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概率
8.2◎能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率.◎知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率.概率问题是安徽中考近几年必考内容之一，以填空题和解答题为主年单独考查了概率计算.2021（年第题）年概率与统计相结合在解答题中考查（年第题年第题20219,2017〜2020202021,201921,2018年第题年第题），一般都是两步概率，难度在中等或中等以上.解答此类问题一般要先用画树21,201721状图或列表法分析所有等可能出现的结果.命题点概率的计算［年考］1106（•安徽第题）如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成
1.20219一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点A的概率是（）D9A1134Aq B.-C.-【解析】根据题意,图中共可围成9个矩形，而含点A的矩形有4个,•••P（所选矩形含点A）
42.（2013•安徽第题）如图，若随机闭合开关中的两个,则能让两盏灯泡同时发光的概率为（）8KI,K2,R BA.；B.1C.|D.；6323【解析】用画树状图或列表法可知，共有种等可能的情况为其中让两盏灯泡同时发3K|K2,K|K3,K2K3,光的只有这种情况，即让两盏灯泡同时发光的概率为*KiR1（•安徽第题）给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打给甲的概率为
3.20128（）B1112A-6B亏C.-D.-【解析】第一个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，工第一个打电话给甲的概率是小（,安徽第题）一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字,分别是
4.
201621.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数;然后将小球放回袋中并搅拌均1,4,7,8匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数.⑴写出按上述规定得到所有可能的两位数；⑵从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于且小于的概率.47解
（1）用树状图表示所有可能结果开始个位数十位数1478147814781478,得到所有可能的两位数为U,14,17,18,41,44,47,48,71,74,77,78,81,84,87,
88.（）共有个两位数淇中算术平方根大于且小于的有个,分别为21647617,18,41,44,47,48,所求概率P=±=*16o（•安徽第题）如图,管中放置着三根同样的绳子AA^BB^CCu
5.201421⑴小明从这三根绳子中随机选一根，恰好选中绳子的概率是多少？441⑵小明先从左端A,B,C三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端三个绳头中随机选两个打一个结，41i,G求这三根绳子连接成一根长绳的概率.解
（1）共有3种等可能情况，其中恰好选中绳子44的情况为1种，，小明恰好选中绳子44的概率P=
1.⑵左端ABBC/、/、右端A\B\B\C\A\C\A]B]B\C\A]C]依题意,分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有三类种等可能情况，列表或画树状图表示如下9AiBi BiCiAiCi右端左端AB AByA\B\AB,BiCiA\B]B\C\A\C\BC BCyA\B\BC,B\C\BC^AxCxAC ACyA\B\AC,BiCi ACyAlCl开始其中左、右打结是相同字母（不考虑下标）的情况，不可能连接成为一根长绳，所以能连接成为一根长绳的情况有种6
①左端连右端连或A3,AiCi BiG;
②左端连3C,右端连AiBi或AiCi；
③左端连右端连或AC,AiBi81cl.故这三根绳子连接成为一根长绳的概率P=l=|.9J命题点统计与概率相结合的问题［年考］2104（•安徽第题）某单位食堂为全体名职工提供了A.B,C,D四种套餐，为了解职工对这四种套餐
6.202021960的喜好情况,单位随机抽取名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查.根据调查240结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下调查结果的条形统计图调查结果的扇形统计图人数「9684-84-72-60-48-36-2424-12-A BC D套餐在抽取的人中最喜欢A套餐的人数为，扇形统计图中“对应扇形的圆心角的大小为—1240108°;⑵依据本次调查的结果，估计全体名职工中最喜欢B套餐的人数；960⑶现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率.解:2由图可知被抽取的240人中最喜欢B套餐的人数为84,，最喜欢B套餐的频率为法=
0.35,•二估计全体名职工中最喜欢B套餐的人数为960960x
0.35=
336.⑶由题意,从甲、乙、丙、丁四人中任选两人,总共有种等可能的不同结果，列举如下6甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁.其中甲被选到的结果有甲乙、甲丙、甲丁，共种，3故所求概率P==*o Z•安徽第题为监控某条生产线上产品的质量,检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺
7.201921寸.在一天的抽检结束后，检测员将测得的个数据按从小到大的顺序整理成如下表格15编号Q尺寸
8.
728.
888.
928.
938.
948.
968.
978.98a
9.
039.
049.
069.
079.08b/cm按照生产标准，产品等次规定如下:尺寸产品等次/cm8・97«9・03特等品
8.95WM
9.05优等品
8.90«
9.10合格品x
8.90或x
9.10非合格品注:在统计优等品个数时,将特等品计算在内;在统计合格品个数时，将优等品含特等品计算在内.⑴已知此次抽检的合格率为80%,请判断编号为⑮的产品是否为合格品,并说明理由.⑵已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9cm.求的值；Q1五将这些优等品分成两组,一组尺寸大于另一组尺寸不大于.从这两组中各随机抽取件进行9cm,9cm1复检，求抽取到的件产品都是特等品的概率.2解:1;抽检的合格率为80%,，合格产品有15x80%=12个,即非合格品有3个.丁编号
①至编号对应的产品中,只有编号
①与编号
②对应的产品为非合格品,；•编号为⑮的产品不是合格品.2I；从编号
⑥到编号⑪对应的6个产品为优等品仲间两个产品的尺寸数据分别为
8.98和中位数为萼测〃=^=
99.
02.力优等品当中，编号
⑥、编号
⑦、编号
⑧对应的产品尺寸不大于分别记为编号
⑨、编号⑩、9cm,4Ab243,编号⑪对应的产品尺寸大于9cm,分别记为其中的特等品为.从两组产品中各随机抽取1件,有如下94431112种不同的等可能结果山笈其中件产品都是特等品的有如下种不同的等可能结果以342HA2424283431433243,2以4232A35143%,，抽到的2件产品都是特等品的概率T（•安徽第题）甲、乙、丙三位运动员在相同条件下各射靶次，每次射靶的成绩如下
8.20172110甲:9,10,8,5,7,8,10,8,8,7;乙:5,7,8,7,8,9,7,9,10,10;丙力,6,8,5,4,7,6,3,9,
5.⑴根据以上数据完成下表平均数中位数方差甲882乙
882.2丙663⑵依据表中数据分析朋位运动员的成绩最稳定，并简要说明理由；B（）比赛时三人依次出场，顺序由抽签方式决定.求甲、乙相邻出场的概率.3解:⑴提示:甲的方差金X[9-82+2x10-82+4x8-82+2x7-82+5-82]=
2.把丙运动员的射靶成绩从小到大排列:6,7,7,则中位数是等3,4,5,5,6,8,9,=
6.⑵•・•甲的方差是2,乙的方差是
2.2,丙的方差是3,F V当V需,S••・甲运动员的成绩最稳定.（）三人的出场顺序有（甲乙丙）,（甲丙乙）,（乙丙甲）,（乙甲丙）,（丙甲乙）,（丙乙甲）.3•••共有种情况，甲、乙相邻出场的有种情况，64•••甲、乙相邻出场的概率W=；.6Du.….必然部件，可以舞先知道我二定会发生的驱件1事件的分咨’不可能打件,可以更先知道其二居王金女生的姿件I随机事件，在一定条件下.见曜发生也可能王雄的事什做率的意义，衣示驿件发生的
①」一的数值就是这个察件的质军，ZA）
②;（H4I・«率的计算《计其公式中«是所有可能结果的
③一”・/«是事件出现的次数）用缸上和列衣法分析所有可能出现的结果用媒率估计概率一般地在大址亮红试验中，如果解件八发生的顿率色会稔定到某个府数队那么事件八发W•M）构成邪件八的域氏像《面积、体积或时间等几何横型计算公式为八八）一全部结果所构成的区域长度（面枳、体积或时间等）统计与概率综合考点确定性事件与随机事件1\一典例（•湖南怀化）“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.下列成语:
①“水中捞12021月”，
②“守株待兔”，
③“百步穿杨”，
④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（）A.
①B.
②C.
③D.
④【解析】
①“水中捞月”是不可能事件;
②“守株待兔”是随机事件;
③“百步穿杨”是随机事件;
④“瓮中捉鳖”是必然事件.【答案】A提分（•广西玉林）一个不透明的盒子中装有个黑球和个白球，这些球除颜色外其他均相同，从1202124中任意摸出个球，下列事件为必然事件的是（）3A至少有个白球A.1至少有个白球B.2至少有个黑球C.1至少有个黑球D.2考点频率与概率2典例（•江苏盐城）圆周率九是无限不循环小数.历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学22021家都对有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出九的小数部分超过万亿位.有学者发现，随着7T
31.47T一皂若一■曲■乙副・小数部分位数的增加这个数字出现的频率趋于稳定，接近相同.,0〜910⑴从兀的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为6⑵某校进行校园文化建设，拟从以上位科学家的画像中收随机选用幅,求其中有一幅是祖冲之的概率.（用42画树状图或列表法求解）个【答案】⑴余⑵将祖冲之、刘徽、韦达、欧拉位数学家分别记作甲、乙、丙、丁，列表如下4祖冲之甲乙丙丁甲（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）（丁，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）（丁，丙）T（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）;共有种等可能的结果，其中有一幅是祖冲之的有种结果，，其中有一幅是祖冲之的概率为白=126JL44方法指导⑴当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时,我们常用列表的方式洌出所有等可能的结果,再求出概率.⑵当一个事件涉及三个或更多元素时，为了不重不漏地列出所有等可能的结果，通常采用画树状图法求概率.提分某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:2射击次数20401002004001000“射中环以上”的次9153378158321801数R1csM90Ht/Wec*r¥“Aid4M;-5A0M2“射中环以上”的频9率
0.
750.
830.
780.
790.
800.80（结果保留小数点后两位）根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中环以上”的概率是一.（结果保留小数点后一位）
90.8【解析】根据表格数据可知频率稳定在所以估计这名运动员射击一次时“射中环以上”的概率是
0.8,
90.
8.提分（•河北）某博物馆展厅的俯视示意图如图所示.嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个320211十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同.⑴求嘉淇走到十字道口向北走的概率；A⑵补全图的树状图,并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大.2解”）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为今⑵补全树状图如下:树状图开始道口力/直直A左右下一道口/A A直左右直下一道口直左右直左右结果朝向西结果朝向西南北南东西北西东开始共有种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的结果有种，向南参观的结果有种，向北参932观的结果有种，向东参观的结果有种，，向西参观的概率为:向南参观的概率=向北参观的概率=向221=东参观的概率=I,，嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大.。
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