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锥曲线压轴小题突破题型一圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题例•蓉城名校联考已知椭圆，泌＞的左、右焦点分别是112022C+*=10Q—c,0,FC,0,点P是椭圆C上一点，满足|由+配|=|由一配若以点P为圆心，一为半径的圆与圆Fl
2、〃圆巳〃都内切，其中〈「〈处则椭圆的离心率为x+c2+y2=42,%—•2+,2=2,1_3A-2VTb答案c解析由『尸+PQ—PBI两边平方,PF2I=I\PF,\=2a-r9由已知得，\PF\=a—r29可得丽.配则而;配,=0,_1_由IPBI+IP I=2〃，得qaFBI=5,即『丹|一俨出|=〃,在△尸中，由BF2|PQF+|PF2|2=|BF2|2得竽已即所以乎+*46=22022・鹰潭模拟已知A,8分别为椭圆C w+V=l的左、右顶点，P为椭圆上一动点,与直线交于两点，△与△的外接圆的周长分别为，/,则:的%,P3x=3M,N PMNB45/l212最小值为答案A解析由已知得A—2,0,82,0,答案c解析由椭圆的光学性质得直耳线/平分11\FM\NBP3,2因为包沙丛q PMF中门zIPFiUPMIsinZFiPM尸尸「1-I2俨||尸115MsinNPM由尸得|尸尸|PB|=1,|PFi|+|P21=421=3,故⑻M lM=l
3.（）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是产一工』在凹槽内放入22=1,y£[l O],一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（）A.1B.2C.3D.答案A解析清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为匕圆心为（）0,r+1,圆的方程为/+（,一）凡r—12=代入双曲线方程步一/=1,得2），，或〉=匕y—+i y+r=y=l要使清洁钢球到达底部，即rW
1.课时精练（•遵义模拟）双曲线不一台=上一点P到右焦点Fi的距离为为左焦点，则/F
1.202216,Fi的角平分线与轴交点坐标为（）X（）（）A.-1,0B.0,0（）（）C.1,0D.2,0答案D解析设交点为（）用面积法X,0,s片
2102、◎△PDF_2S~1»△产力马^\FD\-h2,化简可得角平分线定理除|=用，由双曲线定义知明=2a+.所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的倍，因为左焦点
（一）右焦点=6+6=12,26,0,所以解得6,0,x+6=26—x,x=
2.天文学家开普勒的行星运动定律可表述为绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴
2.的三次方跟它的公转周期r的二次方的比值都相等，即条鼠k=瞿,其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为亿千米,地球的公转周期为年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为亿千米，取也160仁，则冥王星的公转周期约为年年A.157B.220年年C.248D.256答案C解析设地球椭圆轨道的长半轴为两，公转周期为，.冥王星椭圆轨道的长半轴为公转周期为2,
72.〃山GM兀7142则V两式相除并化简得3aj GM、亮=铲3所以乃年.7l=^XT=62X1=6400X10,=8071580=
2483.2022•东三省四市联考已知直线x+y=与圆12+,2=4交于A,3两点，为坐标原点,\OA+OB\=yi3\OA-OB\,则实数Q的值为A.±2B.C.IA/3D.±\[6答案解析由|以+为濡一为|得,D|=3|22O4+9B=3dA-dB,又为圆22的圆心，%+}=4则|力|=|加|=2,所以力•为=2,所以在||力|0|cosNAO3=2,即cosNAOB=J,所以NAOB=7T所以为等边三角形，AAOB则到直线x+y=a的距离为]管]即仁=小,解得=小.22/v（•郑州模拟）已知是椭圆了+方（〃＞＞）长轴的两个端点，P,是椭圆上关
4.2022A,5=10于A/2轴对称的两点，直线的斜率分别为公，奴女曲）若椭圆的离心率为己则必|+尼|的x AP,8W
0.最小值为（）雪A.1B.^2C D.^3答案B解析设点（）则由椭圆的对称性知（沏,一泗），P xo,yo,不妨令泗＞（）B（a,）0,A—0,0,显然有一,则南|+网=苗avxovc^—h2k21即y[2因为椭圆的离心率为手,则知+网（从_谕因为＜（）=22_220y W/,所以同切弋岩=但1+1当且仅当州时取“=”，=6即肉切的最小值为1+141已知在平面直角坐标系中，点，分别为双曲线在一丁（〃＞）的左、右焦点,
5.xOy BB C2=10C/C点在双曲线的左支上，历尸与双曲线的一条渐近线交于点，且为的中点，M2MF2点/为△的外心，若，/,三点共线，则双曲线的离心率为（）OMB CA巾C.y[5B.3D.5答案C解析不妨设点在第二象限,设（〃〃），F2（C,）M M2,0,m~\~c故有q11一a’且m-c由为的中点，，I,三点共线知直线垂直平分则y=-x0M3,92an=-ca2—2a1—c21（〃「222—212A代入双曲线的方程可得—詈，化简可得理=层，即£=小，点”在第三象限时，同理可得=15I42c2小.6=/y2（•白山联考）已知双曲线了一台（〃匕）的左、右焦点分别为为，心以为为直
6.2022=10,0径的圆与双曲线的一条渐近线交于点〃（异于坐标原点）若线段MFx交双曲线于点P,O,且〃则该双曲线的离心率为（）MB0P,水AS B.小c毒D答案Ab解析不妨设渐近线的方程为产一，因为〃为的中点,所以为的中点，MF20P,Q3br）’=一不，将直线的方程联立《OM,］（），J=x+c即一堂剽，又尸点在双曲线上,所以怨察一条=解得？=也，所以该双曲线的离心率为也.K1,已知抛物线的焦点为）尸（竺），（》）为抛物线上的
7.C2=8%R y,2x2,8X3,三个动点，其中凶且AV，若尸为的重心，记尸三边尸田，PR，P2P3X2X32P32P32的中点到抛物线的准线的距离分别为必，且满足力+必=，则外尸所在直线的斜率为C3,243（）3・A.1B5C.2D.3答案c解析由题意知%=立黄+；2Xl+%3,冷+也,h=2+2;2+2,“2=代入+由=凌中，2得到（）即XI+2%2+13=2X1+X3,2X2=X1+X
3.X1+X2+X3则有又方为尸的重心，△P1P23即得竺=一2X2=6—X2,X2=2,4,因此有券=6+4,仁g了21+y3Xj—X3所以尸尸所在直线的斜率为13（沧州模拟）设为，同时为椭圆与双曲线一看（＞
8.2022♦F2G Q=10,从〉）的左、右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离0G C2M GG心率分别为白，，为坐标原点，若（）62\FF\=2\MO\,则+[=2B.]2|F F|=4|MF2|,IC.2A.|F IF|=2|MO|,则t+5=嫄2\FF\=4\MF\则的取值范围是件）答案D.eg1B{229解析如图，设根，\MF\=n,焦距为由椭圆定义可得根+〃=由双曲线定义可得|Wi|=2a2a,2m—n=2a\,则的取值范围是6162解得/Tl=Cl~\~Cl\〃Cl\当尸尸度|时，则,所以根2+〃2=Q-2|=2NQM=9099=4C，即/+5=2”，由离心率的公式可得故正确；5+\=2,B当尸IF2|=4|MB|时，可得〃即可得;；=Jc,Q_0=gg_J=,由的可得;可得;，01,1,]e\262即1622,贝!]^I^2=TT-，十262可设及=*）2+374,则受中员-内，4由式=，+在（）上单调递增，7—43,4可得即），W$1则，）故不正确.eewg2,C,D%2v2（•郑州模拟）已知双曲线一方（〃:）的右顶点、右焦点分别为F,过点
9.2022C7=10,0A,的直线/与的一条渐近线交于点直线尸与的一个交点为AQAB=AQ^,且的的,则双A Q,C8,=4曲线的离心率为.e答案邛22解析在双曲线（，〃）中，C^2—g=l40b（）渐近线为=芍产，A m0,设右焦点为（）F c,0,由届赢逢自适（赢+册=0=0,即恁.第即而，京，直线/=0,x=a,由双曲线对称性知，不妨令3,b）,设（松，州），5则3Q=（a—xo,h—yo）,尸=（Q—c,b）,因为血的，=4则（一（））（〃b）,xo,/—y=4—c,解得％、-yo=—3h,o=4c3m即—3b,又点在双曲线上,34c—3e3则有—炉——即^2—1,4e-3/=10,w3±Vlb；,解得e=3+VTo…H.因为则e=el,
4.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的
10.冲击，现设桥拱上有如图所示的个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四4个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系犬根据图上尺寸，溢流孔Oy,ABC答案_一不140142=-J所在抛物线的方程为，溢流孔与桥拱交点的横坐标为A解析设桥拱所在抛物线方程为川,由图可知，曲线经过d=—220,—5,代入方程得解得所以桥拱所在抛物线方程为/=—202=—2pX—5,p=40,80y.四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线户/由图知抛物线经Gl—142=-2G过点则A20,-5,20—142=—26X-5,解得小若，所以九一一当G14=点即桥拱所在抛物线2与A x=-80y一墨的交点坐标，Ci%—14/=v设Ax,y,7x14,r2x=—80y,由2x—14=—yy,7x14,初/日解付140x=]3,140所以点的横坐标为A13,
11.（2022•江苏七市调研）“康威圆定理”是英国数学家约翰・康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的如图，的三条边长分别为AC=h,•.延长线段至点使得产入A3=c CA4,A4以此类推得到点囱，和那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.已知b=3,c=5,则4,G=4,2,由△生成的康威圆的半径为.答案ABC V37解析设是圆心，因为=依砌=|©|,M42|2因此点到直线BC,的距离相等，从而“是的内心，作于连接M A3,C4RtZXABC MNLACN,MC2,,3+4—5则5，|MN|=|CN|=--=1|NGI=1+5=6,所以|“收.2|=[12+62=（•苏州模拟）如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽杯深
12.20224^2cm,称为抛物线酒杯.
①在杯口放一个表面积为兀的玻璃球，则球面上的点到杯底的最8cm,36cn小距离为；
②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻cm璃球的半径的取值范围为（单位）cm.答案（60,2解析因为杯口放一个表面积为兀的玻璃球，所以球的半径为又因为杯口宽36cn3cm,cm,所以如图所示，1\AB\=4y12CiDLAB,|CiA|=|GB|=3,9所以|=|=|4|32所以一=班=|GQ|=dlGB|21,所以|£|=2,又因为杯深即|=8cm,|08,故最小距离为|OD|—|DE|=6,如图所示，建立直角坐标系，易知BQ小,）设抛物线的方程为丁=如18,2,所以将（吸，）代入，得团528=1,故抛物线方程为y=%2,图图12当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图设玻璃球轴截面所在圆的方程为2,依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即（）》52+/—/2则有（厂）恒成立，x2/+l—22解得所以玻璃球的半径的取值范围为（1-2—20,0,\设椭圆上动点C Px,y,y-0y-0kpA=x+2x—2则利用两点连线的斜率公式可知y—Qy—Q___________••kpB y22x+2x—2x—4上114_j2x—44设直线PA的方程为y=Zx+2,则直线PB的方程为y=—Wx—2,令x=3,得V M=5A,N=一五,根据对称性设即一£,则“器QO,M3,5Z,A3,V|=5Z+设△与△的外接圆的半径分别为门,由正弦定理得加=春而，PMN a3\AB\2f2-sin ZAPS/MPN+ZAPS=180°,.sinZMPN=smZAPB,sb-\--\MN\_4k./i_27iri_n_••厂荻一石=瓦瓦—-4—V5，/4—4当且仅当仁表，即喜时，等号成立,52即:的最小值为率.124思维升华高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题.跟踪训练（）（•深圳模拟）月，分别为双曲线2的左、右焦点，过Q的直1120226C x-^=l线/与的左、右两支曲线分别交于两点，若则不•用等于（）C4,8A.4-273B.4+V3小C.6-2^5D.6+2答案C解析在双曲线中，=b=y[i,c=小,1,则为（一小，）（）0,F V3,0,2因为直线/过点由图知，直线/的斜率存在且不为零，因为则△为直角三角形，BBF2可得IBKF+IBBF=|为b2F=12,由双曲线的定义可得逐川一逐|=2,所以（丹|一仍「4=|3zip22~2\BFs[\BF\=|BFi|+|BF|2=12-2\BFI[\BF\,2可得为|3|,|3|=4,\\BFI\-\BF\=2429联立[|BF|-|BF2l=4,1解得小一|86|=1,因此用・疫二（瓦力+函）•奇=32-\-5F BAF=（小一）12=6—
24.（）已知过抛物线（）的焦点帽，）的直线与该抛物线相交于两点，点是2y2=2px p00A,3M线段的中点，以为直径的圆与轴相交于两点，若赤/，则等于（）A3A3y P,=2sin/MPQ一,53答案A解析如图所示.方法一由抛物线的焦点坐标可得所以p=l,所以抛物线的方程为y2=2x,设直线AB的方程为x=my+\,设（）（丁）4X1,yi,3x2,2,设在轴上方，A xr,1x=my+T,联立,整理可得2my2V——1=0,可得＞丁
①y=2x,12=-1,由行丽,=2所以”=一号，yi=®X1,可得，代入
①可得免y=—2=1代入抛物线的方程可得及即（4xi=i,41,也）,一鸣，所以的中点，43Mfj,W39即圆的直径为本所以圆的方程为（%一）乎）=胃，|2+Q—令％可得＞仆+，=0,=45+小所以电，亚（y00,585所以tan/MPQ=^^^=乖,55所以sin ZMPQ=yj52+2y/M29,5Q方法二由方法一可得的中点的横坐标为右半径一AB M=3OO5所以y y85sinNMPQ=G=G.8题型二圆锥曲线与三角形“四心”问题92例（）（•蓉城名校联考）已知双曲线一（＞，）的左、右焦点分别是，212022Ca g=10/»0BF2,点尸是双曲线C右支上异于顶点的点，点”在直线X=Q上，且满足尸”=].若访旗庙尸则双曲线的离心率为（）2£R5+4+30,CA.3B.4C.5D.6答案C=/1^^+AER,llPFil解析由丽旦^,\PF\J2则点”在的角平分线上，由点”在直线工=〃上，则点”是的内心,由流祸诟NQPF25+4+3=0,由奔驰定理（已知P为AABC内一点，则有Sgc•或+S.c・丽+S.8•1=0）知,S2P—5AHF\FJ S/\HFF S^HF•
4.3,即;「上•=5432,|厂则尸尸设厂内|=九九|尸出|=九则旧尸1F2I|PB|I1=543,5|PFi|=432|=20=5,57即\PFi\-\PF\=2a=Xf,29
（2）（2022・江苏百师联盟联考）过抛物线C x2=2p）,（p〉o）上点M作抛物线y2=©的两条li，3切点分别为若△的重心为P,Q,MPQ G切答案+如
①设过点的直线方程为x=AyM+4xo,解析设王;，（检，M%0,P（X1,“），＞2）,与联立得（知即（）
②y=4x y=4y—4fy+^^—4%=0,由题意知/=於一（誓一164=0,即〃》—〃2x
8.+2%o=O,y2则九+亥=±,力・亥=XoS，亥分别表示，2斜率的倒数）,由于方程
②则其根为＞工/=0,=2），I■:XMPQ的重心为Gl当时，当/=亥时，丫力，t=t\yi=2Zi,2=22+xo•••方++=方+（九+亥）2（珍一郎（亥）+=24+0+2xo3x89乙PX2p2p T2%而xi+x2=nlyi—余一的=
④3,1•Xo+xi+x2=［（句—而=2Z1+12）2—2/11+，2）+2xo思维升华圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题.但“四心”问题进入圆锥4P29刖2+=2曲线后，让我们更是耳目一新.在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合—4问p2—题2x，o.快速提高数学解题能力.跟踪训练2
（1）已知尸］（一1,0）,3（1,0）,M是第一象限内的点,且满足|MF I|+|MF2|=4,若I是△的内心,是△的重心，记△/尸尸与△的面积分别为S,则（）M/E G MBF2GBM Si,A.2Si=SSi＞52B.＜与大小不确定C.51S D.S1S22答案B解析因为＞尸色|=I+|M|=42,22所以的轨迹是椭圆在第一象限内的部分，如图所示.*M7+^=1因为/是△的内心，设内切圆的半径为心MBF2尔（2|MQ|+|MB|+|QF2|n\以2\F\Fo\-yM，2所以尸所以Si=又因为是△的重心，GMBF2所以0GGM=\2,所以△”与S2=gSm5=■q s5\F\Fi\yM=，12=3所以Si=
512.工22V（）在平面直角坐标系中，双曲线涓一方（〃＞历＞）的渐近线与抛物线22xOy G=10,02%〃必＞）交于点，B,若△的垂心为的焦点，则的离心率为答案解析设=20A,045C2G OR所在的直线方程为y=3,bbr,a解方程组,一2lx=2py,则所在的直线方程为一了,3y=所以点的坐标为（等，翠抛物线的焦点厂的坐标为（身.A B,0,因为尸是△的垂心，所以攵攵04308,A/=-1,2a2Z2pZ f22Pb\a J所以《捻=解得题型三圆锥曲线在生活中的应用2=1+**例（）（.铜仁质检）根据圆锥曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光线，经双312022曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题已知，分别是双曲线E F2C的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点演），）反射后，反射光9=1B2线为射线AM,则/F2AM的角平分线所在的直线的斜率为（）A.x/3B.-W一，C坐D.A/3答案B解析由已知可得人（松，）在第一象限，24将点的坐标代入双曲线方程可得高一今=A1,解得，所以（，）xo=S AS2,又由双曲线的方程可得=b=y[2,1,所以小，则尸（小,）C=20,所以且点都在直线工=木上，|AB|=2,A,B又为|=|尸|02|=4,济】、//万人口所以厂\AF2\——73,6|F1F2|2^3r-tanN1AF2—2所以，NBA=60设的角平分线为AN,NAM则FAN=（）Z180°-60°x1=60°,所以的角平分成所在的直线的倾斜角为AN150°,所以直线的斜率为=一坐.tan150⑵第届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会24开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图内外两圈的钢骨架是离心率相同1,的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线A AC,9如图且两切线斜率之积等于一则椭圆的离心率为图图2,yp12c亚-立A BC DA39n-4-4-l62答案B92解析若内层椭圆方程为宏+方泌〉由离心率相同，可设外层椭圆方程为=130,y2〃也mb
2.\A—ma,mb,设切线AC为y=k\{x+ma,切线BD为y=kix-\~mb.11‘0,50,2+{y—k\x+md,整理得（屋好+2）22ma3/c^x+m2a4l（｝—a2b2—由/=知/x+0,0b21整理得好=；2A n—f（加〃（层/+〃）（根02b2）236）2-42〃46_=0,〃仍，y=%2%+可得2^=~5-m—1,的今=一卷即今，•••Z2=2,Jc Ic^—b2范故a\l az6=-=/——=-V.4思维升华圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地.研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性.跟踪训练如图所示，椭圆有这样的光学性质从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射31后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题已知曲线的方程为/+4产=其左、右焦点分别是，直线/与椭圆切于点且过点尸且与直线/垂直的直线4,B3,C P,|PFi|=l,厂与椭圆长轴交于点则内旧等于M2M，:小A V2B.1y[2C.13D.173。
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