2023年高考数学一轮复习（全国版文） 第5章 §5.1　平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算【考试要求】

1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义2掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义3了解向量线性运算的性质及其几何意义.【知识梳理】

1.向量的有关概念⑴向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度或模.⑵零向量长度为的向量，记作

0.⑶单位向量长度等于1个单位长度的向量.⑷平行向量方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定零向量与任意向量平行.⑸相等向量长度相等且方向枢圆的向量.⑹相反向量长度相等且方向相反的向量.

2.向量的线性运算向量法则或几何意义运算律运算交换律a-\-b=b±a；加法结合律〃+b+c=〃+b+c减法a—b=a-\-—b|2〃|=|川⑷，当%0时,痴的方向与〃的方向相x/z a=同;数乘2+//a=2a+〃a；za+ft=Aa+AZ当2Vo时，〃的方向与〃的方向相反;当2=0时，2a=

03.向量共线定理向量”aWO与6共线的充要条件是存在唯一一个实数九使得b=Za.【常用结论】

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即范+不存+不江H---------\-A-iA=A^A特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量n nn9和为零向量.

2.若b为线段的中点，为平面内任意一点，则万1+B.

3.若A,B,是平面内不共线的三点，则前+而+正=0=尸为△ABC的重心，AP=^AB+AC.

4.若04=208+〃（九4为常数），则A,B,C三点共线的充要条件是2+〃=L

5.对于任意两个向量〃，b,都有||a|一例W|a土b|W|a|+【思考辨析】判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“义”）

（1）⑷与|例是否相等，与，力的方向无关.（V）

（2）若向量a与同向，且⑷|加则ab.（X）

（3）若向量赢与向量

①是共线向量，则A,B,C,四点在一条直线上,（X）

（4）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（V）【教材改编题】

1.给出下列命题

①若a与力都是单位向量，则=方；

②直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；

③若用有向线段表示的向量病与而不相等，则点M与N不重合；

④海拔、温度、角度都不是向量.则所有正确命题的序号是（）A.

①②B.

①③C.

②③D.

③④答案D解析

①错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；

②错误，由于只有方向，没有大小，故工轴、y轴不是向量；

③正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；

④正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量.

2.下列各式化简结果正确的是（）A.赢+元=正C.AB+BC-AC=0D.AB-AD-DC=BC答案B

3.已知与力是两个不共线的向量，且向量a+劝与一S—3a）共线，则2=.答案一；解析由题意知存在k《R,使得a-\-^b=k[—（b—3a）],所以解得＜1=3k,1Z=3题型一平面向量的概念例11给出下列命题，正确的有A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B.若A,B,C,是不共线的四点，且赢=庆，则四边形ABCO为平行四边形C.的充要条件是⑷=|可且〃〃〃D.已知九〃为实数，若入a=i由,则Q与b共线答案B解析A错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B正确，因为赢=虎，所以|矗|=|的且矗〃虎，又A,B,C,是不共线的四点，所以四边形A5C为平行四边形；C错误，当〃力且方向相反时，即使⑷=|方|,也不能得到〃=方，所以⑷=|引且〃〃力不是〃=6的充要条件，而是必要不充分条件；D错误，当％=〃=0时，与力可以为任意向量，满足觞=〃瓦但与b不一定共线.2如图，在等腰梯形A5CQ中，对角线AC与5交于点P,点E,尸分别在腰A，BC±,石方过点P,且£r〃A8,则下列等式中成立的是A.AD=BC B.AC=BDC.PE=PF D.EP=PF答案D【教师备选】下列命题为假命题的是A.若〃与》为非零向量，且a〃b,则必与〃或》平行B.若e为单位向量，且〃〃e,则〃=|〃|eC.两个非零向量a,C若|〃一臼=|°|+|回,则与「共线且反向D.“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件答案B思维升华平行向量有关概念的四个关注点1非零向量的平行具有传递性.⑵共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

（4）日是与同方向的单位向量.跟踪训练1

（1）下列命题不正确的是（）A.零向量是唯一没有方向的向量B.零向量的长度等于0C.若〃，5都为非零向量，则使含+告=0成立的条件是〃与力反向共线|||0|D.右a=b,b=c则u=c答案A解析A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；B项，由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；C项，因为六与得都是单位向量，所以只有当言与g是相反向量，即与》是反向共线时才成立，故C正确；D项，由向量相等的定义知D正确.⑵对于非零向量访b,“〃+b=0”是“a〃b”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若〃十5=0,则=—瓦则〃从即充分性成立；若〃瓦则=一》不一定成立，即必要性不成立，即“+》=0”是“a//b”的充分不必要条件.题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例2（2022,济南模拟）已知单位向量C1，…，则的最大值是，2,C2023,lei+ezH---------1~02023|最小值是.答案20230解析当单位向量为，,・・・，方向相同时，02023取得最大值,0+e M2T------------0231||1+«2H------H020231=11+12|H-------H|C2023|=2023；当单位向量为，生，…，首尾相连时，C2023，e He20ei+2H------------023=所以|ei+e2T------卜的最小值为

0.020231命题点2向量的线性运算例3如图，在四边形A8CQ中，AB//CD,AB±AD AB=2AD=2CD,E是3C边上一点,9且病=3诙，b是AE的中点，则下列关系式不正确的是A.BC=-1AB+AbB.AF=^AB+^ADC.BF=-^AB-\-^AD口.百=一演-|病答案c-A—-A-―►-►1-1—►-A解析因为3C=BA+AO+OC=-AB-\-AD+^AB=-yAB+AD,乙乙所以选项A正确；因为A/=:4E=A3+8E而3C=—zAB+AD,—41-►1―►代入可得4/=743+74,所以选项B正确；因为赤=成一赢，-1—41―►而4/=干48+74，~2-►1―►代入得BF=—^AB+^AD,所以选项C不正确；因为%=

①+亦+亦=-1AB-Ab+AF,-1—41―►而=743+74，_**1-2_**代入得CF=-TAB-^AD o39所以选项D正确.命题点3根据向量线性运算求参数例4（

2022.青岛模拟）已知平面四边形ABCD满足病=%已平面内点E满足施=3无，CD与AE交于点若5M=xA3+yAO,则x+y等于A55A-2B.-2J4—C.Q D.T答案c解析如图所示，易知BC=4AD,CE=2AO,BM=AM-AB=^AE—AB=1AB+6Ab-AB2_**~=-ABQ+2AD,j J..4・・x十y=

1.【教师备选】

1.（

2022.资阳模拟）在△ABC中,4为8C边上的中线，若点满足Ab=2db,则沆等于（）A.—^AB+1/4C B^AB—^AC—|B+^ACC.^AB—^AC D.A答案A解析如图所示，•••D为5c的中点,）（）AAZ=1AB+AC,VAO=2db,.\AO=^AD=^AB+^AC,，dC=AC-AO=AC-（jAB+|AC）=—^+|.AB AC

2.（2022・长春调研）在△ABC中，延长BC至点M使得BC=2cM,连接AM,点N为AM上一点且AN=5M,若AN=Z43+〃AC,则z+/z等于（）A.g B.；C.D.-g答案A解析由题意，知AN=1A=（A3+BM）1-13fJ J\—►1―►—►=^AB-\-^（AC-AB）J乙=—^+^,AB AC又病=滋+//元所以2=一不〃=],贝！J2+4=

1.思维升华平面向量线性运算的常见类型及解题策略1向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.2求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.跟踪训练21点G为△A8C的重心，设寿=m GC=b,则嘉等于31A.b~2a B./〃一于31C.yz+N D.2a+b乙乙答案A解析如图所示，由题意可知故赢=公一2反;=》一2a.22022・大连模拟在△A3C中，AD=2DB,AE=2EC,P为线段上的动点，若赢=%赢+//AC,九〃金R,则Z+〃等于23B.C.A.1T TD.2J乙答案B解析如图所示，由题意知，AD=AS,AE=^AC,T设5=x5k,所以崩=病+次=Ab+x方方^Ab+xAE-AD=xAE+l-xAD2-2f=尹4+辛1—xAB,、22所以〃=下,2=;1—X9所以2+〃=]X+Q1-x=题型三共线定理及其应用例5设两向量〃与不共线.1若赢=a+4BC=2a-\-Sb,CD=3a~b.求证A,B,三点共线；⑵试确定实数%,使山+力和Q+心共线.1证明VAB=a+b BC=2a+8b99CD=3a-b..\Bb=BC+CD=2a+8b+3a-b=2a+8b+3a-3b=5a+b=5AB..AB访共线,又它们有公共点9B,・・・A,B,三点共线.⑵解.ka+b与〃+心共线，，存在实数九使攵+力=，+助，即kz+b=Aa+/U力，・・・ATa=加一15Ta,〃是不共线的两个向量，.•・%-2=2%-1=0,AZr2—1=0,.\k=±l.【教师备选】

1.已知尸是△ABC所在平面内一点，且满足函+通+无=2赢，若So8c=6,则△孙5的面积为A.2B.3。