一元二次方程总复习知识点梳理

一元二次方程总复习考点一元二次方程的概念1:一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是且系数不为这样的方程叫一元二次方2,0,程.一般形式ax2+bx+c=0a^0注意判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式o考点一元二次方程的解法

2.直接开平方法对形如的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法1x+a2=b bRX+a=±4b二=-a+y[b-a-^~b.配方法用配方法解一元二次方程的一般步骤是

①化为一般形式；

②移项,将2ax2+bx+c=0kW0常数项移到方程的右边；

③化二次项系数为即方程两边同除以二次项系数；

④配方，即方程两边1,都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式；

⑤如果就可以用两边开平方来x+a2=b b20求出方程的解；如果则原方程无解.b0,.公式法公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二次方3一*一程的求根公式是户研一步骤

①把方程转化为一般形式；

②404ac40确定a,b,c的值；

③求出b2—4ac的值,当b2—4ac^0时代入求根公式.因式分解法用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据若则4ab=O,a=0或b=0步骤是

①将方程右边化为0；

②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式等于得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.0,因式分解的方法提公因式、公式法、十字相乘法一元二次方程的注意事项

5.⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程.aWO.a=0⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意

①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值；

②若b2-4ac0,则方程无解.A.^2-10x+l=

0.^2+10A;+1=0BC.x2-10x-l=0D.x2+iOx—1=0【备考】已知为，工是方程的两根，62x2—X—3=0那么值是（）、普A.1B.5C.7D（）—x~—/zz—3x+m~=0【备考】关于的方程有两个不相等的实根，那么的最大整数是（）7x4mA.2B.-1C.0D.1（-）填空题（每题分，共分）416【备考8】已知一元二次方程X+3x+l=0的两个根为x「X2那么（1+X]）（l+x）的值等于.2【备考已知一个一元二次方程的一个实数根的倒数恰是它本身，则的值是.9]X+px+l=P【备考如图，在中，于且是一元二次方程10]DABCD AEJ_BC E,AE=EB=EC=a,a x+2x—3=0的根，则的周长是DABCDE【备考11】关于x的方程优+11+3（%―2»+%2-42=°的一次项系数是—3,贝壮=【备考12】关于x的方程5+1）/-+一5=°是一元二次方程，则2=.

三、实际应用题（分）9本题为增长率问题，一般形式为（）为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量a1+x2=b,a b【备考年月日《广州日报》报道年底广州自然保护区覆盖率（即自然保护区面积13]20032272002占全市面积的百分比）为尚未达到国家级标准，因此，市政府决定加快绿化建设,力争到

4.65%,A年底自然保护区覆盖率达到以上，若要达到最低目标则广州市自然保护区面积的年平20058%8%,均增长率应是多少？（结果保留三位有效数字）.据媒体报道，我国年公民出境旅游总人数约万人次，年公民出境旅游总人数约

14.200950002011万人次，若年、年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题:720020102011

（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；

（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价153050措施.经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件.设每件商品降价元.据此规12x律，请回答

（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？

16、当m是何值时，关于x的方程（/+2）/+（切T）%―4=3*（）是一元二次方程；1（）是一元一次方程；2（）若是它的一个根，求的值3x=-2m⑶利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如一（）（）2X+42=3x+4中，不能随便约去x+4（）注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程4的一般顺序是开平方法一因式分解法一公式法.一元二次方程解的情况

6.⑴b2-4ac20O方程有两个不相等的实数根；⑵b2—4ac=0=方程有两个相等的实数根；⑶b2—4acW0O方程没有实数根解题小诀窍当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用解题主要用于求方程中未知系数的值或取值范围b2-4ac考点根与系数的关系:韦达定理3b c对于方程（）来说，一a,aax2+bx+c=0a70xl+x2=xl x2=利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如片+月=（-+工2）2-22々11_X]+X]x x x2x2o解题小诀窍当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理

二、经典考题剖析【考题下列方程是关于的一元二次方程的是（）1—11XA.ax2+bx+c=O B.k2x+5k+6=0J_x=0D.（k2+3）x2+2x+l=0【考题一】解方程12x2+2x—3=0【考题1—3]（

2009、青岛，6分）已知方程5x2+kx—10=0一个根是一5,求它的另一个根及k的值.

三、针对性训练、下列方程中，关于的一元二次方程是（）1x

2、若2d+3与21一4互为相反数，则x的值为（）、、、A.I B2C±2D±

5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是3化为A.x2-2x-99=0x-12=100化为B.x2+8x+9=0x+42=

257.8121022Q__V___y-----=—化为化为C.2t2-7t-4=0416D.3y2-4y-2=

039、关于的一元二次方程⑺+4x11+%+.—2”二°的一个根为则的值为-3x=0,m或或A.m=3m=-1B.m=-3m=1C.m=_1D.m=-

3、济南若是方程的两个根，则的值是52009xl,x2x2—5x+6=0xl+x211----1---、眉山若是方程的两个根，贝为％的值为62009xl,x2x2—3x—1=0U113D-

3、潍坊若是方程的两个根，且则的值为72009xl,x2x2—6x+k—1=06+4=24,k、成都若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是82009x kx—2x—1=0kW0且C.kl D.kl kWO、已知一元二次方程的一根是则另一个根是.9X+2x—8=02,、泰安若关于的方程一有实数根，则的取值范围是102009x X+2k+l x+2—1=0k

11、解方程⑴2212=32；3X^-l=2y-D,2334x2—9—2x—3=0;4x2—6x+8=

0、鄂州关于的方程有两个不相等的实数根，122009x kx+k+2x+1=0求的取值范围；1k是否存在实数使方程的两个实数根的倒数和等于若存在求出的值；不存在说明理由2k0k考点一元二次方程的应用

一、考点讲解构建一元二次方程数学模型，常见的模型如下

1.⑴与几何图形有关的应用如几何图形面积模型、勾股定理等；⑵有关增长率的应用此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的等量关系是（）其中表示增长（降低）前的数据，表示增长率（降低率），表示后来的a l±x2=b,a xb数据注意所得解中，增长率不为负，降低率不超过1⑶经济利润问题总利润=（单件销售额一单件成本）销售数量；或者，总利润=总销售额一总成本X

（4）动点问题此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程注重解法的选择与验根在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要

2.对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.

二、经典考题剖析【考题（深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为平

112009.130方米的花圃（如图）打算一面利用长为米的仓库墙面，三面利用长为米的旧围栏，1—2—1,1533求花圃的长和宽.解设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为（33一2力米，|图1-2-1依题意得“（33-2X）=130,_132x2-33x+130=0xi=10%2=T又・・当X]=1°时.（33—2x）=

13、13/当马一耳时，（33—2X）=20]513・•・一2不合题意，舍去..・.X=10答花圃的长为米，宽为米.1310%%C.11%%解设年增长率为根据题意得x,【考题】、海口某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利元，每天可售出千克，3200910500经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克,现该商场要120保证每天盈利元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？6000解设每千克水果应涨价元，依题意，得x500-2Ox10+x=

6000.整理，得X—15x+50=

0.解这个方程,x=5,x=

10.12要使顾客得到实惠，应取x=

5.答每千克应涨价5元・.点拨

①此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；

②应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况.【考题】如图，在中，，点从点开始沿边向点点以的速44ABC NB=90AB=5,BC=7,P AAB Blcm/s度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动.Q BBC C2cm/s如果点、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的面积等于1P QA B4PBQ4如果点、分别从、两点同时出发，经过几秒钟，的长度等于2P QA BPQ5解设经过秒钟，的面积等于1x4PBQ4,则由题意得AP=x,BP=5—x,BQ=2x,由2BP・BQ=4,得25-x•2x=4,解得，x=

4.2当时，不符合题意故x=4BQ=2x=87=BC,x=l222222由得2BP+BQ-=55-x~+2x~=5,解得不合题意，xl=0x2=

2.所以秒后，的长度等于2PQ5

三、针对性训练.小明的妈妈上周三在自选商场花元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，110同样的酸奶，每瓶比周三便宜元，结果小明的妈妈只比上次多花了元钱，却比上次多买了

0.522瓶酸奶，问她上周三买了几瓶？合肥百货大搂服装柜在销售中发现“宝乐”牌童装平均每天可售出件，每件盈利元为了

2.2040迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存经市场调查发现如果每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件要想平均每天在销售这种48童装上盈利元，那么每件童装应降价多少？1200在宽为米、长为米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地,要

3.2032使耕地面积为米道路的宽应为多少？5402,.小红的妈妈前年存了元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税利息税为45000利息的共取得元.求这种储蓄的年利率.精确到20%,5145如图中，，点从点开始沿向点以的速度移动，点从点开

5.12-3,ZXABC NB=90P AAB Blcm/s QB始沿边向点以的速度移动BC C2cm/s如果、分别从、同时出发，经几秒钟，使的面积等于1P QA B4ABQ8cm2如果、分别从、同时出发，并且到后又继续在边上前进，以后又继续在边上2P QA BP BBC QC AC前进，经几秒钟，使的面积等于4PCQ

12.6cm2解:依题意，得26-x-2x=8解这个方程得xl=2,x2=4即经过点到距离点处，点到距离点处；经过点到距离点处,点到2s,P B4cm QB4cm4s,P B2cm Q距离点处故本小题有两解B8cm设经过秒，点移动到上，且有点移动到上，且命名2x P BC CP=14-x cm,Q CA CQ=2x-8过作于cm,Q QD_LCB DVACQD^ACAB,（）QD AB62x-8=.・・2x—8AC,即QD=10o（）162x—8依题意，得（）214-x•10=

12.6,解这个方程得:xl=7,x2=ll经过点在距离点处，点在上距离点处，使7s,P BCC7cm Q CA C6cm SZiPCQ=

12.6cm2经过点在距离点处，点在上距离点处，点已超出范围，Us,PBCC3cm QCAC14cm:140,QCA此解不存在故本题只有一解中考真题

1.钟老师出示了小黑板上的题目（如图1—2—2）后，小敏回答“方程有一根为1，小聪回答“方程有一根为.则你认为（）2”只有小敏回答正确只有小聪回答正确A.B.两人回答都正确两人回答都不正确C.D.A.X1=-4,x=3B.X[=4,x=-3C.X]=-4,x=-3D.X|=4,x=322223,方程M工+3）=（1+3）解是（）.解一元二次方程结果正确的是（）2x—x—12=0,A.x=1B.xj=0,x=—312C.X]=l,x=3D.Xj=1,x=-322•若是一元二次方程（）的根，则判别式△=和完全平方式（）4t ax+bx+c=0aW0b—4ac M=2at+b A.A=M B.A MC.A MD.大小关系不能确定的关系是（）A.0B.1C.0,-1D.0,

15.方程Y（x7）=°的根是（）.已知一元二次方程的两个根为则的值为6x—2x—7=X],x,X[+X22A.-2B.2C.-7D.

7.已知、是方程的两个实数根，则一+—的值是（7X]X2x—3x+l=

0、、B—3C Q D1A、y+y-6=0B、y-y—6=

08.用换元法解方程（x+x）2+（x2+x）=6时，如果设x+x=y,那么原方程可变形为（）、、C y-y+6=0D y+y+6=0A.0B.0,5C.5,5D.

5.方程一的根是（）9x5x=0若关于的方程有实数根，则（）

10.xx+2x+k=A.kl,B.kWl C.kW-l D.k2—

1.如果一元二次方程的两个根是那么等于（）11x—4x+2=0X],x,X1+x22A.4B.-4C.2D.-

2.用换元法解方程（）时,设那么原方程可化为（）12X2—x—J%2—x=6x=y,A.^2+y-6=0B.y2+y+6=0C.y2-y-6=0D.y2-y-\~6=

013.设X],X2是方程2x2+3x-2=0的两个根，则X]+X2的值是（）22A.-3B.3C.—QD.Q.方程的解是（）14x3-x=0A.0,1B.1,-1C.0,-1D.0,1,-

1、e（上了一上±+寸，若设一^二，则原方程ms4=OR y.用换兀法解万程15x+1x+l X+

1.两个数的和为差（注意不是积）为以这两个数为根的一元二次方程是166,8,.方程的解是17X—x=

018.等腰4ABC中，BC=8,AB、BC的长是关于x的方程x2—10x+m=0的两根,则m的值是.关于的一元二次方程的两个根同号，则的取值范围是.19x ax2+2x+l=0a

20.解方程，2X2-9X+5=X-

321.解方程:x3-2x2—3x=

0.jy=x+l.解方程组丫二22k2+

2523.解方程2（x—1）2+5（X—1）+2=

0.

24.解方程x2—2x—2=

025.解方程x2+5x+3=

026.已知关于x的一元二次方程（氏+1»-6=°的一个根是2,求方程的另一根和k的值.

27.已知关于x的一元二次方程（4+4评+3尤+/+3Z-4=0的一个根为0,求k的值..如图为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为厘281—2—320米，钟面数字在长方形的顶点处，则长方形的长为厘米.（此题用到三角函数）2中考预测题

一、基础经典题（44分）

（一）选择题（每题分，共分）428【备考1】如果在一1是方程x2+mx—1=0的一个根，那么m的值为（）A.-2B.-3C.1D.2【备考2】方程2双—3）=5（x-3）的解是（）【备考］若是方程如+〃=°的根，则等于（）3n nWO,m+nA.-7B.6C.1D.-1【备考】关于的方程如+〃=°的两根中只有一个等于则下列条件中正确的是（）4x Y+0,A.m=0,n=0B.m=0,n WOC.mWO,n=0D.mWO,nWO【备考】以和玳为根的一元二次方程55—2#5+2是（）。