2022年数学百色专用一轮复习教学案-教材知识特训5中点问题的常见模型

特训1三角形中线及倍长中线模型教材知识特训五中点问题的常见模型模型点拨三角形的中线等分三角形的面积AD的中线，则S^BD=S^CD=\S^B^ABD与△AC是两个等底同高的三角形）.当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题.如图，在中，为3C的中点，延长AQ到点£使DE=AD.［例1］如图，已知是△ABC的边3c上的中线.⑴若ZkABC的面积为10,则S AADC=_5_；

（2）若△48的面积为6,且3边上的高为3,则3C=_3_.【解析】

（1）根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分即可求解;

（2）先求出△A3C的面积，再根据三角形的面积公式即可求解.【例2】如图，在△ABC中，若A8=7,AC=5,则5c边上的中线的取值范围为」vCDv

6.【解析】延长AO到点E,使OE=AO,再连接BE（或将△AC绕着点旋转180得到△£»£））,把AB,AC,2AD特训2三角形中位线模型集中在中，利用三角形三边的关系即可得出中线AQ的取值范围.模型点拨多个中点出现或“平行+中点”（中点在平行线上）时，常考虑或构造三角形中位线.在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理DE//BC,且DE=BC,^ADE^AABC,解决线段之间的相等或比例关系及平行问题.【例3】如图，在RtA43C中，NACB=90,使BE=BC,连接OE,/为E的中点,连接BE若AC=8,BC=6,则3/的长为B A.2B.

2.5C.3D.4【解析】先利用勾股定理求得45的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得C的长度，最后结特训3直角三角形斜边中点模型合题意得出线段3尸是aCDE的中位线，则8/=1c可求.模型点拨直角三角形中有斜边中点时，常作斜边上的中线，利用“斜边上的中线等于斜边的一半“可得CD=来解题，有时有直角无中点，要找中点，可简记为“直角+中点，等腰必呈现、此模型作用

①证明线段相等或求线段长；

②构造角相等进行等量代换.【例4】如图，在△ABC中，CrJ_AB于点凡于点E,M为3C的中点，BC=

10.1若NABC=44，ZACB=70°,则/EMF的度数为一邹—；2若EF=4,则尸的面积为2瓦.【解析】1根据直角三角形的性质得到BM=FM=EM=CM,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；2过点“作MALLET于点N,根据直角三角形的性质得到尸M=；BC=5,根据等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式计算.特训4等腰三角形底边中点模型三线合一模型点拨等腰三角形中有底边上的中点时、常作底边的中线，利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”的性质得到NA4D=NC4O,AD±BC,BD=CD,解决线段相等及平行问题、角度之间的相等问题.[例5]ZkABC中，AB=AC,NB4c=120，BC=2®点为BC的中点，AE=；AB,则的面积为35D*A.B.~4~（B）【解析】连接AO,根据“三线合一”得到AD±BC,为角平分线，则可以得到BD的长，在RtA48O中,特训5三角形边的垂直平分线模型利用锐角三角函数求得AO的长，由此可以确定△A3的面积，再根据△E3O的面积与△A3的面积关系即可求解.模型点拨当三角形某一边的垂线过这边的中点时，可以考虑用垂直平分线的性质得到3E=CE,证明线段间的数量关系.【例6】如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=10,边AC的垂直平分线交3c于点D交AC于点E若△1a）的周长为26,则E的长为—宇一【解析】根据题意求得BC=16,过点A作于点/，根据等腰三角形的性质得到3M=8,根据勾股定理求得AM的长，根据线段垂直平分线的性质得出△AOC是等腰三角形，易证得△48C SZ\DC,根据相似三角形对应高的比等于相似比，即4可求得石的长.特训6圆中的中点模型（点£是弦A3的中点）（点是A3的中点）模型点拨圆中弦（或弧）的中点，考虑垂径定理及圆周角定理.

（1）圆心是直径的中点，常与已知中点连接，或过点作一边的平行线或垂线构造中位线解题；

（2）圆中遇到弦的中点，联想“垂径定理”，出现“中点一垂直解决相应问题；

（3）圆中遇到弧的中点.利用“等圆心角=等弧=等弦=等弦心距”“垂径定理，督决相应问题.【例7】如图，A8为的直径，CD为弦,

（1）若的半径为4,NH4C=30，求CD的长;

（2）若点E为AD5的中点，连接石，CE求证CE平分NOCD.【解析】1根据垂径定理得到CD=2CH,求出0H,根据勾股定理求出CH即可；2求出NACO=NBC，/ACE=/BCE,相减即可.【解答】1解.CD=2CH,Z CHA=90°.V OA=0C NR4C=30，9A ZACO=ZBAC=30%ZCOH=2ZBAC=60°..ZOCH=30°..\OH=4OC=!x4=

2.22・••CH=\[3OH=2\/

3.A CD=2C=4⑺;2证明・・・A5为的直径，A ZACB=90°=ZCHB..ZA+ZB=ZB+ZBCH=9Q°..ZA=ZBCD=ZACO.:点£为AOB的中点，A ZACE=ZBCE..A ACE-ZACO=/BCE-/BCD.附加特训含30角的直角三角形模型・/OCE=/DCE,即CE平分NOCD【例8】（2021•广州中考）如图，在RtA43C中，ZC=90°,ZA=30°,线段A3的垂直平分线分别交AC,AB于点，E,连接5D若=1,则AO的长为

2.【解析】根据线段垂直平分线的性质以及直角三角形中30角所对的直角边等于斜边的一半可得AO与C的数量关系，即可求得AO的长度.。