2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第9章 §9.13　圆锥曲线中的探索性与综合性问题

锥曲线中的探索性与综合性问题题型一探索性问题22例

12022.南通模拟已知双曲线C^2-^2=1«0,0的离心率为2,过点P0,佝且斜率为1的直线/交双曲线C于A,B两点,且万1・油=

3.⑴求双曲线C的标准方程；2设为双曲线右支第一象限上的一个动点，尸为双曲线的右焦点，在x轴的负半轴上是否存在定点M.使得NQbM=2NQM/若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解1设双曲线的焦距为2c由双曲线的离心率为2知c=2m所以b=yj3a,22从而双曲线C的方程可化为宏一牛=

1.由题意知，/y=x+,，y=x+加，联立*2y2常—3层=上得2x2—2*\/6x一6—3〃2=

0.设Axi,y,Bg,竺.因为J=—24X2X―6—3^2=72+24*0,2A/6—3所以国+%加，一呼2=X1・X2=-32因为万1•油=3,所以X]X2^ry\y2=X]X2+xi+^6x2+,\/6=3,于是+V6xi2XIX2+X2+6=2义—加义旗+6=3,3—%2+解得4=1,所以双曲线C的标准方程为d一9=

1.⑵假设存在点0《满足题设条件.由1知双曲线的右焦点为F2,

0.设Qxo，yoxNl为双曲线C右支上一点.当xo=2时，因为NQFM=2NQM/=90，所以NQM/=45，匕2于是|MF|=|Q/q=7=3,所以/=—

1.即M—1,

0.yotan ZQMF—RQM—x（）—t当xW2时，tanNQEW=—%/=—因为NQFM=2NQMF,所以一将的=3x4—3代入并整理得—2x8+（4+2z）x（）—4/=-2t¥o+2+3,2A^-[4+2/=—2r,所以一2」[—4%=户+3,解得，=一

1.即颂一1,

0.综上，满足条件的点M存在，其坐标为-1,

0.【教师备选】2022・洛阳模拟已知椭圆C，+*=lab0的离心率为坐，点£,少分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且^Eb的面积为吊1⑴求椭圆的方程；2是否存在直线/,使得/与椭圆相交于A,B两点，且点尸恰为△E4B的垂心？若存在,求直线/的方程，若不存在，请说明理由.r ca=3，解⑴由题意可知也，乙2226Z=Z+C,7=加解得4b=

2.、c=也,x2v2所以椭圆C的方程为言+=L⑵假设满足条件的直线/存在，由E0,-2,FV2,0,得^£F=*\/2,因为点尸为△EA3的垂心，所以ABLER所以乂一半，8=设直线/的方程为尸一当』,九道2代入/+=1,O4得7/—比+61—4=0,4X7X6#—4=-96/2+6720,[=—67^2—即一巾/巾，为+九串,2=则＜6p—47X1X2=记Axi,yD，丁3x2,2,由AFLBE得小尻今2=一],xi—y/212所以y1y2+2yi+xiX2—也及=0,将y=一乎%i+f,”=—乎及+，代入上式，得3%1%2—*\/2z+2x1+%2+2»+4=0,所以3义空厂5一也«+2•耳+2祥+4=0,9所以5P+/—18=0,解得，=5Q=—2舍去,满足/0,所以直线I的方程为产一半+总思维升华存在性问题的解题策略存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.1当条件和结论不唯一时要分类讨论.2当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.3当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意.跟踪训练12022・南京模拟在平面直角坐标系X，中，已知抛物线C产=

4.经过/〉0的直线/与交于A,3两点.1若，=4,求AP长度的最小值；2设以48为直径的圆交x轴于M,N两点，问是否存在3使得而.赤=一4若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由.解⑴设yJ,由P4,0,可得HP|2=%42+W=普-M+16=表网-8+12212,当yo=±2限时，以尸|取得最小值2小.2设直线AB的方程为x=my+t,Axi,yD，Bg”，x=my-\-t,联立J i可得j;2—4my—4^=0,[2=4x,即有yi+y2=4w,yij2=-4z,设以A5为直径的圆上任一点x,y,MX3,0,NX4,O，所以的轨迹方程为x—xix—x2+y—yiy—”=

0.xi+12=myi+、2+2z=4m2+2KX\X2=my\+，〃2y2+=〃22yly2+mty\+竺+於=-4〃於.+4m2/+fi=t2,所以Q的轨迹方程化为x2—4m2+2rx+f2+y2—4my—4r=

0.令j=0,得x2—4m2+2tx~\~t2—4t=Q.所以上式方程的两根分别为X3,X,4则茏沟=/2—4/.由OM・ON=xyX4=—4,即有於一4/=-4,解得」=

2.所以存在，=2,使得而•冰=-

4.题型二圆锥曲线的综合问题例

22022.梅州模拟在平面直角坐标系xOy中，椭圆C£+冬=的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线x+y+

2、R—1=0与以椭圆的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆相切.1求椭圆的方程；⑵是椭圆的内接三角形，若坐标原点为△8WV的重心，求点3到直线的距离的取值范围.解1设椭圆C，+£=1的右焦点0,则以椭圆的右焦点为圆心，椭圆的长半轴长为半径F2C,的圆x—c2+y2=〃，所以圆心到直线x+y+26-1=0的距离|c+2也一1|cl——I---——a,12+12又椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，所以bfc,Q=2C,解得c—1,Q=2,N v2所以椭圆的标准方程为7+^=

1.⑵设3加，〃，线段的中点为，直线与椭圆交于A,8两点，因为为△8WV的重心，则|3O|=2|OQ|=|OA|,即B到直线MN的距离是原点到直线MN的距离的3倍.当MN的斜率不存在时，点在x轴上，所以此时点B在长轴的端点处.由|引=2,得|0|=1,则点O到直线的距离为1,点B到直线MN的距离为

3.当的斜率存在时，设Mxi,y,Ng,刃，两式相减得即+工21一X2」+21—24十3一°因为为线段N的中点,。