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曲线与方程【考试要求】了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系了解解析几何的基本思想和利用坐标L2法研究几何问题的基本方法能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.3佚口识梳理】“曲线的方程”与“方程的曲线”
1.在平面直角坐标系中，如果某曲线看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系“X,y=0⑴曲线上点的坐标都是这个方程的解;以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.2那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.坐标法
2.⑴用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹.⑵用曲线上点的坐标所满足的方程表示曲线.x,y Nx,y=0⑶通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质.求动点轨迹方程的步骤
3.建系一建立适当的坐标系.12设点-----设轨迹上的任一点Px,y.列式—列出动点尸所满足的关系式.3代换——依关系式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于的方程，并化简.4x,y证明—证明所得方程即为符合条件的动点轨迹方程.5求动点轨迹方程的常用方法
4.⑴直接法即根据题目条件，写出关于动点的几何关系并用坐标表示，再进行整理、化简.⑵定义法先根据已知条件判断动点的轨迹形状，然后根据曲线的定义直接求动点的轨迹方程.⑶代入法也叫相关点法，其特点是动点与已知曲线上的点『，相关联，可先用表y C y x,y示一，了,再代入曲线的方程，即得点的轨迹方程.C M⑷参数法选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标消去参数，即得其普通方程.x,y,【常用结论】“曲线是方程的曲线”是“曲线上的点的坐标都是方程的解”的充分不
1.C“r,y=0“X,=0必要条件.曲线的交点与方程组的关系
2.⑴两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解.的重心G的轨迹方程为余+方A=lyWO等+产产B10岑c+3y2=lyW0»4c22J，D.x+Ty=ly7^0答案c解析依题意知尸设则由三角形重心坐标公式可得1-1,0,F l,0,Pxo,yoyoWO,Gx,y,2Xo—1+1尸3=3x9即_lo[y—3，），o=3y,代入椭圆怖+全=，c12ar得重心G的轨迹方程为T+3y2=lyW
0.在平面直角坐标系中，已知两点』，若点满足次=力晶+彩油为原点，其中
5.A35—1,3,C O九，且加十彩=则点的轨迹是22£R,1,直线椭圆圆双曲线A.B.C.D.答案A解析设则女Cx,y,=x,y,为04=3,1,=—1,3,V9C=AI9A+A29B,x=93Ai-.y=2i+322,又为十922=1•••化简得x+2y—5=0,即点的轨迹是一条直线.C72在平面直角坐标系中，，分别为椭圆力+方＞＞的左、右焦点，尸为椭圆
6.xOy FiF2=140Lx上的点，尸为的外角平分线，F2TLPQ于点T，则点了的轨迹为NPPB双曲线抛物线A.B.椭圆圆C.D.答案D解析延长交的延长线于点如图所示.F2r QP M,由于尸平分NBPM,则/6PT=/MPT,\P7]=\P7]/PTF=/PTM,9所以APTF2g APTM,贝力\TF\=\TM\PBI=|PM,29则点为的中点，7又因为为“上的中点，2所以尸
[07]=%M=T iPI+FM；尸，=|QP|+2P1=所以点的轨迹是圆.T254动点与定点的距离和到定直线/工=彳的距离的比是常数亍则动点的轨迹
7.Mx,y F4,0M M方程是.22Y V套案—+^-=1口本十1259254解析因为动点与定点的距离和到定直线/尸胃的距离的比是常数处Mx,y b4,0M斫]、Nx—42+y24所以^一宣一=予L4即—芸25[x—42+y2]=16G2,整理可得丁=9*+25225,已知两点点为坐标平面内的动点，满足|疝而|+而・则动点
8.M—2,0,N2,0,V||V@=0,Px,y的轨迹方程为.答案y2=—8x解析设点的坐标为匚y则而而y寸P=x—2,就V=4,0,=x+2,y,V|=4,99|疝|=、0+22+广疝.N》=4x—
2.根据已知条件得小口不了巧=42一幻.整理得产=一8九・・••点P的轨迹方程为y2=—Sx.已知平面内以是两个定点，
9.|BC|=
8.
①△的周长为；A3C18
②直线的斜率分别为心kAC，且心一记请从上面条件中任选一个作答，以的4,AC3,3c=BC中点为坐标原点，以所在直线为轴，求出△顶点的轨迹方程.x ABC A注如果选择多个条件作答，按第一个条件计分.解选择条件
①根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值，且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，以及〃则有2|BC|=8,2c=8,c=42=18—8=10,Q=5,/=25,c=16,那么廿=〃且B,三点构成三角形，22—2=9,A,7那么点的轨迹方程为会+卷=（）yA1k
0.ZD选择条件
②设点（）A x,y,又（）（）3—4,0,C4,0,则有kAB=上.，kAC=~/，十x~4x4口，，9且攵，A8，%AC——]6那么式了，一，7=9十x4x—416化简可得点=一上222-16/=9x-9X16,9x+16y=9X16,且B,三点构成三角形，那么点的轨迹方程为花（产）A,CA+5=
10.已知抛物线（）的焦点为（州）（州）是抛物线上一点且△的面
10.Cy2=2px p0R Ml,0MOb积为《（其中为坐标原点），不过点的直线/与抛物线交于两点，且以尸为直径M CP,Q O的圆经过点加，过点加作削工尸交于点PQ N.（）求抛物线的方程；1（）求证直线恒过定点，并求出点的轨迹方程.2PQ N解（）由题意得加=，而，1故必义解得540/=2*5故抛物线的方程为丁尢2=⑵易得欣）1,1,由题意可设直线PQ的方程为犬=畋+，（即，），山），x=my-\-a,V2,由消去得产一一=J X,‘20,，3=%ik.d=m2+4a0,〃因为，yi+y2=z,m NPMQ=90所以加.府=0,即（汨一）（）（丁））整理得即（羽+丁十丁1%2—1+1-12—1=0,12—12）+12—2）+2即比自一（了|+〉|》|+》=0,2）2+32—2）+2=0,所以226Z—/n—3^—m+2=0,即a——m-\-1直线PQ的方程为x—my-\~a—my—\-\-此时直线/过点』，不符合题意，舍去；1,131当々-，即〃=时，5=m+5m+2直线PQ的方程为x—my-\-a—my-\-\-\-29此时直线恒过定点PQ”2,-
1.设，，M%y则由加_L砺,即加N・矫1=0,得-+l12+ly—1=0,即点的轨迹方程为2N x+/-3x+l=0x^
1..如图，斜线段AB与平面a所成的角为B为斜足，平面a上的动点P满足N出,则1160°,3=30点的轨迹是P直线抛物线A.B.椭圆双曲线的一支C.D.答案c解析可构造如图所示的圆锥.母线与所在直线中轴线的夹角为，然后用平面去截A330圆锥，使直线与平面的夹角为，则平面与圆锥侧面的交线为尸的轨迹图形，由圆A3Q60a锥曲线的定义可知，的轨迹为椭圆.P若曲线上存在点使到平面内两点距离之差的绝对值为则称曲线为“好
12.C M4-5,0,85,08,C曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是A.x+y=5B./+,2=9D.f=16y答案B解析因为“到平面内两点距离之差的绝对值为4—5,0,35,08,所以的轨迹是以为焦点的双曲线，M4—5,0,85,0x2V2方程为正一Q=l.项,直线过点满足题意，为“好曲线”；A x+y=55,0,项,B的圆心为半径为与的轨迹没有交点，不满足题意;f+y2=90,0,3,M项,的右顶点为满足题意，为“好曲线”；C=15,0,222项,D方程代入亡一］可得，即所以/满足题意，为“好=1,5=1V—9y+9=0,0,曲线”.已知过点的直线与相交于点过点的直线与相交于点,若直线
13.A—3,0x=3C,53,0x=-3与圆广十丁=相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为.CQ9（户）=10解析设点m力，加九设则直线的方程为加一〃加y,C3,£—3,0,CD x—6y+39因为直线CD与圆22相切，所以所以又直线+72=0,x+y=9=3,mn=9,AC与BD的交点、为M,j—/%〃6-*x+3所以5一，6一〃y所以一等所以点的轨迹=9,M方程为总+（尸）=
10.“一3x+3CA
114.已知△ABC中，AB=3,衣=5，则△A3C面积的最大值为_______________.Co Z答案3解析以为原点，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系图略,则设A x A0,0,53,0,Cx,y.OV9-4,G4_l由行一》得川』」.32+y22即x+l2+y2=
4.所以点的轨迹是圆心为半径为的圆不含与共线的两点.M-1,O,2A313所以\yc\—S^ABC2l^cl
3.即△面积的最大值为ABC
3..数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线/+川，就是其中之一如图.给出152=1+|下列三个结论
①曲线恰好经过个整点即横、纵坐标均为整数的点；C6
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过出；C
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于
3.其中，所有正确结论的序号是
①②①②①②③A.B.C.D.答案C解析曲线的方程可看成关于的一元二次方程22由题图可知该方程f+y2=i+|Ry yy—Ixly+x—1=0,必有两个不相等的实根，22AJ=W-4X-10,4・・・f满足条件的整数x可取一1,0,
1.当时，y=0或x=-11,・••曲线C经过的整点有一1,0,-1,1；当x=Q时，或y=—11,・••曲线C经过的整点有0,-1,0,1；当时，y=0或x=l1,・•・曲线经过的整点有1,0,1,
1.故曲线恰好经过个整点，
①正确；C6f+y225-,Vjr+y=]+|x|W1+-
2.•.x+y2W2,；・71+丫2W也,当且仅当|x|=y,x==1,[x-1,即或时取等号，2=11=1则曲线上的点到原点的最大距离为啦，故
②正确；顺次连接一1,0,-1,1,0,1,1,1,1,0,0,-1,-1,0,所围成的区域如图中阴影部分所示，其面积为3,显然曲线所围成的“心形”区域的面积要大于故
③不正确.3,.如图，抛物线及〃与圆相交于两点，且点的横坐标为.过劣16y2=2xp0f+Vug A,8A2弧上动点，作圆的切线交抛物线石于两点，分别以为切点作抛物线的A3Px0yo CC,E切线，勿与相交于点/i6/2M.⑴求〃的值；⑵求动点的轨迹方程.M解由点的横坐标为及点在第一象限，可得点的坐标为代入〃解1A2A A2,2,y2=2x,得p=l.由得，抛物线21E y2=2x.设心切线的斜率为七则切线一，代2,yWO,mWO,/i/i y—6=69入y2=2x9得ky2—2y+2yi—kyj=0,由解得仁所以/】的方程为尸yi yi/=o A+s同理的方程为尸点+学/2易知CD的方程为项优+」5=8,yi,2—2解得其中满足器x,yo+4=8,xe[2,2^2],V1+V2联立得,y=2x,o十Ixox yoy=8,即Xoy2+2yoy—16=0,yryix，~2则16【尸Jl+j2一二y，2=T-人K Ur8r8X=——xo=一—X可得满足＜Mx,y X代入京并化简，得不一+M=8,y2=1,考虑到小£[例,知工-2y
[2]2,2£[—4,9所以动点的轨迹方程为、M y2=1,4,—2E].⑵方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“或“义”J”方程表示的曲线是一个点和一条直线.1X是“点在曲线上”的充要条件.2yo=o”PM,yo/U,y=X履与表示同一条直线.3»=x=%X动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.4X【教材改编题】已知点心，直线/点是/上的动点，若过点垂直于轴的直线与线
1.0,x=—8B y段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是双曲线椭圆A.B.圆抛物线C.D.答案D解析由题意得根据抛物线的定义知，|MF|=|M3|,点”的轨迹是以点/为焦点，直线/为准线的抛物线.已知动点到点与到点的距离之比为则动点的轨迹所围成的区域的
2.Mx,y0,A6,02,M面积是.答案兀16解析依题意可知留=2,DE即\+尸2’化简整理得X—82+V=16,即动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆.M8,04所以其面积为兀尺兀.5=2=16若过点且互相垂直的两条直线，分别与轴、轴交于两点，则中点M的轨
3.Pl,l/i/2x yA,B A3迹方程为.答案x+y—1=0解析设的坐标为则两点的坐标分别是连接图略，・・M x,y,A,32x,0,0,2y,PM VZi±/,.2为坐标原点，|PMTOM而\PM\=yx—]2+-12,QM=d*+y2,2^/x—1=^+/,化简，得即为所求的轨迹方程.x+y—1=0,题型一直接法求轨迹方程例已知动点尸犬，与两定点连线的斜率之积等于常数1y M—1,O,M1Q2QW
0.求动点尸的轨迹的方程；1⑵试根据的取值情况讨论轨迹的形状.z C解由题意可知，直线与的斜率均存在且均不为零，所以kpM，kpN=士]=1PM PN1%整理得三=A1«0,xW±l.2即动点的轨迹的方程为—-三vP=1QWO,xW±l.A当时，轨迹为中心在原点，焦点在轴上的双曲线除去顶点；220x当一时，轨迹为中心在原点，焦点在轴上的椭圆除去长轴的两个端点;1%0x当时，轨迹为以原点为圆心，为半径的圆除去点一2=-111,0,1,
0.当一时，轨迹为中心在原点，焦点在轴上的椭圆除去短轴的两个端点.21C y【教师备选】已知△的三个顶点分别为定点ABC A—1,0,32,3,C1,2^2,求△外接圆的标准方程；1ABC1由题意得4C的中点坐标为0,也，AB的中点坐标为/CAB=1,若过定点尸的直线与△的外接圆交于£,尸两点，求弦£尸中点的轨迹方程.2A3C故中垂线的斜率为一半，中垂线的斜率为一AC AB1,3的中垂线的方程为一A55=则的中垂线的方程为也=一冬,AC y—=x2,得八.b=所以△的外接圆圆心坐标为半径〃A8C2,0,=2+1=3,故△外接圆的标准方程为ABC x—22+y2=
9.设弦£的中点为外接圆的圆心为贝2b Mx,y,ZSABC N,1N2,0,由MNLMP,得西林丽=0,所以y-x—x—2,1,y—1=0,X-|2+1所以弦石尸中点的轨迹方程为2-整理得x2+y2—3x—y+2=0,思维升华直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.跟踪训练⑴已知两定点如果动点尸满足照尸用,则动点尸的轨迹是1A—2,0,51,0,|=2|直线圆A.B.椭圆双曲线C.D.答案B解析设Px,y,则、%+222+y2=2A/X—1+/,化简得即f+y2—4x=0,x—22+y2=4,其表示以为圆心，为半径的圆.2,02在平面内，是两个定点，是动点，若启•正则的轨迹为2A,8=1,圆椭圆A.B.抛物线直线C.D.答案解析以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系图略，设A A3xA3y一〃400,5,0,Cx,y,则，BC=x—aAC=x+”y,y,9VACBC=1,222/.x+ax—”+yy=1,/.x+y=6Z+l,•••点的轨迹为圆.题型二定义法求轨迹方程C例已知△的顶点的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方21ABC-5,0,B5,0,/XABC x=3C程是A.%2y^_C.§_]6=132y2xD.y^-g=lx4答案c解析如图,\AD\=\AE\=S\BF]=\BE\=2\CD\=\CF\999所以一|C4||C3|=8—2=610=|A8|.根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点、,实轴长为的双曲线的右支A,6yWO,92方程为一lx
3.已知圆+产=，圆2动圆尸与圆外切并且与圆内切，则圆心P的2M12+1N X-1+/=9,M N轨迹方程为.2答案方+胃=1QW—2解析因为圆与圆外切且与圆内切，PMN所以为圆的半径，|PM+|PN|=R+l+3—R=1+3=4R P由椭圆的定义可知，圆心尸的轨迹是以为左、右焦点，长半轴长为短半轴长为切的椭圆左N2,顶点除外，其方程为福+亦=lxW—
2.【教师备选】在△中，△的内切圆切于点，且则顶点的轨迹方程A5C|BC|=4,ABC5C|BZ|—|CQ|=24L A为.、Y272答案另一三=心1M解析以的中点为原点，的垂直平分线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，E,F分别为3C y两个切点.则必，[5£|=|8|CD|=|Cfl\AE\=\AF].所以一恒|=啦|43|24,所以点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支且a=巾,所以b=巾,22A8,yWO,c=2,所以顶点的轨迹方程为今一三=⑵A JA
14.思维升华定义法的适用范围1若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.注意个易误点22
①因为对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.
②不会迁移应用已知条件，因而找不到解题思路，无法解题.跟踪训练设点为圆上的动点，布是圆的切线，且则点的轨迹方程为21A x—12+V=1P22A./=2x B.x—l+y=4y2=~2x22C.D.x-l+y=2答案D解析如图，设尸圆心为x,y,连接PM.M4,则雨，且AM,|MA|=1,又因为|%|=1,所以=、|别1PM M4F+|2=4,即所以1PM2=2,X—l2+y2=
2.22022・杭州七校质检已知Fi，B是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，从焦点为引的角平分线的垂线，垂足为则点的轨迹为NEQF2P,P直线圆A.B.椭圆双曲线C.D.答案B解析不妨设点在双曲线的右支上，延长西尸交直线尸于点图略，Q2s是的角平分线，且TQP NQQF2QPJ_BS,・・是尸的中点.•P iS「是的中点，・是△的中位线，••PO QS6；•••|PO|=3BS|=IQS|—IQI=如川一以=〃,2•・点尸的轨迹为圆.•题型三相关点法代入法求轨迹方程___x2一一一例如图，已知是椭圆上一点，轴于例.若3P1+y2=l PN=/IMW.⑴求点的轨迹方程；N⑵当点的轨迹为圆时，求人的值.N解设点点的坐标分别为尸为,Nx,1P,N yi,y,则的坐标为且M xi,0,所以即，川，PN=x—y—yi=0,y—NM=x\—x,—y,由的而得〃-y=0,=A0,y—yD=0,—y.所以=一初，y—y即yi=l+2y.因为尸在椭圆上，xi,yi1+y2=l则［+货=1,7所以］+l+22y2=l,故为所求的点的轨迹方程.Y+l+22y2=l N要使点的轨迹为圆，则2N1+22=/解得或2=2=_
1.故当或时，点N的轨迹是圆.2=—32=—,【教师备选】%2设为坐标原点，动点在椭圆过作轴的垂线，垂足为点满O MCy+/=l±,M XN,P足标=也所认求点尸的轨迹方程;1⑵设点Q在直线上，且/•的=.证明过点P且垂直于的直线I过C的左焦点F.x=—31OQ⑴解设y沏,州，Px,M9则，标Nxo,O=x—Xo,y,W=o,yo.——5由NP=yf^NM得xo=xyo=j.9因为在上,Mx,yo22Y V所以另+今因此点P的轨迹方程为x2+y2—
2.=L证明由题意知2F-l,
0.设Pm,〃，则=—PF=一m,一几，OQPF=3m—tn.2—3,0,3,Z,1—3+OP=m,〃，PQ=—3—m,Ln.由・得一〃〃/+加一〃OP PQ=13z—2=i,又由知221m+n=2,故加3+3m—=
0.所以诙辰即而上存.=0,又过点存在唯一直线垂直于所以过点且垂直于的直线/过的左焦点F.P0,P C思维升华跟踪训练312022・银川模拟动点A在圆f+y2=i上移动时，它与定点83,0连线的中点的轨迹方程是.答案22x-1+j=|解析设中点由中点坐标公式，Mx,y,可得A2x—3,2y,因为点在圆上，将点的坐标代入圆的方程，A A得轨迹方程为产.L|2+设厂点在轴上，点在轴上，且疝加，PMLPF,当点在〉轴上运动时，点21,0,M xP y=22N的轨迹方程为.答案尸=4%解析设Nx,MgO,P0,yo,y,因为丽，而，丽=xo,-jo,—yo,PF=1,所以・=xo,—yo l,—jo O,所以xo+y3=O.由加加得沏，y=2x—xo,=2—09x=—xo—2xo,所以y—2yo9xo=x,即｛、一i所以一尢，即反故所求点N的轨迹方程是2+=0,2=4y=4x课时精练在平面直角坐标系中，动点关于轴对称的点为且林•诙则点的轨迹方程为
1.P xQ,=2,P22A.f+y2=2B.%—y=2x+y2=2x~y2=2C.D.答案B解析设则Px,y,Qx,—y,因为»・丽=2,所以f—y2=
2.•云南质检已知则以为斜边的直角三角形的直角顶点的轨迹方程
2.2022M—2,0,N2,0,MN P为22A.x+y=222B.x+y=422£C.X+^=2X^±A/222D.X+^=4X7^±2答案D解析的中点为原点，MN易知；|OP|=|MN]=2,・•・点尸的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即点P的轨迹方程为22・x+y=4xW±2已知点△的面积为则动点的轨迹方程是
3.4—1,0,32,4,A3C10,一丁—或一丁+A.4%316=04%316=0厂或B.4x—316=04x—3y+24=0或C.4x—3y+16=04x—3y+24=0或一厂D.4x—3y+16=04%324=0答案B解析可知的方程为又A34x—3y+4=0,设动点y.|A3|=5,Cx,目工土r乙11|4x—3j+4|由题意可知彳J-----------X5X=10,T所以或4x—3y—16=04x—3y+24=
0.4已知尸，尸分别为椭圆c的左、右焦点，点是椭圆上的动点，则△i2=1P CPF1F
2.。
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