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及其性质【考试要求】.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称12性、顶点、离心率）.掌握椭圆的简单应用..3【知识梳理】椭圆的定义
1.把平面内与两个定点尸，的距离的和等于赏数（大于尸声）的点的轨迹叫做椭圆.两个定1F22|点，出叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离尸尸叫做椭圆的能F12|
1..椭圆的简单几何性质2焦点的位置焦点在轴上焦点在轴上X y图形标准方程产京5-13205+=1a»0范围且一且一—qWxWa bWyWZ—bWxWb aWyWoA]—4,0,Aza,0（一〃），（，）40,4顶点阳0,—b,0,b母（一姐），3妙,0）轴长短轴长为四，长轴长为额隹占
八、、
八、、」—c,0,c,00,—c,0,c焦距\FIF2\=2C对称性对称轴轴和轴,对称中心原息X y离心率e—0el的关系a,b,c H=—+c2【常用结论】椭圆的焦点三角形如图所示，设夕椭圆上的点（兆）与两焦点构成的叫做焦点三角形.NBP-P xo,
（1）当尸为短轴端点时，最大，S,\FPF最大・139（）在一为||尸—厂、网25|sin/tan（）3|PFi|max=a+c,1PBimin=a—C542=|PF|2+|PF|2-2|PF||PF2|C I C12OS
0.【思考辨析】答案4e1解析由题意知因为，=2,6=7=5所以C=l,所以房=〃，2—=3,22故椭圆的方程为5+^=
1.设尸点的坐标为（沏，州），所以一（）一小小.2Wx W2,WyoW因为尸（）（）T,0,A2,0,所以尸尸=（一一项），）1—yo,出=（）2—xo,—yo,所以而•或=高一项一焉一=；（须一）2+4=xo+122,所以当出=-时，而•该取得最大值
24.【教师备选】嫦娥四号在绕月飞行时是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道
③所示，其近月点
1.与月球表面距离为公里，远月点与月球表面距离为公里，已知月球的直径约为100400公里，则下列选项中正确的是（）3476焦距长约为公里A.400长轴长约为公里B.3988两焦点坐标约为（）C.±150,075离心率约为宜D.答案D解析设该椭圆的长半轴长为d半焦距长为c依题意可得月球半径约为:X3476=l738,〃一=100+1738=1838,〃+=400+1738=2138,所以=21838+2138=3976,a=\988,c=2138-1988=150,2c=300,椭圆的离心率约为悬=募，可得正确，错误；因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，6=5=D A,B所以错误.C.太原模拟若点和点歹分别为椭圆£+左=的中心和左焦点，点尸为椭圆上的任
2.20221意一点,则5・际的最大值为A.2B.3C.6D.8答案C72解析由椭圆》+以=可得1R—1,0,点0,
0.设PX,y—2WxW
2.=*++3=；+22+2,-X X当且仅当时，能取得最大值x=
26.思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；1利用函数，尤其是二次函数；2⑶利用不等式，尤其是基本不等式.跟踪训练312022・济南质检设椭圆E的两焦点分别为为，，以为为圆心，尸il为半径的圆与交于尸，两点.若△为直角三角形，则£的离心率为E PAF2A.^2—1B.^2孚C.D.V2+1答案A解析不妨设椭圆£的方程为〃如图所示，5+%=im o,•「△为直角三角形，PQF
2.•.PF±F F,I I2又|尸尸|尸尸2a1|=12|=•・・也，|PBI=2|+上刊=\PF2c+2yj2c=2a,]•••椭圆的离心率E e=^=y[2—l.22⑵已知椭圆〃的右焦点为尸上顶点为直线多■上存在一点5+3=1090,A0,b,x=P«-Z L满足译+甫•崩则椭圆的离心率的取值范围为=0,答案c解析取的中点，则的=；（而+前）,AP所以（碎+函）•乔两.亦所以尸所以△为等腰三角形,即|胡|=且|阿=也=2=0,Q_LAP,AfP|FP|,斗？=
4.2因为点在直线上，P x=5V.22所以尸；即三P|N—C,45—C,2所以安》，所以解得与或公
二、|」一小一］T/+e—10,014^J又故工^0e1,-W e
1.课时精练已知动点到两个定点的距离之和为则动点的轨迹方程为
1.M4—2,0,32,06,MB=122端+上1解析由题意有62+2=4,故点的轨迹为焦点在轴上的椭圆,贝［故M x2a=6,c=2,2=9,79坐B所以221b=a—c=5,A-
2.乎C答案c解析依题意可知，又22a=ylh+c=yl2c,•••椭圆的离心率号.6==CvY
23.椭圆3+V=1的两个焦点分别是为，B，点P是椭圆上任意一点，则所・P3的取值范围是A.[-1,1]B.[-1,0]C.[0,1]D.[-1,2]答案c解析设为为左焦点，则由椭圆方程得为一1,0,61,0,设尸一取x,y,WxWyfl,・••羽=—1—x,—y,讴=1—x,—y,则雨・万芭=/+1[0』].y2_设《是椭圆（的离心率，且（，），则实数左的取值范围是（）
4.2+=1e£|1B3,TA.0,3C.0,3噌,D.0,2答案C解析当＞时，=#一244,“一14由条件知;＜丁＜，解得攵*;1当＜攵＜时，04c=y[^k9I4—k由条件知^＜丁一＜，解得1已知为，分别是椭圆的左、右焦点，现以尸为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交
5.2椭圆于点若过的直线是圆的切线，则椭圆的离心率为（）M,N,06A.,\/3—1B.2—.乎坐C D答案A解析•・•过Q的直线MFi是圆F2的切线,，・・・N/WF2=90|MF2|=C,V|F F|=2,IC2由椭圆定义可得小\MF\|+\MF\=c+c=2a,2=y[3—
1.
226.（2022・济南模拟）已知椭圆C，+方=1（〃＞＞0）的左、右焦点分别为E,F,且田61=2,点（）在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法不正确的是（）P l,l的最小值为〃一A.|QFi|+|QP|21椭圆的短轴长可能为B.2椭圆的离心率的取值范围为C.0,若而=施,则椭圆的长轴长为小+历D.答案B解析由题意可知则因为点在椭圆上,2c=2,c=l,所以尸，IQFil+lQBI=2m|Q2I+IQPI|QB|+|QP|=2Q—又一尸所以正确；1W—IQF2I+IQ|1,A因为点尸在椭圆内部,所以1,1bl,2A2,所以错误；B因为点尸在椭圆内部，所以点+*1,11,即廿+/一〃又尻=/一，，2b2V0,c=l,所以〃2—1+/—//―i0,化简可得标+310^1,解得〃彳巾或舍去,234235则椭圆的离心率C______________小—c]11+邓小+2P1又所以椭圆的离心率的取值范围为所以正确;061,0,c由羽=或可得，凡为的中点，PQ而尸1,1,Fi-l,0,所以一3,—1,IQEI+IQBI222—2—yj—3+1+—1—0+,\J—3—1+—10=y[5-\-yj~n=2a9所以正确.D.如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为现太阳光与地面的夹角为722cm,60°,则此椭圆形影子的离心率为.答案5解析由图可得，椭圆的短轴长=2b=22=11,222222=高而=营=忑，22A/H.72•全国甲卷已知尸，为椭圆，的两个焦点，为上关于坐标原点对称
8.20211B c%+=1P,的两点，且尸，则四边形的面积为.|PQ|=|1BI PF1QF2答案8解析根据椭圆的对称性及尸尸可以得到四边形尸为对角线相等的平行四边形,所|PQ=|PBQ12|2以四边形尸尸为矩形.设尸冽,则一|尸一九贝尸仔+『尸苏+P|P|Pl=2a P88121|=11=I2|2=222222—m—2m+64—16m—IF1F2I—4c—4tz—Z—48,得所以四边形入尸的面积为尸为|尸|m8-m=8,I=m8—m=
8.2IX已知椭圆的长轴长为两焦点，的坐标分别为和一
9.10,B3,03,
0.⑴求椭圆的标准方程；若为短轴的一个端点，求△为尸出的面积.2P解设椭圆的标准方程为122N+为=lQb0,=10,依题意得c、c=3,因此Q=5,b=4,22所以椭圆的标准方程为会+汽=
1.2J1O易知又2|yp|=4,c=3,所以=xS
1.”\\yp\2c=yX4X6=
12.A
10.已知椭圆C最+1=1〉0,焦点Q—c,0,FC,0,左顶点为A,点石的坐标为0,c,A到2直线£出的距离为令.求椭圆的离心率；1⑵若为椭圆上的一点，，△的面积为小，求椭圆的方程.P CNQP=60PQ/2解由题意得，一〃,1A0,EFz x+y=c,因为到直线的距离为哗A EFzb,逅|—CL即产厂律2所以a+c=@b,即、又22a+c h=cr—c2=3/2,9所以〃所以，〃〃a+c2=32—c，2,2+0—2=0,因为离心率所以2/+e—1=0,解得或舍，e=T e=-1所以椭圆的离心率为:乙C由知离心率，即
①21e=,=5a=2c,因为，△尸尸尸的面积为小，NHPF2=602贝咕呐|尸产而=#,602所以|尸尸尸尸1||21=4,|PQ|+|P3|=2m又|\PF\|2+|PF|2-2|PF I||PF|COS60°
22、=2c2,所以层一02=3,
②联立
①②得所以=2,c=l,2=/—02=3,2所以椭圆的标准方程为，+^=
1.
11.2022・大连模拟已知椭圆C器+芸=1的左、右焦点分别是为，,左、右顶点分别是点尸是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是A1，42，4，|PF|+|PF|=4A.I2存在点尸满足NQ尸产B.2=909直线与直线%的斜率之积为一而C.2若△的面积为巾，则点的横坐标为华D.QPF22P答案c解析由椭圆方程知=，c=S4,/=3,|PF]|十|PF2|=2G=8,A错误；当在椭圆上、下顶点时，P122a—4c1一讶cos ZFi PF2=—=g0,即最大值小于看错误；NQPF2By若尸（『，），则、=）kpA+4,k=^—f，52X—4ry2有kpA’kpA2_]6,J252而飞~十于一晨所以一
（2）16y‘2=9/—16,9即有％PA,％P“=一讳，C正确；若尸（，，y）,△BPB的面积为入斤，・.2c|y|r即于，1=2故y=±2,代入椭圆方程得/=及，错误.D年月日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一
12.20211016天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为下列结论不正确的是（）飞船向径的2d2c,A.取值范围是伍一c,Q+C]飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间B.飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁C.飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小D.答案C解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是〃正确；[Q—C,+c],A当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，正确；Bn—c1—e9丁=工一=号一比值越大，则越小，椭圆轨道越圆，错误；十11,e Ca-vc l+e1e根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正确.D222设尸分别是椭圆（»＞）的左、右焦点，若在直线■上存在点使线
13.2a+%=1P,段的中垂线过点,则椭圆离心率的取值范围是（）PQ（兴B0,惇）D1母c17答案D即解析3C设4+2^Z2C2—，^加4^0，,Fi-c,O,FC,0,2由线段PF I的中垂线过点出得得三解得3/+2e2—10,21又
4.（02e02l,1•浙江）已知椭圆了十》=10）,焦点小一的0）,F2（C90）（C0）.若过Q的直线和圆（，相切，与椭圆的第一象限交于点且尤轴，则该直线的斜率是，椭x—T2+y2=c2P,PJ_圆的离心率是.套案亚22szi口本55解析设过的直线与圆的切点为圆心（）B M,A1c,0,3则，质碎=呼，|AM=c所以|MQ|=4C,乙所以该直线的斜率攵=般=方-=¥•2°2b因为轴，所以，PB_Lx|PBI=7又内尸2|=2C,b1圻门可枳层一所以2a022l-e—0^1,攵—5Ze2ac判断下列结论是否正确（请在括号中打“或“）J”X”⑴平面内与两个定点出的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）X（）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（）2V（）、+％力〃）表示焦点在轴上的椭圆.（）3a=1y X（京+方=与方=的焦距相等，（，）45+教材改编题，177设是椭圆去+以上的点，若，尸是椭圆的两个焦点，则|尸人|十|「出|等于（）
1.P=1B2J1VzA.4B.5C.8D.10答案D解析依椭圆的定义知，|PF|+|PF|=2X5=
10.I2若椭圆弓则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为（）
2.C=1,小A.3B.2+小C.2D.+1答案A解析由题意知事,所以距离的最大值为=2,b=c=l,a+c=
3.（.深圳模拟）已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为今则的方程可以为
3.2022C x C答案弓（答案不唯一）7+=1解析因为焦点在工轴上，所以设椭圆的方程为最+忘=，泌＞，111c c^—b1所以一^=不7=因为离心率为上题型一椭圆的定义及其应用例（）已知圆（）的圆心为设是圆上任意一点，）线段的垂直11x+22+y2=36A NQ,0,AN平分线交于点则动点的轨迹是（）MA P,P圆椭圆A.B./日立得・e=V72已知椭圆，+方=＞＞的短轴长为上顶点为左顶点为左、右焦点分别为
15.102,43,且△的面积为^若点为椭圆上的任意一点，则盛+看的取值范围，6,BAB P\rr\\|rr2|是.答案[1,4]解析由已知得=故22,b=L的面积为『,VAFiAB
2.12-，[—ch=2「•a—c=2—A/3,又212a—c=a—ca-\rc=b=1,・.a=2,c~^39••|尸尸十|尸尸1|2|_|PF1|+|PF|一2\PF\WPF\2_____________2a=\PF^2a-\PF^________4=2-|PFi|+4|PFir又〈|＜小，2f PFi|2+—|PF F+4|PF|W4,I I即赢+赢的取值范围为
[14].
16.已知尸i,F2是椭圆的两个焦点，尸为椭圆上一点，ZF IPF=60°.2求椭圆的离心率的取值范围；1求证的面积只与椭圆的短轴长有关.2⑴解不妨设椭圆的方程为%+方焦距为=120,2c.在△中，由余弦定理得,QP3|PF|2+|PF|2-|F FI I22cos60°=|22|PF I|.|PF|2_|PB I+|PF2|2—2|尸川・|尸Bl—固出F—2\PF^\PF\2」44—2|PQHPF2|-40212|PFIMPF2|~T所以・尸尸/尸|PB||P m|P2|—402,2|=4Q2—2|所以〃，3|PEHP3|=42所以尸亍.4Z|PB|♦|P2|=又因为瞥竽且=层，IPBHPFR W当且仅当时等号成立，|PFi|=|PB|所以〃〃32242—2,c1所以力，25所以又因为Qe1,所以所求椭圆的离心率的取值范围是仕，・14证明由⑴可知2|PFI|.|PF2|=^2,所S/v=T|PF]|.|PF2|sin604F|rr N2=取前义喙乙乙J所以△的面积只与椭圆的短轴长有关.RPF2C.双曲线答案B解析点P在线段AND.抛物线的垂直平分线上，故|%|=|PN|,又AM是圆的半径，所以|PM+|PN|=FM+$4设点尸为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且,2C=12F13NBPF2=
60.由椭圆的定义知，的轨迹是椭圆.+|%|=HM=6|MN P则的面积为.△PF1F2答案竽解析由题意知，2c=y]a-
4.又，尸尸|十2mNBPF2=601|PF2|=|F F|=2^2-4,I2・尸倒为一尸・・IHB|2=|BP|+F|2—2PI-2|PHPlcos60°=443/iP|.|F2|=4〃2—16,.•.|FiP|-|PF|=y,2・••SAPFF=llFiP|-|PF2|sin60°・X X2324V§・
3.延伸探究若将本例中改成求△的面积.解2A ZFIPF=60°V“PFJPF2PB,:PFLPF,2=|F F|2=・・・|PF112+IPF2I2I4m2-42=4/—16,又|尸尸|尸尸2|=2Q,1|+・・・|PBHPBI=8,•c4••◎△弘的.【教师备选】△的两个顶点为仇周长为则顶点的轨迹方程为
1.ABC A—3,0,3,0,ZkABC16,2y芸东+弓B*+1/c=1k016=1QW°.行产D+g=10答案A解析由题知点到两点的距离之和为故的轨迹为以为焦点，A,510,C4—3,0,33,072长轴长为的椭圆，故=一.所以方程为泰+殳.又1022=10,3,2=202=16=1A,B,C97三点不能共线，所以耒+女=ly#
0./J JLU若尸，是椭圆总的两个焦点，为椭圆上一点，且，则△的面积
2.1F2+5=1A NAQF2=454QF2为毕A.7B.C.j D.答案c解析由题意得Q=3,b=y/l,c=y[29•••/1尸2|=26,|AF I|+|AF|=
6.2V|AF|2=|AF|2+|F F2|2-2|AF|-|F F2|I I IICOS45°2=|AF I|2+8—4|A川，•••6-|AF|2=|AF|2+8-4|AF|,III7解得尸|A i|=,・・△的面积•AQB思维升华椭圆定义的应用技巧椭圆定义的应用主要有求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和1离心率等.通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.2跟踪训练⑴已知两圆.动圆在圆内部且和圆1Ci%—42+2=169,C x+42+y2=9M CiG2相内切，和圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是2M若奈店A T=1B.=12CW1-+^=lD1十14864,6448答案D解析设动圆的圆心半径为M,y,r,圆与圆内切，M G%—42+y2=i69与圆22外切.2%+4+^=9所以一|MG|=136|MC|=3+r.26|C C|=8,\MCx|+\MC\=1I22由椭圆的定义，的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.M G,C216贝IQ=8,c=4,所以222Z=8—4=48,92动圆的圆心的轨迹方程为尢+竟M=
1.044o2（）（.武汉调研）设椭圆+《=的一个焦点为尸，则对于椭圆上两动点/周220221A,B,ZXABI长的最大值为（）小A.4+B.6小C.2+2D.8答案D解析设为为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得HF1+|8F|+|43|=2〃一|AQ|+2a一|3F I|+|A5|=44+|A5|一|BQ|—|AQ|=8+|AB|-|BFi|-|AFi|,当西三点共线时，A,B,\AB\-\BF\-\AFi\=0{9当西三点不共线时，A,B,|AB|-|BFi|-|AFi|0,所以当三点共线时，△/的周长取得最大值A,B,B AB
8.题型二椭圆的标准方程命题点定义法1例已知椭圆的焦点为尸（）尸（），过的直线与交于两点.若21—1,0,21,0B43|ABI=，则的方程为（）2IF2BI\AB\=\BF\C{92A.y+y=l B.y+^-=1碍+9=1DM+Q=1答案B72解析设椭圆的标准方程为方（），5+=12由椭圆定义可得|Abi|+|A8|+|3R|=4a V\AB\=\BF\,.\AF\+2\AB\=4a]}又尸尸河,|A2l=2|
2.•.|AB|=||AF|,
2.\AFi\+3\AF\=4a.2又尸IABI+IA2|=2m・为椭圆的短轴端点.m..A•••|AF2l=如图，不妨设（）A0,b,又（）加瓦瓦61,0,=
2.•啰-%将点坐标代入椭圆方程方=，B119k得标十折=，1・2=3,Z2=Q2»=292・・•椭圆C的方程为,+=L命题点待定系数法2例已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（加，）（一小，一也）,则3Pi1,2该椭圆的方程为.答案卷痔=1解析设椭圆的方程为〃〃]（加〉〃〉且〃工〃）.U2+y2=0,0,2因为椭圆经过尸两点，P1,2r i根+〃=机=§，61,解得J]3m+2n=1,所以点丹，的坐标满足椭圆方程，P2所以所求椭圆的方程为会+王=
1.【教师备选】已知椭圆泉（〉历＞）的左、右焦点分别为为，离心率为，过巳的直线与
1.C*=10F,3椭圆交于两点，若的周长为则椭圆方程为（）A,88,帝落B1解析如图,由椭圆的定义可知，△的周长为QA84a,所以4〃=8,Q=2,又离心率为:，所以从c=l,=3,22所以椭圆方程为+5=
1.I设椭圆三+《=相〉心的右焦点为离心率为虚，则此椭圆的方程为
12.10,02,0,IIL9I答案11+4=解析椭圆的右焦点为2,0,所以加一乎=嘉2»=4,0=所以m=2^/2,代入m一几2=4,得H2=4,所以椭圆方程为a+=L o4思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法定义法根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.1⑵待定系数法根据题目所给的条件确定椭圆中的当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般4,4可设所求椭圆的方程为22不必考虑焦点位置，用待定系nvc+ny=1m0,n0,数法求出相，〃的值即可.跟踪训练已知椭圆的两个焦点为小，是椭圆上一点，若21Fi-V5,0,0,M MF1±MF,2|MF I|.|MF|=8,则该椭圆的方程是
2、,、,JI J122答案解析设相，c|MA|=\MF\=n29因为・8||MBI=8,|居小,6|=2所以加层=2+20,mn=8,所以（加+〃）所以所以m+n=2a=6,a=
3.2=36,因为邓,c=22所以椭圆的方程是5+3=
1.（）已知小-）（）是椭圆的两个焦点，过后且垂直于轴的直线交于两点,21,0,F2l,0xCA,B且恒则的方程为（）5|=3,2Ar^+y—1B.y+^-=1碍+（=1D.t+1答案C13解析如图，==9尸尸尸IAF2I2\AB\22,12由椭圆定义，3得〃一
①HBI=
22.在为△中，ABF2|，F=H时+尸周（
②2=5+
22.由
①②得=2222,/.b=a—c—
3.92・••椭圆C的方程为,+看=
1.题型三椭圆的几何性质命题点离心率122例4
（1）（2022・湛江模拟）已知尸是椭圆C5+曰=1（»°）的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为日的直线与以点尸为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为（）C爽A J牛A.B.^.平C*D答案A解析过椭圆的下顶点（一切且斜率为的直线方程为尸土一仇即%—厂=C0,10,（）由点到直线距离公式,F c,0,即2即c=—TZC+Z2,2c—bc+2b=0,则2c—h—0h—2c.942=Z2+2,又Z C即2222a=2c+c=5c,解得:L/C*.z72F已知分别是椭圆，+方冷的左、右焦点，若椭圆上存在点使则椭2F2=10P,/RPF2=90°,H圆的离心率的取值范围为e[,A O耍.坐,B13-4-c,期惇c D1答案B解析若椭圆上存在点尸，使得则以原点为圆心，尸尸为直径的圆与椭圆必有交点，PKJLPB,12如图，可得》瓦即C所以即刊出,2c2*2,,「、历\又所以，el,
41.L27思维升华求椭圆离心率或其范围的方法直接求出利用离心率公式色求解.1a,c,6=由与的关系求离心率，利用变形公式一「求解.2a b0=41构造的齐次式.可以不求出的具体值，而是得出与的关系，从而求得已命题点3dc a,c ac2与椭圆有关的范围最值例以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为则椭圆长轴长的最小值为511,也A.1B.C.2D.2y[2答案D解析设，乩分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为匕时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以;仍故故〃X2=1,Zc=l,2=232+02三互吸当且仅当时取等号.26=2b=c=\21v如图，焦点在轴上的椭圆方的离心率》分别是椭圆的左焦点和右顶点，2x w+=1e=F,A是椭圆上任意一点，则弗•皮的最大值为.P。
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