上海市市西中学2024届高三上学期期中数学试题【解析版】

上海市市西中学届高三上学期期中数学试题【解析2024版】友情提示

1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，另有答题纸;

2.作答前，在答题纸正面填写班级、姓名、学籍号等信息；

3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上相应区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分;

4.用2b铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔作答非选择题.一.填空题（本大题满分54分，共有12题，请在答题纸相应编号的空格内直按填写结果，L6题填对得4分712题填对得5分.否则一律得零分）

1.设全集°=%若集合4=卜—%则入=.

32.函数y=（3x-2户的定义域为.

3.已知li为虚数单位，复数z=3+2i,则zi=.

4.一台实验室抽气机，每次能抽出容器内空气的60%,要使容器内的空气少于原来的

0.5%,则至少要用该抽气机抽次.

5.无穷等比数列｛%｝中，4=12,%=3,则｛4｝所有项的和为.

6.函数y=sin光的图象在点（应0）处的切线方程为.

7.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆.如图，在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米，若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球，则完全展开后伞口的直径约为米（精确到整数）.27t I

8.函数y=sin2x+2cosx在区间［―彳，上的值域为［一2］,则的取值范围是—

9.函数/（犬）=丁+方在区间［-2,3］上是单调函数，则实数a的取值范围是.

10.已知数列｛〃〃｝中，，〃为正整数，常数Q〉0,awl,若｛%｝是严格减数列，则实数〃的取值范围是7兀由图形，函数/（%）图象过点—,-2I7冗\则/—=2sin U2J737r兀即sin-1,所以一+e=2E+3水£Z62JF解得0=2hr+]Z eZ,7T故/%=2sin2x+2E+—C・c兀3=2sin2x+—.\3J验证知/

（九）图象过（0,百人7T所以M可由函数y=2sin2x的图象向左平移£个单位得到.6故选A.

16.B【分析】数形结合可知，函数“X）在（0,+8）上只有两个零点，则函数“X）在［-兀,0］上有五7T个零点，由fWxWO可求出x十二的取值范围，根据题意可得出关于的不等式，即可解4得正数的取值范围.【详解】当x0时，由/x=x+|lnx]-2=0,可得11nxi=2-x,作出直线y=2-x和函数y=Inx的图象如下图所示:由图可知，直线y=2-x和函数y=Inx的图象有两个交点，因为函数/（%）恰有7个零点，所以，函数/（X）=sin8+（）在［-兀,0］上有5个零点,TT TTTT当—71W XW0时、因为690,则—兀69H--TIX-\«一,444所以，一5兀一兀+工W—4兀，解得444故选B.

17.1证明见解析；21【分析】1取A,中点，连接OS,0B,由题意可得AC_LOB,AC-LOS,再由线面垂直的判定可得ACJ■平面SOB,进一步得到ACJLSB；2如图以为原点，04,OB,QS分别为x轴，V轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出C,B,A,S,M,N的坐标，得到平面C5M与平面CMN的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角N-CM-3的余弦值.【详解】解1证明取A,C中点，连接OS,0B,由题意可得AC J_03,AGIOS,又OS0B=0,QSu平面SOB,OBu平面SOB平面SO3,又S8u平面SOB所以AC_LS3；2解如图以为原点，OA,OB,QS分别为x轴，，轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C—2,o,0,B0,2vL，A2,0,，50,0,272,M1,百，0,N0,百，扬,由已知条件易得平面C8M的法向量为“=0,0,1,设面CMN的法向量为%=%,y,z,CM=3,6,0,CN=2,瓜向.nyCM=3x+\/3y=0L l，取Z=l,得〃2=3,-的，D，n-CN=2x+j3y+J2z=02设为所求角，则3=样!・•・二面角N-CM-B的余弦值为:.-J【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力,二训练了利用空间向量求面角的平面角，属于中档题.

18.⑴1,3⑵[L2]【分析】1求解不等式化简集合，再由并集运算可得；2分类讨论求解集合A,再由xeA是xeB的必要非充分条件,列出参得B A,由包含关系数的不等式，求解可得.【详解】1由f一5x+6vO,解得2vxv3,则3=2,3,当a=]时，A={x|x-lx-30|=|x|l x31,所以4=1,3,则A5=1,

3.2由xe A是xeB的必要非充分条件，则8A,X—Cl由--------0o x-ax-3a0〃w0,x-3a当a0时，3a a0A=3a,a7y,0,9而3=2,3,不满足B A；当Q〉0时，0v〃v3a,A=Q,3Q,要使3A,贝Ua2v33a,且等号不同时成立，解得故实数的取值范围为[1,2].

19.

171.6°

25.4公里【分析】1根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小；2设点利用坐标表示向量和直线的斜率，求出NAM3的正切值，从而求出对应的结果.【详解】1根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示:则A0,2,34,3,“1,0,则M4=—1,2,MB=3,3,所以cosZAMB=.也=^+E=®，\MA\\MB\Vl+4xV9+910所以观测角ZAMB=arccos」？«

71.

6.102设〃乂0%0,i.x=4时，tan NAM3二=2,所以ZAMB=arctan245°,OA23ii.xw4时，直线AM的斜率为攵=—，直线MB的斜率为1=7—，x4-xMA因为M4=—x,2,A/B=4-x,3,所以M4・MB=-x4-x+6=x2-4x+6=x-22+20,所以N4M3为锐角，ig;y=tan ZAMB,v-I Q又y=F----------,x0,且NAMB245，所以yNl,%--4x+6整理得f-5x-2V0,解得5+V|35+57M=%54,222所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为

5.4公里.

20.⑴%=-8〃+15q+d=-]【分析】

（1）设等差数列｛4｝的首项和公差为知d,由题意可得9Q+史竺1=5（+4d）4+亏-（q+）解方程求出q,d,即可得出答案；「

11、

（2）由裂项相消法求出7；,再根据丁“的单调性求出，即可得出答案；

（3）由等差数列的前〃项和公式求出S”，代入不等式，分离参数可得女工4（-）,令4〃一11〃）=亚刊〃23,换元法求出/（〃）的最小值，即可得出答案.）4n-ll一【详解】

（1）因为等差数列｛%｝中，生=T，Sg=5s5,设等差数列｛4｝的首项和公差为知d,4+d=一]/-7所以c9x875x4八,解得一0,9]H-d=55〃]+-----d3=-8）2\2故等差数列｛4｝的通项公式为q=4+5-id=7—8及—1=一8〃+

15.111/

11、2b—--------------=-----------------------=--------------------=---------------------〃%・%+2-8〃+7-8〃-18〃-78〃+1818〃-78/+1一]-------1------------1---------------F+---------------------------—1---------其中〃£N,〃1,818〃+1,81991717258〃-78n+l\1A11A1因为7在〃£N，〃加上单调递增，所以ft*n=Z=w[i-§J=g又因为所以OyOM4-1yOOO/l41O[_Oy因为存在常数s,K使不等式sWT；Wl对任何正整数〃都成立,所以Ls的最小值为=⑶因为“』+15,所以S”=幽磬…2+11%原不等式工W即一4+11”《£口口4/12-11〃，rrci〃+攵-8〃+15n+k,即---------------------n871-15n+k由心3可得4n2-1Inn4-Z:n28n-15,QH Qf当〃=9,〃=5时，/〃取得最小值为当，即94〃2-〃niI即攵------------on4^-11令/加岩令；匚

1、1〃+11〃+11丫+114177=H----F-4U18正数k的最大值为5•

21.lx=-e⑵见解析2⑶＜一【分析】1令〃力=0,解方程即可求出/%的零点;2对“力求导，分类讨论＞0,Q«-1和-判断rx与的大小即可得出答案；3将不等式进行整理可得/目+4X2/伍+4工2,则不等式可转化为gx=/x+4x在0,+“上单调递减，再利用分离参数法即可求出答案.【详解】1当々=0时，/x=lnx+l,令〃x=，可得=-,ex所以“X的零点为X=J2因为/x=a+llnx+G；2+i的定义域为0,+e,\”+12ax2+a+\G＞/x=---------F2ax=--------------,x0,x x当420时，/4耳＞对任意工£,包成立，所以〃力在（O,+8）上单调递增.当Q W-1时，⑴＜0对任意X£（0,内）成立,所以/（X）在（0,+）上单调递减.+1当-1＜Q＜0时，令/«x）＞0可得,彳,令（（x）＜可得xe，+00-27/所以〃力在0,综上时，“X）,+oo上单调递减.在（0,+8）上单调递增.上单调递增，在Q＜-1时，“X）在（0,+）上单调递减.—1〃0时，“X）在0,,+00上单调递减.

（3）由

（2）得,当av—1时,〃力上单调递增，在I.7在（0,+）上单调递减,不妨设＜%＜々，则/（西）〉/（乙），原不等式转换为了（与）-〃玉）2-4%+4%2，即〃%）+4菁＞/（^）+4^,=/（x）+4x=（（7+l）lnx+o¥2+l+4x,则g（%）,2则g（力在（0,+）上单调递减，所以g⑴（在（0,+“）上恒成立，且，3=1+2以+4=24尸+以+4+140在（0,+8）上恒成立,即2加+以+4+/0,则（2/+1）4—（以+1）,则〃工一|^,令〃（x）=--4+1,令〃=4x+l,〃l,则％=,2x2+14a_Q由双勾函数的性质可得，〃+--2£[4,+司，所以力（〃）的最小值为=—2,—8（h u\=——所以_|_|U H----------2U所以a W—

2.【点睛】方法技巧对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略

1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围;

2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.

11.函数，（x）=8nx-f+3x在区间0,-上存在极值，则实数上的取值范围是___________）I z

12.已知已（%）为定义在R上的奇函数,当「«（M],/（x）=lnx,且〃x）关于直线x=l对称，设方程/（同=+（左Qb£R）的正数解从小到大依次为天、巧、匕、居、L,且对无穷多个〃£N，总存在实数加，使得I当+2-七用卜成立，则实数”的最小值为.二.选择题（本大题满分18分，共有4题，每题有且只有一个正确答案，请15-16题选对得5分.否则一律得零分）

13.用反证法证明”方程必泳+=0,0）至多有两个解，，的假设中，正确的是A.至少有两个解B.有且只有两个解C.至少有三个解D.至多有一个解

14.已知函数y=/（x+l）是偶函数，且在区间上是严格增函数，则不等式/（-2）〉〃-8）的解集为（）A.B.（-oo,3）C.（3,-HX））D.（l,+oo）

15.如图是函数/（x）=Asin3x+0,A0,q〉0的图像的一部分，要得到该函数图像，只需要将函数V=2sin2x的图像（）A.向左平移9个单位B.向左平移2个单位C.向右平移个单位D.向右平移;个6363单位x+|lrix|-2,x

016.已知函数/（，）=濡（勿+工）-“0恰有7个零点，则正数0的取值范围是（）172149656573了T nnTiTi三.解答题（本大题满分78分，共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤）

17.如图所示，在三棱锥S-ABC中，A4BC是边长为4的正三角形，平面S4C_L平面A3C,SA=SC=26M,N分别为AB,SB的中点.S1求证AC±SB；2求二面角N—CM—8的余弦值；

18.已知集合人=｛%^^｝,常数awO,3=卜,2一5%+60｝.1当Q=1时，求AUB；⑵若x eA是x e3的必要非充分条件，求实数a的取值范围.

19.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A地在观测站正北方向，且距4离观测站2公里处，3地在观测站北偏东arcsin1方向，且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车记为点M沿着公路向正东方向行驶进行观测，记NAM3为观测角.北.BA■--------------••东M1当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角的大小；精确至U

0.12为了确保观测质量，要求观测角NAM5不小于45，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.精确到

0.1公里

20.等差数列｛4｝中，出=T，｛%｝的前〃项和为S〃，满足Sg=5S

5.1求等差数列｛为｝的通项公式；2若a=---,设是数列｛2｝的前〃项和，若存在常数s,3使不等式对任何正整数〃都成立，求，-S的最小值.q力2⑶若对于任意〃EN,n3,不等式iW「都成立，求正数人的最大值.a n+k

21..已知函数〃％=+1卜工+/+1,其中常数⑴当=时,求〃%的零点;⑵讨论/x的单调性；⑶设实数-1,如果对任意小%£，叱，不等式|/xj-都成立,求实数的取值范围.

1.-3x31【分析】求出集合A,利用补集的定义可求得集合入.【详解】因为全集0=%集合人=卜,9｝=｛小-3或x3｝,因此，A=｛x\-3x3｝.故答案为｛x|-3x3｝.

2.（g收）【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可.32【详解】由y=（3x-2尸，使得式子有意义，则3工-20,则定义域为（泉+8）.2故答案为（Q,+00）

3.13【分析】先求共轨复数，再应用复数乘法即可.【详解】由z=3+2i,贝丘=3—2i，则zi=（3+2i）（3—2i）=

13.故答案为

134.6【分析】设至少抽〃次，由（1—60%）〃

0.5%求解.【详解】解设至少抽〃次，则由题意得（1-60%）〃

0.5%,即

0.4〃

0.005，则心10go.

40.005,S5而log，

0.005=学著=，lg

0.4±la10lg5—IglOOO Ig2—32+lg2___一lg4-lgl0-21g2-l-J21g2〜•所以6,故答案为

65.64【分析】根据等比数列的求和公式结合数列极限运算求解.【详解】因为等比数列｛%｝中，%=12,%=3,设等比数列｛%｝的首项和公比为a3]所以4=0=高=彳，则4==12X4=48,a124q2「r1Y/\481——「n所以等比数列｛%｝所有项的和为s[1=641-仕）1_1[⑷〃1-q4无穷等比数列｛4｝所有项的和为Iirn5„=lirn641-W=

64.故答案为

64.

6.x+y-7r=0【详解】因为y=sinx,所以V=cosx,则V1=cos7T=-l,即函数y=sinx的图象在点乃,0处的切线方程为丁=-工-兀，即x+y-%=

0.

7.28【分析】根据球体的表面积公式，结合题意，直接求解即可.【详解】设主降落伞展开后所在球体的半径为R,由题可得24尺2=1200,解得尺寸14,故完全展开后伞口的直径约为28米.故答案为

28.【分析】应用同角三角函数基本关系式，函数可以化为关于cosx的解析式，令，=cosx,则原函数可化为》=--12+2,即转化为二次函数的最值问题，含参数的问题的求解.【详解】解由己知得y=l-COS2X+2COSX=-cosx-12+2,令，=cosx,得到y=-/1127r-12+2,显然当cos--=一万时，y=一[，当/=1时，y=2,又由%£[--,a]可知cosxH-彳，1],可使函数的值域为[-二，2],所以有“20,且从而可得的2432万取值范围是0W彳.故答案为[0,子].【点睛】本题考查三角函数的值域问题，换元法与转化化归的数学思想，含参数的求解策略问题.

9.-oo,-27]kJ[0,4-oo【分析】求导，即/020或/xW0恒成立，分类讨论即可.【详解】因为函数/耳=工3+办在区间［-2,3］上是单调函数,则r x=3d+〃在［—2,3］上有fx N或/X40恒成立,当/xNO时,即心—3f,贝30,当/幻0时，即31,贝1〃《—27,综上实数，的取值范围是y,-27］［0,内.故答案为-oo,-27］o0,+co

1、

10.0,-12j］Jn【分析】先根据数列的单调性得到4川-40,得到三,求出—从而得到〃+172+12八10a一.2【详解】由题意得%+「%=〃+1・向—〃・优=优曲+—〃0,因为0,所以诡〉0,故w+a—〃0,即〃〃+1n〃+1-11其中-----=----------=1--------〃+1〃+1〃+1I I〃由于〃丸所以0布9故M又Q0,故4L2n所以实数，的取值范围为，弓.n故答案为弓

911.——〈攵08［分析］求得/x=2-+3x+k,令g£=—2d+3x+3分析函数gx在0,1］的单调x\

3、性，利用函数“X在区间，不上存在极值可得出关于实数%的不等式组，解之即可.【详解】因为/x=8nx—/+3x,则/x/_2x+3=.2/+3…,X X

3、,

33、令gx=-2f+3x+Z,则函数gx在笃上单调递增，在上单调递减，因为gO=g力=k,Q3A因为函数“X在0,-上存在极值，则9八，解得-7V2J%+—08189故答案为--k

0.O

12.2【分析】分析可知，函数/X是周期为4的周期函数，作出函数y=〃x和y=+〃ROS£R的图象，结合图象可知，1如氏+2-七』的儿何意义为函数“X两条渐近线的距离，结合|x〃+2-可得出的最小值.【详解】因为函数/x为定义在R上的奇函数，则〃%=-〃r，且〃0=0,又因为函数〃x的图象关于直线x=l对称，则/2+x寸-x=-所以，〃%+4=—小+2=〃力,所以，函数/x是周期为4的周期函数，y=Ax y=kx+b作出函数y=/xy=kx^hk0,h^R的图象如下图所示:方程〃司=丘+/%力£2的正数解从小到大依次为不、巧、L、乙、L,则哑氏+2-乙」的几何意义为函数/%两条渐近线的距离，由图可知，1吧氏+2-%/=2,故对任意的〃w N*,x〃+2-Z+1V2,对无穷多个〃£N,总存在实数，使得当+2-七+1VM成立，则A/N2,即〃的最小值为

2.故答案为

2.【点睛】关键点点睛本题考查函数不等式恒成立，解题的关键在于理解H巴K+2-当」的几何意义为函数“X两条渐近线的距离，利用数形结合思想求出四小〃+2-加|的值，进而可得出实数M的取值范围.

13.C【详解】分析把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，即为所求.详解由于用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“方程ax2+bx+c=0a^O至多有两个解”的否定是“至少有三个解”，故选C.点睛本题主要考查用命题的否定，反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于中档题.

14.B【分析】由y=/x+D与y=/x图象的平移关系，可得了的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可.【详解】因为函数y=/x+i是偶函数，且在区间3,-1］上是严格增函数，而函数/X图象可由函数/x+i向右平移1个单位得到，］故函数关于直线尤=1对称，且在区间F,O上是严格增函数，由/—

2、/-8,且-2\-8e—8,0J,得-2%-8,即2v8,解得X

3.不等式/-

2、〉/-8的解集为-8,

3.故选B.

15.A【分析】由题意先求A,结合图象与已知得周期7,从而求出力；再由最小值点坐标代入求解，求出的解析式，从而得到与V=2sin2x的图象平移关系.【详解】由题意，可由函数y=2sin2x平移得到，且A〉，则A=2,7=兀,或由图形可知，周期丁=43兀—々=兀27r又口〉0,故口=巧=2,则/x=2sin2x+.。