2023年高考数学一轮复习（全国版理） 第12章 培优课　§12.6　概率、统计与其他知识的交汇问题

概率、统计与其他知识的交汇问题培优课题型一概率、统计与数列的综合问题例1为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水机次,每次测试都是独立的.若运动员中每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B1的概率均为*每次跳水测试时，若选择动作4取得成功的概率为东取得成功记1分，否则记分.若选择动作3,取得成功的概率为口，取得成功记2分，否则记分.总得分记为X分.⑴若m=2,求分数X的分布列与均值.若结果不为整数，用分数表示⑵若测试达到〃分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为〃分的概率为G〃，如G⑴=.

①求G⑵;

②问是否存在使得｛G〃一2G5—1｝为等比数列，其中N*,〃22若有，求出九若没有，请说明理由.解1进行一次试验，获得o分的概率为弓=1,乙乙乙J J121获得1分的概率为与W，J J获得2分的概率为934进行两次试验,X的所有可能取值为0,123,4,PX=4=卜量表,PX=2=^X^X2-\-^X-=-9PX=1=TX^X2=T,乙J JPX=0=]x]=不所以分数X的分布列为

①x=—\-2yfx~\~H—x—2\[x~\—x+x,:⑴=亍十二错误！y/x_Vx—Vr+3y[xx—，当0y[x即0x时，9cof x0,Gx单调递增，当5,即X时，CDf%0,

①x单调递减，••・当x=时，

①%取得最大值，最大值为+故分配给甲地万元，分配给乙地万元时，可以使两地总的年利润达到最大，最大利润为十万元.

3.某种病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为POP1,某位患者在隔离之前，每天有位密切接触者，其中被感染的人数为XOWXWa,假设每位密切接触者不再接触其他患者.⑴求一天内被感染人数为X的概率PX与a,p的关系式和X的均值；⑵该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有位密切接触者，从某一名患者被感染,按第1天算起，第〃天新增患者的均值记为瓦〃

2.

①求数列｛5｝的通项公式，并证明数列｛£〃｝为等比数列；2

②若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率“=lnl+p—评，当户取最大值时，计算此时P,所对应的及,值和此时P对应的反值，并根据计算结果说明戴口一12罩的必要性.取=10结果保留整数，参考数据In5仁，In3P,In2p,于巴彳仁解1由题意知，被感染人数服从二项分布X〜Ba,〃，钏则PX=C XI—PLXOWXWQ,EX=ap.2

①第〃天被感染人数为1+印〃一1,第n—1天被感染人数为1+印〃一2,由题目中均值的定义可知，瓦=l+ap〃「一1+即〃-2=apl+a〃〃2心2,E则77^-=1+4〃，且氏=Cip.nT匕・•・{£1〃}是以印为首项，1+印为公比的等比数列.212—2p+l则/3=p+l33/7+1,在o,3上单调递增,.\AP,1上单调递减.

②令加=lnl+p—1p,311加ln2-3=ln3-ln2-3max=/|^J=当〃=■时,瓦=10pl+10p〃—2,贝|瓦’=10义1+10X4=16,E=10X Xl+10X4=

6480.6，V£6£6,••・戴口罩很有必要.

4.

2022.济南模拟某企业对生产设备进行优化升级，升级后的设备控制系统由2Z—1/£N*个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率均为p0pl,各元件之间相互独立.当控制系统有不少于2个元件正常工作时，设备正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为必例如〃2表示控制系统由3个元件组成时设备正常运行的概率；〃3表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概率.2⑴若每个元件正常工作的概率p=--J

①当k=2时入求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和均值；

②计算P

3.2已知设备升级前，单位时间的产量为件，每件产品的利润为1元，设备升级后，在正常运行状态下，单位时间的产量是原来的4倍，且出现了高端产品，每件产品成为高端产品的概率为j每件高端产品的利润是2元.请用以表示出设备升级后单位时间内的利润y单位:元，在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，分析该设备能否通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.解1

①因为2=2,所以控制系统中正常工作的元件个数X的所有可能取值为0,123,因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为p=|,所以X〜83,|,所以尸X=O=C9T*=47，%=3=需用笔所以控制系统中正常工作的元件个数X的分布列为X0231P控制系统中正常工作的元件个数X的均值为EX=3x1=

2.

②由题意知,2升级改造后单位时间内产量的分布列为一■产量40设备运行概率i—pkPk所以升级改造后单位时间内产量的均值为4印匕所以产品类型高端产品一般产品产量单位件apk3apk利润单位元21设备升级后单位时间内的利润为y=2apk+3apk=5apk,即y=5ap.k因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，则第一类原系统中至少有Z+1个元件正常工作，其概率为pE；P1=PLC§IP1—第二类原系统中恰好有攵个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，其概率为p2=C§1pA1—pLL[1—1—p2]=Ch—*11—pL12—P；第三类原系统中有％—1个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，其概率为P3=C*」ipLll-p・p2=C§」p+il—p；所以Pk+l=Pk—C*k-ipkl—pL11—pLl・2—p+C§」pk+l1—pk=Pk+Ch-ipkl—pk2p—1,Pk^1~Pk=C^-\p\1—pk2p—1,所以当时，Pk+i—pko,Pk单调递增，即增加元件个数设备正常工作的概率变大,当时，〃攵＜，Pk+1—即增加元件个数设备正常工作的概率没有变大，xXz3X--22294-24380+3802494236481又因为y=5apk,所以当时，设备可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润;当时，设备不可以通过增加控制系统中元件的个数来提高利润.pEX=0x+1X^+2X-j^+3X^+4XT743lo VJo_4=y⑵

①G⑵=4+^X5=夜，

②据题意有，G〃=^G〃-2+^Gn—1,其中〃23,、.

1.1设G〃一AG〃-1—yG｛n—2+^G/i—1—2Gn—1=1G H—2+j—AJGn—1=1[GT〃-1TG〃-2].比较系数得_=，，解得2=喈，所以｛G〃一2G〃-1｝是公比为g—2的等比数列，其中〃WN*,〃22,%=”富2思维升华高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时,准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键.跟踪训练

12022.大连模拟一款游戏规则如下掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步.⑴若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，

①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；

②记甲、乙二人向前跳的步数和为X,求随机变量X的分布列和均值.⑵若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为〃〃金N*的概率记为p〃，求p〃的最大值.解1

①设甲向前跳的步数为匕乙向前跳的步数为Z,则Py=2=PZ=2=；,Py=3=PZ=3=1,Py=4=PZ=4=|,所以pyz=1x1+|xj+£|=^所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率为

2.

②由

①知X的所有可能取值为4,5,678,所以尸X=4=五，尸X=5=不3PX=6=g,尸X=74PX=8==随机变量X的分布列为~X_~~4_~5~~~67~~~8-pEX=4X^+5X^+6X-1+7X^+8X^=

6.132由题思得p\=29不22=当时，_1,1pn—十一，=7〃〃—2P L3=，=一%2s2-0所以p〃=*—3〉+,〃23,因为PI=5,P2=a，所以Pn=K^—£rt+1n N*,当〃为奇数时,茎-9〃＜，P巧；当九为偶数时，=《-白且数列｛〃〃｝为递减数列，所以〃〃的最大值为印题型二概率、统计与函数的〃231+,=综合问题例

22021.新高考全国II一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，PX=i=pM=0,l,2,

3.1已知Po=,Pl=,P2=，P3=，求EX；⑵设P表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，P是关于X的方程po+px+p2f+〃1=工的一个最小正实根，求证当£XW1时，p=l,当EX1时，P1；3根据你的理解说明⑵问结论的实际含义.1解EX=OX+1X+2X+3X=

1.2证明设fx=p3^3+P2X2+pi—lx+p9因为1,P3+〃2+pi+pO=故|犬必+P2X2-=，3+〃0+〃3X+P,若EXW1,则pi+2P2+3P3W1,故2〃p2+3Wpo.fX=3p3f+2〃2X—P2+po+〃3,因为/0=—P2+po+〃3VO,/l=p2+2〃3—poWO,故/x有两个不同零点为，X2,且X1O1WX2,且x£—8,X1U%2,+8时，f x0；x£xi,X2时，/x0,故式X在一8,X|,X2,+8上单调递增，在X1,尤2上单调递减，若X2=l,因为«r在为，X2上单调递减且火1=0,而当工£0,X2时，因为於在为,X2上单调递减，故式X次⑵=/1=0,故1为po+pix+pl+ps^ux的一个最小正实根，若X21,因为八1=0且在0,X2上单调递减，故1为po+pix+pl+psx3=1%的一个最小正实根，综上，若£XW1,则p=L若风X1,则pi+2P2+3〃31,故2〃P2+3PO.此时/0=—S2+po+p3VO,2〃3—P0,/l=P2+故/x有两个不同零点％3,X4,且%30X41,且+8时,f X0；X£—8,X3UX4,X£13,%4时，f xo,故/x在一8,X3,4,+8上单调递增，在X3,尤4上单调递减，而犬1=0,故/40,又10=〃00,故“X在0,X4上存在一个零点P，且P

1.所以P为po+pix+P2A2+p3X3=X的一个最小正实根，此时pl,j故当EX1时，pl.3解意义每一个该种微生物若繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后灭绝的概率小于

1.思维升华在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大最小或均值最大最小的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现.跟踪训练

22022.唐山模拟某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制.双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局.各选手抽签后两两交战结果是“非胜即败”，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛.对阵秩序表如图所示赛前通过抽签确定选手编号为1〜16,在胜者组进行第一轮比赛.每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的

①，

②，…，

⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的4…，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者.1本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？直接写结果2选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值反㈤；⑶假设选手乙每轮比赛的胜率都为3那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？参考知识正整数〃1时，e为自然对数的底数，-

28.解130,

7.2X的所有可能取值为2,345,6,

7.PX=2=Q2=1,尸X=3=CJ4px=4=aj，PX=5=唱5+加高PX=6=PX=7=CL6=表，X的分布列如下:X234567p1133|115贝i」£X=2Xa+3a+4义正+5义正+6义而+7X花=彳・⑶乙经败者组进入决赛的概率为女尸c1i—0/1,/⑺=445—68当0/|时，//0,加在0,D上单调递增，当焉.1时，f oo,财在焉，1上单调递减，得刖的最大值为虑=4义卜管=966=946,由参考知识得1—:卜二故匿层*,所以，乙没有三成把握经败者组进入决赛.课时精练

1.

2022.唐山模拟设某病毒在进入人体后有潜伏期，患者在潜伏期内无任何症状，但已具传染性.假设一位病毒携带者在潜伏期内每天有几位密接者，每位密接者被感染的概率为p,1若〃=3,p=|,求一天内被一位病毒携带者直接感染人数X的分布列和均值；2某定点医院为筛查某些人员是否感染此病毒，需要检测血液样本是否为阳性，有以下两种检验方式

①逐份检验，即k份血液样本需要检验k次；

②混合检验，即将攵份/6N*且左》2血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性,则这％份血液样本全为阴性，因而这人份血液样本只要检验一次就够了.如果检验结果为阳性，为了明确这攵份血液样本究竟哪份为阳性，就要对k份血液样本再逐份检验，此时这女份血液样本的检验次数为bH次.假设样本的检验结果相互独立，且每份样本检验结果是阳性的概率为为使混合检验需要的检验的总次数乙的均值比逐份检验的总次数〃的均值更少，求k的取值范围.参考数据In2^1,In3^6,In4^3,In5^4,In6^

8.解1若〃=3,p=],依题意可知X服从二项分布，即X〜43,从而px=i=a£|37i=o/,23随机变量X的分布列为X0231p随机变量X的均值为£X=3x1=l.⑵由题意知4的所有可能取值为1,攵+1,且pq=l=l—pk,P『+l=l—l—pH.*.£0=1—〃#+%+i[i-i—p再=左+1-ki—p¥，又•••E〃=Z,依题意知E©E〃,即%+1—^1—pkk9pA/.In k*.即只需In k—gk0,设/x=lnx-则/x=5—当0xv3时，，x0,当x3时，f x0,工危在0,3上单调递增,在3,+8上单调递减,由于yu=—go,/2=ln2—40,4/4=ln4一彳00,/5=ln5—30,故上的取值范围为2WkW4且%£N*.

2.2022•泉州模拟某公司为了解年宣传费x单位十万元对年利润六单位十万元的影响,统计甲、乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和利润相关数据，公司采用相关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“+”，反之用“一”号记录.年份2011201220132014201520162017201820192020甲1甲2甲3乙1乙2⑴根据以上信息，填写下面2X2列联表，能否有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关？产生利润效益未产生利润效益总计甲地乙地总计⑵现将甲、乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择；=联+芯和;=；+\nx两个模型拟合甲、乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理和计算，得到以下表格信息残差平方和10非线性回归方程1A总偏差平方和Z Z8—52i=ly—y2/=1甲地Ay=—\~2yjx乙地A尸+X根据上述信息，某同学得出“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并给出适当的解释；⑶该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲、乙两地的宣传费用，可以使两地总的年利润达到最大.E（yi-yt）2参考公式相关指数夫2=1一二------------n________E（yi~y）2z=i附（心诙）____________nad_bey_______2K〃+bc+da+cb+d〃=a+b+c+d.解1根据题意填写列联表如下表所示:产生利润效益总计未产生利润效益甲地24630乙地101020总计341650根据列联表中的数据，经计算得到（250X24410—6X10）2_K=-30X20X34X16—•••有95%以上的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关.⑵对于甲地，其模型相关指数io A£（，一城i=\/T—1---------------=1—10_X⑴-y）2i=\对于乙地，其相关指数10A£8-珀2/=1/=1----------------=1—10_Z8-y2•,・用＜欣・•・乙地模型的拟合程度更高，故“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和,所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断是不正确的.

（3）设投入甲地的年宣传费为武单位十万元），则投入乙地的费用为一X）（单位十万元），设两地总的年利润为G（x）（单位十万元），则。