直恒成立，故A正确；对于B,直线/1ax—y+l=0,当a变化时，x=0,y=l恒成立，所以恒过定点40,1；12x+ay+l=0,当变化时，x=—1,y=0恒成立，所以6恒过定点3—1,0,故B正确;对于C,在/i上任取点x,ax+\,其关于直线x+y=0对称的点的坐标为一如一1,一x,代入立x+@+l=0,则左边不恒等于0,故C不正确；〃—g—1ax-y-\-1=0,X+i对于D,联立,「_八解得，一x+ay+l=0,—a-\-1啦’所以|MO|的最大值是也，故D正确.
39.2022・邯郸模拟直线乐x+ay—2=0q£R与直线氏〉=三一1平行，贝U/］与/2的距离为.42套案一七-口木35解析由题可知直线/i的斜率为一3W0,CzC3直线/2的斜率为本134所以_\=示解得4则直线/iX—p—2=0,即3%一4y一6=0,3直线，2y=^x—1,即3x—4y—4=0,I-6+4|2宣所以它们之间的距离为d=次+-
42510.直线3x—4y+5=0关于直线x=l对称的直线的方程为.答案3x+4y-ll=03解析直线3x—4y+5=0与x=l的交点坐标为1,2,又直线3x—4y+5=0的斜率为不所以关于直线％=1对称的直线的斜率为一点故所求直线的方程为y—2=一永工-1,即3x+4y-ll=
0.
11.已知直线/iQx+y+34=0,则原点到/i的距离的最大值是.答案5解析直线八〃x+y+3a—4=0等价于ax+3+y—4=0,则直线过定点4-3,4,当原点到/i的距离最大时，满足此时原点到/i的距离的最大值为1川=\一32+42=
5.
12.已知/1，，2是分别经过AL1,B0,—1两点的两条平行直线，当/1与/2之间的距离最大时，直线的方程是.答案x+2y—3=0解析当直线A3与人办垂直时，Zi,/2之间的距离最大.因为411，50,-1,—1—1所以\~=2,U—1所以两平行直线的斜率1所以直线人的方程是y—1=—1,即光+2y—3=
0.
13.2022・南通调研在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线y=x+；Q0上，则点P到直线3x—4y—2=0的距离的最小值为467A.T B.1C.彳D.T答案c解析设点尸xo,加，y=/U=x+x＞，人则/5））=1—3，点P与直线统一分一2=0的最小距离，即为段）在点P处的切线的斜率等13于直线3x—4y—2=0的斜率时的情况，即满足1—*=*解得%o=2,所以州=2+5=5，所以点P到直线3x—4y—2=0的距离的最小值为d=
14.2X3-4X|-2|6若两条平行直线/i x—2y+〃2=0（心0）与京2x+〃y—6=0V+35之间的距离是2小，则直线/i关于直线，2对称的直线方程为（）解析因为直线/i工一2+根=0（〃20）与/22x+〃y—6=0平行，A.x-2y-13=0B.x—2y+2=0D.x-2y—6=0C.x—2y+4=0答案A所以n=—2X2=-4,又两条平行直线1\%—2y+/7i=0（〃20）与/22x+〃y—6=0之间的距离是2y[^,所以考萼整=2小，解得m=7,74十16即直线/ix—2y+7=0,h%—2y—3=0,设直线/i关于直线/2对称的直线方程为x—2y+c=0,QXo+byo+c
15.定义点P（xo，yo）到直线/4%+b+=0（/+2/0）的有向距离为d=,已知点yjcr+b2则^5=~/，解得c=-13,故所求直线方程为x—2y—13=
0.Pl，尸2到直线/的有向距离分别是4,
22.以下命题正确的是（）A.若小=必=1,则直线PP2与直线/平行B.若4=1,办=一1，则直线P1P2与直线/垂直C.若a+2=0，则直线P1P2与直线/垂直D.若diWO,则直线P1P2与直线/相交答案A解析设P1Q1,V,尸22,，对于A,若4=d2=l,则ax\-\~hy\-\-c=ax2+hyi+c=y]a2+b2,直线P1P2与直线/平行，正确;对于B,点P],P2在直线/的两侧且到直线/的距离相等，直线P1P2不一定与/垂直，错误;对于C,若4=必=，满足力+必=,即以l+Zyi+c=QX2+by2+c=0,则点Pl,P2都在直线/上，所以此时直线P1P2与直线/重合，错误;对于D,若diWO,即ori+Zyi+cta2+by2+cW0,所以点为，P2分别位于直线/的两侧或在直线/上，所以直线P|P2与直线/相交或重合，错误.
16.2022・武汉调研台球运动已有
五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球.若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律.如图，有一张长方形球台A8CQ,AB=2AD现从角落A沿角6C的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中,则tan a的值为4或|D.1答案C解析如图1,作A关于C的对称点为旦关于A3的对称点为G,关于的对称点为F,连接GF,EF,,日h，日EG3AD3由通可付tan cc—Qp—2AZ~2,如图2,作人关于的对称点为G,B关于AO的对称点为尸，关于AZ的对称点为已EF AD1由题可得tan a=GF6AD6,连接EE EG,13综上，tana的值为2或亍2点x,y关于x轴的对称点为x,—y,关于y轴的对称点为一x,y.3点x,y关于直线y=x的对称点为y,x,关于直线y=-%的对称点为一y,-x.4点x,y关于直线x=a的对称点为2-x,y,关于直线y=/的对称点为%,2/7—y.5点x,y关于点〃，/的对称点为2〃一x,2/—y.【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“J”或“X”1当直线/1和/2斜率都存在时,一定有M=比0/1〃/
2.X⑵若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.X3点尸M,到直线的距离为呈喋.X⑷直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离.V【教材改编题】
1.点42,5到直线/x—2y+3=0的距离为B坐A.2邓C.小12-10+31解析点A2,5到直线/%—2+3=0的距离为八==yj~
5.W+4答案c
2.直线2x+〃z+ly+4=0与直线mx+3y—2=0平行，则相等于A.2B.13C.2或一3D.一2或一3答案c2~4-14HI解析直线2x+切+ly+4=0与直线〃ix+3y—2=0平行，则有而=-3~W=故m=2或一
3.
3.直线小2x+y—1=0和氏x—2y+7=0的交点的坐标为答案一1,3J2x+y—1=0,解析解方程组1%—2y+7=0,所以两条直线交点的坐标为一1,
3.题型一两条直线的平行与垂直例112022・汉中模拟已知直线h以+〃+2y+l=0,/x+@+2=0〃£R,则“e2_L，是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件/—a+2=0,解析当/1〃/2时,2a—1W0,答案A解得a=—\或a=
2.而由解得—1,所以“守=!”是的充分不必要条件.22022・长春模拟已知直线/经过点1,-1,且与直线2x—y—5=0垂直，则直线/的方程为A.2x~\~y—1=0B.x—2y—3=0C.x+2y+l=0D.2x—y—3=0答案C解析:直线/与直线2x—y—5=0垂直，，设直线I的方程为x+2y+c=0,;直线/经过点1,-1,/.1—2+c=0,即c=\.直线I的方程为x-\-2y-\-1=
0.【教师备选】
1.m=3是直线1\2m+1无+加一3y+7—5m=0与直线/m—3x+2y—5=0垂直”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由/」，2,得2机+1m—3+2〃-3=0,・••根=3或m=2,・••“机=3”是“/山2”的充分不必要条件.
2.已知三条直线2x—3y+l=0,4x+3y+5=0,mx—y—1=0不能构成三角形，则实数根的取值集合为f421f4241A「于3/3,才[421[42213J•[3，3，3J答案D解析由题意得直线nvc—y—1=0与2x—3y+1=0或4x+3y+5=0平行，或者直线inx—y—1=0过2x—3y+l=0与4x+3y+5=0的交点.当直线nvc—y—1=0与2x—3y-\~1=0或244x+3y+5=0平行时，或m=—当直线mx—y—1=0过2x—3y+l=0与4x+3y+52f4221=0的交点时，机=—Q.所以实数机的取值集合为—y子.思维升华判断两条直线位置关系的注意点1斜率不存在的特殊情况.⑵可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.跟踪训练112022・洛阳模拟数学家欧拉在1765年提出定理三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为A.%—2y—4=0B.2x+y—4=0D.2x-4y+l=0C.4x+2y+l=0答案D三角形的欧拉线，已知5c的顶点A2,0,81,2,MAC=BC,则△ABC的欧拉线的方程为2—0解析由题设，可得乂8===—21—Z•・.”垂直平分线的斜率仁一七耳\9AC=BC则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上,9故A3的垂直平分线方程为・•・AABC的欧拉线的方程为2x—4y+1=
0.+1=2+i尸2已知两直线/ix+ysin a+1=0和京2xsin o+y+1=
0.若6〃5则a=解析由A\B2—MB\=Q,得1—2sin2a=0,所以sin a=土也又A|C2—A2GW0,所以l—2sinaW0,即sin aW
3.JI所以a=Z兀土Q%£Z.jr故当a=E土不时，/、//卜.题型二两直线的交点与距离问题y[6A.=6,6=例21两条平行直线2x—j+3=0和〃x+3厂4=0间的距离为d,则a,d的值分别为答案B解析由题知2义3=—，解得〃=—6,D.l6,d普4又一6无+3—4=0可化为21一，+彳=0,3-3⑵已知直线经过点1,2,并且与点2,3和0,—5的距离相等，则此直线的方程为答案4%一厂2=0或%=1解析若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y—2=kx—1,即kx—y—k-\-2=0,|2Z—3T+2||0+5T+2|由题设有.1+F11+F即次一1|=|7—乱解得攵=
4.此时直线方程为4x-y-2=
0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x=l,满足题设条件.故所求直线的方程为4x—2=0或x=l.【教师备选】
1.经过两直线/ix—2y+4=0和Lx+y—2=的交点尸，且与直线卜3尤-4y+5=0垂直的直线I的方程为.答案4尤+3y一6=0x—2y+4=0,、x=0,解析由方程组，得,x+y—2=0,J=2,即P0,
2.4因为所以直线/的斜率％=一4所以直线I的方程为厂2=一升即4x+3y—6=
0.
2.直线/i经过点3,0,直线6经过点0,4,且/1〃5d表示/i和/2之间的距离，则d的取值范围是.答案0,5]解析当直线/i,b都与过3,0,0,4两点的直线垂直时，^nax=^/32+42=5；当直线/i和/2都经过3,0,0,4两点时，两条直线重合.所以0dW
5.思维升华利用距离公式应注意的点1点Pxo,州到直线x=a的距离d=\x^—a\,到直线y=b的距离d=\y—b\.⑵两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x,y的系数化为相等.跟踪训练2⑴若P,分别为直线3x+4y—12=0与6x+8y+5=0上任意一点，贝U|PQ|的最小值为■9「18-29-29A-5BT CDTW答案c34—12|-24-5|29题意可知I尸QI的最小值为这两条平行直线间的距离，即^/62+8210解析因为看=/丁，所以两直线平行，将直线3x+4y—12=0化为6%+8厂24=0,由29所以IPQI的最小值为帝2点0,—1到直线y=Zx+1距离的最大值为A.1B.V2C.y[3D.2答案B解析由y=Zx+l可知直线过定点P—1,0,设A0,-1,当直线=攵+1与A尸垂直时，点A到直线y=Ax+l的距离最大，即为|AP|=41题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3过点0,1作直线/,使它被直线/i2尤+厂8=0和田x—3y+10=0截得的线段被点P平分，则直线/的方程为.答案x+4—4=0解析设/i与/的交点为A〃,8—2〃，则由题意知，点A关于点P的对称点8—〃,2a—6在b上，代入办的方程得一Q—32Q—6+10=0,解得〃=4,即点A4,0在直线/上，所以直线I的方程为x+4y—4=
0.命题点2点关于直线对称例4若将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点4,0重合，点7,3与点小，〃重合，则加+套案—口本5解析由题可知纸的折痕应是点0,2与点4,0连线的垂直平分线，即直线y=2x—3,它也是点7,3与点加，〃连线的垂直平分线，7+相=2X2〃一3jn~7r_3一334解得1Q1故根+〃=彳.命题点3线关于线对称例5直线2x—4y—1=0关于x+y=0对称的直线方程为A.4x~2y—1=0B.4x—2y+1=0C.4x+2j+l=0D.4x+2y—1=0答案A解析设直线2x—4y—l=0上一点Px,yo关于直线x+y=0对称的点的坐标为P x,y,X-Xo则v I[2十2-3xo=y,整理可得Jo=-x，—2y+4x—1=0,即直线2x—4y—1=0关于x+y=0对称的直线方程为4x—2y—1=
0.【教师备选】
1.在等腰直角三角形ABC中，A3=AC=4,点P是边A3上异于A,3的一点.光线从点P出发，经BC,C4反射后又回到点P如图所示.若光线QR经过△A3C的重心，则AP的长度为84A.2B.1C・Q D.T答案D解析以A为原点，A3所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B4,0,C0,4,40,0,则直线的方程为x+y—4=0,设P«,00/4,可得点尸关于直线的对称点Pi的坐标为4,4—，点P关于y轴的对称点尸2的坐标为一”，根据反射定律可知直线尸1尸2就是光线H所在的直线，由尸1,P2两点的坐标可得直线尸1尸2的方程为尸柒G+设△ABC的重心为G,易知G^,§.因为重心G1,§在光线44—//
4、44RQ上，所以耳=4+,全+小得？=Q%=0舍去,即|AP|=g.
2.已知三角形的一个顶点A4,-1,它的两条角平分线所在的直线方程分别为乐x-y-1=0和x—1=0,则8C边所在直线的方程为.答案2x—y+3=解析易得A不在/i和/2上，因此/i,h为/B,NC的平分线，所以点A关于/i,/2的对称点在3C边所在的直线上，设点A关于/1的对称点为A1X1,丁1,点A关于，2的对称点为A2无2,丁
2.ZEL1「a2-2Ti沏=0,解得»=3,”1—4y—3x—0所以3C边所在直线的方程为—1—3—2-0’所以40,3,又易得点A关于6的对称点4的坐标为一2,-1,即2x-y+3=
0.思维升华对称问题的求解策略1解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解.2中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题.跟踪训练3已知直线/2x—3y+l=0,点A—1,-
2.求⑴点A关于直线/的对称点A的坐标；2直线小3x—2y—6=0关于直线/的对称直线根的方程;⑶直线/关于点A的对称直线/’的方程.解1设A羽,由已知条件得〃_33=解得＜413Hi卡J=l3-2在直线加上取一点,如“2,0,则”2,0关于直线/的对称点必在直线机,上.设对称点b,则if得信,设直线机与直线I的交点为N,2x—3y+l=0,得M4,
3.又/经过点N4,3,3x—2y-6=0,，由两点式得直线机的方程为9x—46y+102=
0.3方法一在/2x—3y+l=0上任取两点，如尸1,1,24,3,则尸，关于点A—1,一2的对称点P,均在直线上,易得P―3,—5,Q—6,—7,再由两点式可得V的方程为2x—3y—9=
0.方法二・/〃/，，••・••设厂的方程为2x—3y+C=0CWl.・••点A—l,-2到两直线/,V的距离相等，・•・由点到直线的距离公式，|~2+6+C||-2+6+1|指百，=严百解得=-9,:・1’的方程为2x—3y—9=
0.课时精练
1.过点A2,3且垂直于直线2x+y—5=0的直线方程为A.x—2y+4=0B.2x+y—7=0C.x—2y+3=0D.x—2y+5=0。
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