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年全国新高考卷数学试题变式题题2021II18-22原题
181.在一43c中，角A、B、C所对的边长分别为、b、c,b=〃+l,c=a+
2..1若2sinC=3sinA,求ABC的面积；2是否存在正整数，使得5c为钝角三角形若存在，求出的值；若不存在，说明理由.变式题1基础
2.在
①asinC=Gcxcos A,
②/+/c=Z2+/这两个条件中任选一个，补充到下面问题中进行解答.问题在ABC中，角A,5,C的对边分别为a,b,c,.1求出角A;2若a=2,S=6，求心.ARC注如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.变式题2基础
3.已知b,分别为1ABe三个内角A,B,C的对边，a=j3b-sin A-a-cosB.41求角3；2若b=2,1ABC的面积为G，求,ABC的周长.变式题3巩固
4.在
①〃sinC=csin A+—；
②2ccosA=4COsB+灰xsA；
③尸+=6+秘这三个条件中任\3选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.问题ABC的内角A民的对边分别为若b=3,S^Bc=36，求的值.变式题4巩固
5.在aABC中，角AK的对边分别为也c,若GOcosC+bsinC=.1求角笈的值;2若A=g,且，的面积为G，求BC边上的中线40的长.6变式题5提升
6.A ABC中，氏4分别为角A,B,的对边，且满足acos2C=acosC—csinA.1求角C;2若A5C为锐角三角形，c=12,求ABC面积S的最大值.变式题6提升
7.锐角一ABC的内角A，B,的对边分别为b,c,已知/仅sinC+csinB=4asinBsinC,b24-c2-a2=8,1求cos A的值及-ABC的面积;2NA的平分线与3C交于，DC=2BD,求〃的值.原题
198.在四棱锥Q—ABC中，底面ABCD是正方形，若A=2,QO=Q4=6,QC=
3.1证明平面平面ABC；2求二面角B-Q-A的平面角的余弦值.变式题1巩固
9.已知四棱锥尸-4BCO的底面为直角梯形，AB//DC,ND钻=90，B4_L底面4BCZ,且Q4=AZ=DC=1,AB=2,M是P3的中点.1证明面B4D_L面尸C；2求面AMC与面所成二面角的正弦值.变式题2巩固
10.如图，在四面体A5CD中，E,产分别是线段A，3的中点，ZABD=NBCD=90,EC=，V2AB=BD=
2.1证明平面瓦CJ_平面BCQ；2若二面角—45—C为45，求二面角A—CE—3的余弦值.变式题3巩固
11.如图，在等腰梯形A3CD中，AB//CD,AB=2CD=2AD=2,将,.ADC沿着AC翻折，使得点到点P处，且APJLBC1求证平面APCJ_平面A3C；2求二面角C-B4-3的平面角的正弦值.变式题4巩固
12.如图，正四面体ABCQ中，是顶点A在底面内的射影，E是AO中点，平面BDE与棱AC交于1求证平面£C_L平面BVD；2求二面角—3M—C的余弦值.变式题5巩固
13.如图，在几何体A3CDE/中，四边形A5CZ是边长为2的菱形，且NA4O=60,CE=DE,EF//DB,DB=2EF,平面CDE_L平面A5CO.1求证平面改尸_1_平面ABC；2若直线BE与平面ABC所成角的正弦值也,求平面AEF与平面ABCZ所成锐二面10角的余弦值.变式题6巩固
14.如图1,在梯形A3C中，BC//AD,AD=4BC=1,ZADC=45°,梯形的高为1,M为AO的9中点，以5M为折痕将aA5M折起，使点A到达点N的位置，且平面平面BCDM,连接NC,ND,如图
2.1证明平面M0CJ_平面NCO；2求图2中平面N5M与平面NCO所成锐二面角的余弦值.原题
2015.已知椭圆的方程为=十==l〃b0,右焦点为尸四,0,且离心率为逅.a2b131求椭圆的方程；2设N是椭圆上的两点，直线MN与曲线一十丁二尸位〉相切.证明M,N,产三点共线的充要条件是|MN|=V
3.变式题1基础
16.已知椭圆0=+二=10,匕的离心率为:，且其右顶点到右焦点的距离为
1.1求的方程；2点N在上，且OMLON.证明存在定点p,使得P到直线MN的距离为定值.变式题2基础
17.已知直线/:y=x+,圆O:d+y2=5,椭圆氏人的离心率6=等，直线/被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.1求椭圆石的方程；2过圆上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线的斜率都存在，求证两条切线斜率之积为定值.变式题3巩固
18.已知椭圆氏捺+g=100的离心率为孝，焦距为
2.1求椭圆E的方程；2过点夕1,0的直线与椭圆交于4B两点，在x轴上是否存在一个定点M0,使得为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
2219.已知椭圆吟+泊1ah0的左、右焦点为五1，K，|片周=2,离心率e为变式题4巩固1求椭圆的标准方程.2C的左顶点为A,过右焦点尸2的直线/交椭圆C于，E两点，记直线/,AD,AE的2b2斜率分别为攵，右，求证左匕+%2=--7一八.变式题5提升22[
20.已知椭圆Ci+/nlS〉/〉的左、右焦点分别是
6、F,其离心率e=5,点尸是2椭圆上一动点，耳与内切圆面积的最大值为I求椭圆C的标准方程；PF PFIH直线P-，与椭圆分别相交于点AB,求证在一+工得为定值.耳A FB\2变式题6提升
21.已知椭圆点+看■=lab0的离心率为孝，右焦点为尸，上顶点为A,左顶点为B,且|FA|-|FB|=10+5V
2.1求椭圆的方程；⑵已知CTO,4,0,点在椭圆上，直线PC,分别与椭圆交于另一点M,N,若CP=ACM，DP=RDN,求证％+〃为定值.原题
2122.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，尸X=i=p,i=0,
123.1已知p=O.4，P]=
0.3,〃2=
0.2,p3=
0.1,求EX；2设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程Po+p x+p x2+p x3=x的一个最小正实根，求证当Ex1时，p=l,当£X1时,x233根据你的理解说明2问结论的实际含义.变式题1基础
23.某高校设计了一个实验学科的考查方案考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定至少正确完成其中2题才可提交通过.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是:，〜*且每题正确完成与否互不影响.1分别写出甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的分布列，并计算均值；2试从甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值、方差及至少正确完成2题的概率方面比较两位考生的实验操作能力.变式题2基础
24.中国提出共建“一带一路”，旨在促进更多的经济增长和更大的互联互通，随着“一带一路的发展，中亚面粉、波兰苹果、法国红酒走上了国人的餐桌，中国制造的汽车、电子元件、农产品丰富着海外市场.为拓展海外市场，某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统G有3个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率为:，且每个电子元件能否正常工作相互独立，若系统G中有超过一半的电子元件正常工作，则G可以正常工作，否则就需要维修，且维修所需费用为90元.1求系统需要维修的概率；2该电子产品共由3个系统G组成，设4为电子产品所需要维修的费用，求4的分布列和数学期望.变式题3巩固
25.根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流每年最高水位X单位m的频率分布表如表1所示表1最高水位X/m频率将河流每年最高水位落入各组的频率视为概率，并假设每年河流最高水位相互独立.1求在未来3年中，至多有1年河流最高水位X£[25,29的概率；2该河流对沿河一蔬菜种植户的影响如下当X«23,25时因河流水位较低，影响蔬菜正常灌溉，导致蔬菜干旱，造成损失；当时，因河流水位过高，导致蔬菜内涝，造成损失.XE[29,33]每年的蔬菜种植成本为60000元，从以下三个应对方案中选择一个，求该方案下蔬菜种植户所获利润的数学期望.方案一不采取措施，蔬菜年销售收入情况如表2所示表2最高水位X/m蔬菜年销售收入/元400001200000方案二只建设引水灌溉设施，每年需要建设费5000元，蔬菜年销售收入情况如表3所示:表3最高水位X/m蔬菜年销售收入/元700001200000方案三建设灌溉和排涝配套设施，每年需要建设费7000元，蔬菜年销售收入情况如表4所示表4最高水位X/m蔬菜年销售收入/兀7000012000070000附蔬菜种植户所获利润=蔬菜销售收入一蔬菜种植成本一建设费.变式题4巩固3a,,
7.1求算的分布列；.2求乙77的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术.变式题5提升
27.某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产x54x15万件的该种产品所需要的总成本cx=\-前/+]6工+30万元，依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了1000件产品测量尺寸，尺寸分别在[
25.26,
25.30,[
25.30,
25.34,[
25.34,
25.38,[
25.38,
25.42,[
25.42,
25.46,[
25.46,
25.50,[
25.50,
25.54]单位mm中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格加元/件与年产量x之间的函数关系如下表所示.产品品质立品尺寸的范围价格m与产量x的函数关系式优中差以频率作为概率解决如下问题:1求实数的值;2当产量1确定时，设不同品质的产品价格为随机变量鼻求随机变量4的分布列；3估计当年产量》为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.变式题6提升
28.新冠肺炎是2019年12月8日左右出现不明原因肺炎，在2020年2月11日确诊为新型冠状病毒肺炎.新型冠状病毒肺炎^CoronaVirusDisease2Ql9,COVID-19是由严重急性呼吸系统综合征冠状病毒2severeacuterespiratorysyndromecoronavirus2,SARS-CoV-2感染后引起的一种急性呼吸道传染病.现已将该病纳入《中华人民共和国传染病防治法》规定的乙类传染病，并采取甲类传染病的预防、控制措施.2020年5月15日，习近平总书记主持召开中共中央政治局会议，讨论国务院拟提请第十三届全国人民代表大会第三次会议审议的《政府工作报告》稿.会议指出，今年下一阶段，要毫不放松常态化疫情防控，着力做好经济社会发展各项工作.某企业积极响应政府号召，努力做好复工复产工作.准备投产一批特殊型号的3产品，已知该种产品的成本“X与产量％的函数关系式为/%=--3X2+20X+10X
0.该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格gx与产量X的函数关系式如下表所示市场情形概率价格gx与产量X函数关系式好中差设Qx、2力、3司分别表示市场情形好、中、差时的利润，随机变量4表示当产量为X时而市场前景无法确定的利润.1分别求利润Qx、2“、3力的函数关系式；2当产量X确定时，求期望EJ；3试问产量X取何值时，期望取得最大值.原题
2229.已知函数/x=x-Yex-cix1+b.1讨论/幻的单调性；2从下面两个条件中选一个，证明只有一个零点2
①一a W—,b2〃；22®0a—,b2a.2变式题1基础
30.已知函数/x=依Tn x-£R.1求函数的极值；2当xe；,2|时，函数/S有两个不同的零点，求实数4的取值范围.变式题2基础
31.已知函数/x=lnx+@a£R.xI讨论函数/x的单调性；II求出函数出九零点的个数.变式题3巩固
32.已知函数/X=lnx+〃x〃G R.1讨论/x的单调性；2设gx=/x+Y+2,若gx至少有两个不同的零点，求的最大值变式题4巩固
33.已知函数八%=x—1讨论函数“X的单调性；2当函数“X仅有两个零点均，演时・i求实数的取值范围；ii求证Xj+x
0.2变式题5提升
34.设Jx=x-ae Q£A,xeR,1求/x的单调区间2已知函数=/1有两个零点为，x「且i求的取值范围；x9ii证明=随着〃的减小而增大.变式题6提升
35.已知函数/x=〃lnx+l-sinx.1若/%在［，］］上单调递减，求的取值范围；2证明当Q=1时，/对在-,+00上有且仅有一个零点.I27。
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