专题02 简单的线性规划-2019年高考文数母题题源系列（天津专版）（解析版）

专题简单的线性规划02x+y-20,x-y+220,【母题原题1】【2019年高考天津卷文数】设变量X满足约束条件、，则目标函数x-1,y2TZ=-4x+y的最大值为A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意义是直线y=4x+z在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值.%—y+2=0,,得所以Zgx=—4X—1+1=

5.故选C.x--\【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域,分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围.即一画，二移，三求.x+y5,2x-y4,【母题原题21【2018年高考天津卷文数】设变量羽y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的-x+y1,》20,最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】Cx+y5,2x-y4,,表示的平面区域如图所示,~x+【解析】绘制不等式组y«1,2结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值,当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最小，[x+y-3=0此时由jx2-0可得5（2，1），・；二1+2》的最小值是2+2xl=4,由于直线在y轴上的截距无限增大，故z=x+2y无限增大，z=x+2），的取值范围是[4,+8）.【名师点睛】求线性目标函数2=依+勿（邦）的最值，当力0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当Z0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.2x+y0x+2y-

2011.【天津市南开区2019届高三下学期一模考试数学】设变量X,V满足约束条件八，则目x

0、一标函数z=x—y的最大值为A.1B.-13rC.一D.-32【答案】B2x+y0x+2y-20【解析】首先根据不等式组《‘八画出可行域，可行域如下图阴影部分x

0、”3目标函数化为y=x—z,根据图像得到目标函数在点8处取得最大值，x+2y-2=0令光=0nB（0,l）,代入得到最大值为—

1.故选B.【名师点睛】利用线性规划求最值的步骤

（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；常见的类型有截距型（分+力型）、斜率型型）和距x+a离型（（代+4+仃+方型）；⑶确定最优解根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;

（4）求最值将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.5x+3y15y x+\

12.【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考

（一）数学】设变量羽y满足约束条件〈匚ox-jy3x0则目标函数z=3x+5y的最大值为A.5B.17C.-3D.9【答案】B5x+3y15yx+\画出约束条件u,C表示的可行域,【解析】如图,x-5y3xQ35x+3y=15x二一2y=x+\5将z=3x+5y变形为y=__x+—z,平移直线丁=31由图可知当直y=时,-x+-z经过点55925直线在y轴上的截距最大，最大值z=—+—=17,故选B.22【名师点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求，

（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；

（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.x-y+

1013.【天津九校联考2019年高三数学】如果实数XV满足条件｛+12，那么z=2x—y的最大值为.x+^+10X.*A.2B.-2C.1D.-3【答案】Cx—y+120【解析】由约束条件（y+120画出可行域如下图阴影部分，x+y+lQ再画出直线2x-y=0如图中过原点虚线，平移目标函数，易得过点A（0,-1）时，目标函数取得最大值，代入得2max=l，故选C.【名师点睛】本题考查了简单线性规划，简单线性规划问题一般分为四步画出可行域，画出目标函数并平移目标函数，确定最优解位置，求取最值.2x+y-2Q

14.【天津市部分区2019年高三质量调查试题

（二）数学】设变量羽y满足约束条件1%-丁-IV,x+2y-40X.则目标函数z=%+y最小的值为A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】作可行域，则直线z=x+y过点A（1,0）时Z取最小值1,故选D.【名师点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.%

015.【天津市南开中学2019届高三模拟数学】已知实数羽y满足不等式组（x-y-3（，则2x-y的最x+3y-30V.大值是____________.【答案】6【解析】设z=2x—y,则y=2x-z,作出不等式对应的平面区域（阴影部分）如图平移直线y=2x-z,由图象可知当直线y=2x-z经过点C（3,0）时，直线y=2x-z的截距最小，此时z最大・z的最大值为z=2x3=6,故答案为

6.【名师点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学】思想是解决此类问题的基本方法.y Wx,

16.【天津市河北区2019届高三二模数学】若实数8y满足条件x+2y23,则z=2x+2y的最小值为2x+y69【答案】4【解析】由不等式组画出平面区域，如图中阴影部分，即以8及内部.目标函数化为y=—x+L,则z的最小值为直线V=-X+L截距的最小值，22通过平移可发现在31,1点处，纵截距最小，所以Z而n=

4.【名师点睛】本题考查线性规划问题，解题的关键是画出不等式组表示的平面区域，属于简单题.x+y=5联立直线方程得〈,，可得点A的坐标为A（2,3）,-x+y=l据此可知目标函数的最大值为Zmax=3x+5y=3x2+5x3=

21.故选C.【名师点睛】求线性目标函数2=依+勿3厚0）的最值，当〃0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当匕0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，2值最大.【命题意图】主要考查考生的数学运算和直观想象能力及数形结合思想的应用.【命题规律】从近几年的命题情况来看，线性规划是高考的重点，命题稳定，难度适中.主要考查利用线性规划知识求目标函数的最值、取值范围、参数的取值（范围）以及实际应用，目标函数大多是线性的，偶尔也会出现斜率型和距离型的目标函数，主要以选择题和填空题的形式出现.由于教材改版，预计2020年考查该知识点的可能性降低.【答题模板】解线性规划问题，一般用图解法，其步骤如下

（1）作图，在平面直角坐标系中，画出可行域和直线以+勿=0（目标函数为z=ax+0y）.

（2）平移，平行移动直线依+卧=0,确定使勿取得最值的点.具体做法是Z=A+n7H77把z=〃x+b（厚0）变形为—x+—,所以求z的最值可看成是求直线产-一x+—在y轴上的截距一的b bbb ba77最值，将直线y=——x+—平移，在可行域中观察使一取得最值的点.bbb

（3）求值，求出使z取得最值的点的坐标（解方程组）及z的最值.【知识总结】

1.在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线Av+8y+C=0（4,8不同时为0）分成三类:

①满足Ax+8y+C=0的点；

②满足Ar+8y+C0的点；

③满足Ax+3y+C0的点.

2.在平面直角坐标系中，Ar+8y+C0（或Ar+8y+C0）表示直线Ax+3y+C=0某一侧的所有点组成的平面区域，且不含边界，作图时边界应画成虚线；在平面直角坐标系中，画Ar+8y+C0（或Ar+By+CSO）表示的平面区域时，边界应画成实线.

3.由于将直线Ax+8y+C=0同一侧的所有点（x,y）代入Ar+为+C所得到的实数的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一特殊点（小以），由Axo+Byo+C的符号即可判断不等式Ax+By+C0（或Ar+3y+C0）所表示的平面区域在直线的哪一侧.

4.二元一次不等式组表示的平面区域二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分.画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，一般步骤为直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示.注意不等式中有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.特殊点一般选一个，当直线不过原点时，优先选原点.

75.把直线ax+hy=O向上平移时，直线ax+hy=z在y轴上的截距一逐渐增大，且b0时z的值逐渐增大，b7b0时z的值逐渐减小；把直线ax+by=O向下平移时，直线ax+by=z在y轴上的截距一逐渐减小，且b人0时z的值逐渐减小，匕0时z的值逐渐增大.以上规律可简记为当人时，直线向上平移z变大，向下平移z变小；当b0时，直线向上平移z变小，向下平移z变大.

6.线性规划中的基本概念约束条件由变量光，y组成的不等式组.线性约束条件由x,y的线性不等式（或方程）组成的不等式组.目标函数关于尤，y的函数/（x,y）,如z=2x+3y等.线性目标函数关于x,y的线性目标函数.可行解满足线性约束条件的解.可行域所有可行解组成的平面区域.最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解.线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最,大值或最小值问题.【方法总结】

1.平面区域问题

（1）判定二元一次不等式（组）表示的平面区域的方法方法1特殊点法只需在直线的某一侧任取一点（x（）,y（））,根据Ax（）+By（）+C的正负即可判断Ax+By+C0（或〈0）表示直线的哪一侧区域.若直线不过原点（即C#0）,常把原点（0,0）作为特殊点.若直线经过原点（即C=0），常选（1,0）,（-1,0）,（0,1）,（0,-1）等特殊点代入判断.方法2一般式（A0）,大为右，小为左当A0时，Ax+8y+C0表示直线右方区域；Ar+为+C0表示直线左方区域.方法3一般式，“同”为上,“异”为下观察8的符号与不等式的符号，若8的符号与不等式的符号“相同”，则表示直线上方的区域；若8的符号与不等式的符号“相异”，则表示直线下方的区域.

（2）二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面积和已知平面区域的相关条件求参数的取值或范围.

①对于求面积问题，可以先画出平面区域，然后判断其形状，求得相应的交点坐标、相关的线段长度等，利用面积公式进行求解；

②对于求参问题，一般需根据区域的形状判断动直线的位置，从而确定参数的取值或范围.

2.求线性目标函数的最值（范围）

（1）求线性目标函数的最值的方法

①图解法（常用方法）；

②界点定值法（快捷方法）.当目标函数和约束条件都是线性的，且对应目标函数的最优解是可行域所对应图形的边界或顶点，这时要求目标函数的最值只要把可行域的几个顶点代入，通过对比目标函数的对应取值，即可得到最优解.

（2）求线性目标函数的取值范围此类问题实质上也是线性目标函数的最值问题，通过求出最大值及最小值即可知道目标函数的取值范围,具体实施方法同上.

3.含参线性规划问题

（1）含参线性规划问题就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围问题.

（2）求解策略

①当参数在表示可行域的不等式中时，参数的取值会影响可行域的位置和形状，此时需要对参数的取值进行分类讨论，以确定最优解；

②当参数在目标函数中时，参数的取值直接影响最优解的位置.线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，要注意目标函数表示的直线的斜率与可行域边界直线的斜率之间的关系.x+y

21.【天津市部分区2019届高三联考一模数学】设变量满足约束条件2x-3y49,则目标函数xQz=2x+y的最大值是A.2B.3C.5D.7【答案】Cx+y2【解析】画出约束条件«2x-3yW9,表示的可行域，如图,x0[x+y-2=0[x=3由《可得《，[2x-3y-9=01y=T将z=2x+y变形为y=-2x+z,平移直线y=—2x+z,由图可知当直y=-2x+z经过点（3,-1）时，直线在V轴上的截距最大,z最大值为z=2x3—1=5,故选C.【名师点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”

（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；

（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；

（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4x-y+50x-y+

202.【天津市红桥区2019届高三一模数学】设变量满足约束条件“，则目标函数z=y-2x x0y0的最大值为A.7B.5C.3D.1【答案】C4x-y+50x—y+220【解析】满足约束条件｛八的可行域如下图所示x

0.y0X—y+2=0尤——]得V,A（-1,1）,目标函数2=k2x经过可行域的点时，取得最大值3,4x—y+5=0故目标函数z=y-2x的最大值是3,故选C.【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题.4x+y10,4x+3y20,y0,

3.【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考二数学】设变量满足约束条件则目标函数2=10x+2的最大值为A.25B.2040C.—45D.—32【答案】A【解析】作可行域，则直线z=10x+2y过点A*,0时z取最大值25,选A.2【名师点睛】本题考查线性规划求最值，考查基本求解能力，属基础题.x-y+l402x+3y-60,3x-2y+

4.【2019年塘沽一中、育华中学高三毕业班第三次模拟考试数学】设变量满足约束条件〈60则目标函数Z=x—2y的最大值为2213A.--------B.--------13C.-2D.2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域如图:11由z=x—2y,可得y=—%——z,22平移直线/,由图可得，当直线经过点时，直线在y轴的截距最小，此时z=x-2y有最大值,x-y+1=

038、3R1313，可得，此时最大值为z=j—2x二—=，故选B.2x+3y-6=0【名师点睛】本题主要考查线性规划的相关知识，画出可行域结合目标函数的几何意义进行分析是解题的关键.

5.【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查数学】设x,V满足约束条件x-y-202x—y+320,则2士±的取值范围是八x+6x+yQA.-p1C.D.【答案】B【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数表示可行域内的点与点尸（-6,T）之间连线的斜率,数形结合可知目标函数在点C（-1,1）处取得最大值与m=1，—1+6目标函数在点A（—5,—7）处取得最小值竟2=-3,故目标函数的取值范围是[-3,1].故选B.【名师点睛】

（1）本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法.

（2）解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.2y-x203x+2y6g

八、八，则目标函数z=2x—y

6.【天津市红桥区2019届高三二模数学】设变量％，V满足约束条件〈x-3y+90x3的最大值为159A.—2B.一29C.一4D.2【答案】B【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:由z=2x—y可得y=2x-z,则当y=21-2在y轴截距最小时，z取最大值,由y=2x平移可知，当y=2x—z过点3时，截距最小,x=339,,Zmax=2x3—=—,故选B.2y_%=022【名师点睛】本题考查线性规划求解最值问题，关键是能够将问题转化为截距最值问题的求解，属于常规题型.x+y-2Q

7.【天津南开中学第五次月考数学】实数％，V满足不等式组（x—y—2W0,则目标函数z=x+2y的最小值是A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由题意，作出不等式组所表示的平面区域，如图所示,目标函数z=x+2y,可化为直线y=-x+三，当直线经过点8时，此时直线丁=-工l+三在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由y=lx+y-2=0所以目标函数的最小值为Zmin=1+2x1=3,故选B.【名师点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求、确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题.

8.【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学】已知无了满足约束条件%+2y442x+y4\二贝Uz=2i—y的最小值为x\y0A.2B.412C.-D.一25【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即y=2x-z,其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大,据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，x=l，可得点A的坐标为A t-,I2；联立直线方程x+2y=431据此可知目标函数的最小值为z=2x-y=2xl——=—.故选C.max11ICXA【名师点睛】求线性目标函数z=4x+勿〃厚0的最值，当b0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当/〈时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.x+2Q

9.【天津市十二重点中学2019届高三下学期毕业班联考二数学】设变量满足约束条件卜-》+32,2x+y-30则目标函数z=3x+2y的最大值为A.-4C.6D.8【答案】C【解析】根据约束条件可得如下图阴影部分所示的可行域,3z3zz=3x+2y=y=-1-x+-,则当y=一^^+^在》轴截距最大时，z取最大值，33z由=一一x平移可知，当丁=一一x+-过C点时，截距最大，222y+3—0/、由C a八得C0,3一・.Zmx=3x0+2x3=6,故选c.[2x+y—3=0【名师点睛】本题考查线性规划中z=ax+勿型的最值的求解，关键是将问题转化为直线在轴截距的最值问题，通过平移来解决.x

010.【天津市河东区2019届高三二模考试数学】若X,y满足约束条件｛x+y—32，则z=x+2y的取x-2y0值范围是.【答案】[4,+00【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作出直线/x+2‘=0,平移直线，由图可得，。