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微专题（学用见）P102〜103巧用隐形圆解题类型一到定点的距离等于定长\一典例如图,正方形的边长为点在边上，沿将正方形进行折叠，使点落在正方1ABCD2,E BCAE B形的内部点尸处，则尸的最小值是（）CA.2B.2-V2C.2V2-2D.2V2+2【解析】由折叠知，点的运动路径是以点为圆心，以为半径的圆弧上，连接交圆弧于点P A AB ACP,此时CP取最小值鱼=2^2,AP=AB=2,・・・CP的最小值=AC-AP=2^2-
2.模型归纳如图，在平面内为定点人为动点，且的长度为定值，则动点的轨迹是以点为圆心长为半径的圆,0A,04或圆弧的一部分.在折叠问题中，有时会用到“到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”来进行解题.提分1（2021哈肥蜀山区模拟）如图，在△ABC中,NC=904C=10,3C=8,线段DE的两个端点D.E分别在边上滑动，且.若分别是的中点，则的最小值为（）AC.BC M,N DE^B MNBA.10-V41B.V41-3C.2V41-6D.3【解析】连接CM,CN,在△ABC中,NC=90°4C=10,BC=8,AAB=/ACT+BC2=2闻・.・DE=y时,可分别是瓦的中点…一点的运动路径是以点为6,48CN=\AB=V41,CM=\DE=3M C心,以CM长为半径的圆弧,・・・MN的最小值=CN-CM=V41-
3.提分（•山东泰安）如图，点的坐标分别为（）网）为坐标平面内一点为线22020A.B42,00,2,C1C=1,M的中点，连接则的最大值为（AC OM,OM段A.V2+1B.V2+-2C.2V2+1D.2V2--【解析】如图，取00=04=2,连接.丁4=11,0=4,，31是44的中位线,•••3/=.・.・4C为坐标平面内一点,BC=L.・・点C在以3为圆心，半径为1的圆上.当QB,C三点共线且点C在的延长线上时,CD最大,即0M最大.・・・OB=OD=2ZBOD=90,・・・fBD=2V2,・・.CD=2V2+
1.OM==VI+即0M的最大值为鱼+类型二定弦对定角J典例如图,在矩形中乃点尸在矩形的内部，且，则尸的最小值为2CD43=4C=3,A3CD NAP3=90°（）A.V13B.V5-2C.V13-2D.V13+2【解析】，工点尸在以的中点为圆心，以VZAPB=90°A50长为半径的位于矩形内部的半圆上.在中，由勾股定理，得+为4BCD Rta4000==V13,/.DP的最小值为同一2・【答案】C模型归纳在中,人为定长,如图，取的中点则点在以点为圆心,长为半径的定圆上.RSA3C NAC3=903A30,C提分如图,正方形的边长为点分别在边上，且/,连接相交于点跖则3ABCD4,E,F BC.CD5£=AE.BF的最小值为（）CM CA.V5-1B.2C.2V5-2D.2V5+2【解析】V四边形ABCD.AB=BC,ZABE=ZBCF=90°.VBE=CF,./\ABE^ABCF,.ZBAE=ZCBF.V ZABM+ZCBF=9Q°,.ZABM+ZBAM=9Q°ZAMB=90°，工点M在以AB为直径的;圆弧上,如图,取的中点连接交圆弧于点此时有最小值,最小值为，AB0,0C M,CM22+42-2=42V5-
2.提分4（2021哈肥庐阳区校级一模）如图，在RtA45C中,NAC5=90°]C=3〃B=5,是边3c上一动点,连接,在上取一点瓦使旦连接〃区则的最小值为（）A ADNZMC=NDC BECA.2V5-3B.？C.V13-2D.g【解析】:在RtAlbC中,NAC3=90°,6C=343=5,，AC=4,如图，取AC的中点O连接OE,OB,BE.,:,，£，,，点£在以为圆心，半径为ZDAC=ZDCE,ZDCE+ZACE=90°ZDAC+ZACE=90°ZAEC=90°4O的圆上运动，当三点在同一条直线上时最短，此时.在OA O,E,B OE=OC=04=2RtAOCB中,05432+22=V13,・・・BE的最小值为3-0E=V13-
2.C D提分5（2020•江苏无锡改编）在RtAABC中,NAC5=90°45=4,则△ABC面积的最大值为4・【解析】如图，取的中点，以点为圆心长为半径画圆,易知点在圆上.连接当A3O COC,OC1时,△的面积最大,最大值为:43ABC x4x2=
4.4!1!典例如图，在四边形中,加空的值为3ABCD NAO8=NAC8=90,ZDAB=55°,NA3C=65°A.^B C.^D.V3【解析】•••NAO3=NACb=90°,ZDAB=55°,ZABC=65°,.ZDBA=35°,ZCAB=25°,ZDAC=55°-25°=30°.设AC,3的交点为0,，0=；04易证点在以43为直径的圆上…NCDB=4/CAB」NDOC=ZAOB,•••△DOC八AOB,喘=篙弓【答案】模型归纳⑴共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧都会得到四点共圆;（）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度2相等，完成角度等量关系的转化，是证明角度相等的重要途径之一.提分6如图，在△A3C中,BE,CD分别是AQAb边上的高，且3=国06£=6,贝！|AE的长为（B），A2B.2C.V2D.V3【解析】易证点在以为直径的圆上,，.又；•••5EJLAGCDJLA3,3C NA£O=NA3C NA=NA,・••△AEOs/u吟喘d=*BC=国DE,・・・sin Z4BE=*第VlOxJRt△ABE中,432=AE2+BE2BP V10x2=x2+62,WW x=2或工二一2舍去,工4旧的长为
2.f提分在四边形中是对角线.7ABCD,NDAB=NDCB=90°,CB=CD,BD⑴延长交的延长线于点区若是的中点，如图求的度数.CD A4A1,NE⑵连接交于点尸.AC
①求证:CI2=CP・C4；
②若但求需的值.AD=2,CD=3W1V ZDAB=90°^E=AB,.DE=DB,.ZE=ZDBA.V ZDCB=90°,CD=CB,.ZCDB=ZCBD=45°,A ZE=ZDBA=-ZCDB=
22.5°.2⑵
①如图取区的中点连接1,OA.OC.VZDAB=ZDCB=90°，工0三50=03=00=04，点45Go在以点O为圆心，以0A长为半径的圆上.V CD=CB,.ZCDP=ZCAD.V NDCP=NACD,；・ACDPs MAD,.CD CP.=2CACD’
②•:ZDCB=9Q°,CD=3V2=CB.・・BD=^2CD=
6.fV AD=2,.AB=yj62-22=4鱼.由⑵
①可得NCW=NC45,过点尸分别作PM
1.AB于点M,PN±AD于点N,如图2,.PM=PN..S〉APB=BPM=ABSMPB=PBS^APD ADPN40SMPDP•_竺_丝万_2・■———《VPD AD2。
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