专题02 七种平面向量的数量积及其应用解题方法（原卷版）

专题七种平面向量的数量积及其应用解题方法02题型一利用定义法求平面向量数量积题型二利用坐标运算法求平面向量数量积题型三利用转化法求平面向量数量积题型四坐标法求平面向量夹角题型五数量积和模求平面向量夹角题型六坐标公式法求平面向量的模题型七转化法求平面向量的模题型一利用定义法求平面向量数量积

一、单选题（•江西省铜鼓中学高一期末（理））

1.2021r r r r则（〃+%）•（2a-%）=（）昱,已知向量人满足且〃与人的夹角为苧,4,=1,b=2633一一一A.B.

222.（2021・云南・高一期末）已知同=6,同=2,且向量〃与向量8的夹角为60，则…的值为（）A.672B.12C.6D.6G

3.（2021•辽宁抚顺•高一期末）在放△48中，C=90°,AC=4,则A3・C4=（）A.-25B.25C.-16D.

164.（2021・湖南张家界•高一期末）已知向量与的夹角9=120,同=3,忖=4,则人人（）、A.—6A B.-6C.6D.673

二、多选题（•福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量〃和人下列命题中正确的是（）

5.2021A.若a，Z满足匕，旦Q与/同向，则4/B.a+ba bC.a・ba hD.a-ba-b22A.AB=ABAC B.BC=CBAC

6.（2020・辽宁・高一期末）在RtABC中，B为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）9D.BD=BA BDBC2BDC.AC~=ABBD

三、填空题（•广东江门•高一期末）已知向量匕满足〃=匕的夹角为，则人

7.20213,b=4,60丫丫丫33v*

20.2021•江苏・南京师大附中高一期末

①已知向量=3$彳,如~，=cos-,-sin-,函数7171/x=a，b-m\a+b\+\,ms R.347T当根时，求/二的值；1=0O若的最小值为求实数加的值；2/x-1,247T7T是否存在实数加，使函数济在”］有四个不同的零点？若存在，求出加的取值3gQ=/x+4934范围；若不存在，说明理由.

②已知函数以一；一/x=-/+12e R,gx=Inx.若=记的解集为求函数一一吆困%£闻为自然对数的底数的值域;15,/x1=832当〃1时，讨论函数2〃a=/%+g%+%-gM的零点个数.请从

①和

②两题中任选一题进行解答.注意如果选择

①和

②两题进行解答，以解答过程中书写在前面的情况计分

21.2021•江苏南通•高一期末已知为坐标原点，对于函数/x=〃sinx+Z2cosx,称向量”=七为函数的伴随向量，同时称函数/“为向量的伴随函数.“X设函数万+号,试求的伴随向量加；1gx=6sin x-sin gxI2Qjrjr记向量的伴随函数为八力,求当〃%=£且-时的值;2ON=l,g sin%5\Joy由中函数的图象纵坐标不变横坐标伸长为原来的倍，再把整个图象向右平移,个31gx2单位长度得到用力的图象，已知问在的图象上是否存在一点使得A-2,3,82,6,y=/zx P,.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.AP_L3P丫[―JIJI

22.2021・浙江•高一期末已知向量=2V3sin—+x,cos—+x向量I14^4n\JIb=cos--x,2cos--x,且函数/=/・14J\4⑴求函数/的单调递增区间及其对称中心；x⑵在一中，角所对的边分别为〃，且角满足.若=边上的中线长A3C A,B,C4c A/A=^+l3,3c为求的面积3,ABC S.⑶将函数的图像向左平移个长度单位，向下平移个长度单位，再横坐标不变，纵坐标缩短为原来2G Oijr3的;后得到函数的图像，令函数在的最小值为—求正实数的值.gx/zx=gx-4/lcosx XG0,-4」

22223.2020•安徽宿州•高一期末如图，在同一个平面内，向量A，OB，的模分别为1，1，6,与OC的夹角为，且tana=7,08与OC的夹角为

45.若=4+,求腕一腕邛的值;1d772若函数/%=♦-2仪+”0在卜小〃]上的最大值为2,求°的值.O

24.2020•广西・柳州高级中学高一期末已知向量a=cosx,cos2x,b=sin x^—,-g.设函数I If%=a，b r~|\TTTT TT当一二时，方程有两个不等的实根，求〃的取值范围;172/x+:=2a-3L63」V4；⑵若方程在,九上的解为4，巧，求COSX]—X

2.（•江西九江•高一期末）已知向量匕夹角的余弦值是叵，且

8.2021a也,则数量积=V13,b=65a・b=

9.（2021・吉林・长春市第二十中学高一期末）在回ABC中，C=90，AB=5CB=4,则

四、解答题（•北京丰台•高一期末）已知向量〃=（）力=（）

10.2021—1,31,

2.

（1）求力；

（2）求〃与人夹角的大小;（）求34题型二利用坐标运算法求平面向量数量积

一、单选题（•天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知是非零向量，且，匕不共线，卜|=欠若向

1.20203,=4,量〃+与左〃互相垂直，则实数攵的值为（）a—A.±2B.±-243C.i—D.i—54

二、多选题

2.（2021•黑龙江•绥化市第二中学高一期末）已知=（-2,6）,=,-3）,下列选项中正确的是（）A.〃.〃=-20B.与〃同向的单位向量是［可,一一元一弧C.a!lb D.a+b=2

三、填空题

3.（2021•浙江宁波・高一期末）已知向量〃=（L—2）,Z=（3,l）,则a.8=（•山东淄博•高一期末）向量（〃（）的夹角为钝角，则，的范围是

4.20214=24,=-1,

35.（2021•云南玉溪•高一期末）已知a=（2,⑼/=（-1,3）,若々_1〃，则加=

四、解答题（•湖南邵阳•高一期末）已知向量根=--尸（）

6.2019/=sinx,cosx,x£0,g.）2J I2（）若〃求的值；1tanx（兀、一・12⑵若向量加•〃=£,求的值.COS2x---3\37题型三利用转化法求平面向量数量积

一、单选题

1.（2021・四川成都・高一期末）已知向量〃，匕满足卜-0=3,则的最小值为（）999A.-B.------C.9D.—442

二、多选题

2.（2021・江苏・金陵中学高一期末）下列说法正确的是（）已知二

（一）（）若（一〃）〃々，贝」一A.1,2,Z=x,x-1,21x=1在口中，若=+则点是边的中点B.483C

221.4已知正方形的边长为若点“满足则C.A3C1,AM AC=-23若共线,则卜+卜忖+D.a,b1

三、填空题

3.（2021•北京东城•高一期末）已知回中弦A3=6,则A

0.A3=.

4.（2021・陕西安康•高一期末）如图，矩形A8CO中，AB=2,AD=2AC与3交于点O,过点A作AE±BD,垂足为则E,AE.3C=.

四、解答题

5.（2021•广东•高一期末）已知|Q|=4,|=6，a,b=

150.求（）（〃-〃）/;1（）求|々+求

26.（2021•广东揭阳•高一期末）ABC中，己知AB=2,AC=5,ZBAC=60,M、N分别是3C、AC的中点，设AB，=a,AC=b

（1）分别用Q、Z;表示AM和8N;（）设与交于点求的余弦值.2AM BNP,NM/Wz—5i

7.（2021•山西朔州,高一期末）已知z是复数，z-3i为实数，一为纯虚数（i为虚数单位）.2-1

（1）求复数z；_7（）在复平面中，若复数一对应向量，且向量沙_々，求向量人的坐标.2I1,b=2,1-1题型四坐标法求平面向量夹角

一、单选题A.30°B.40°C.60°D.90°

1.（2021•北京西城•高一期末）向量〃=（cos50°,sin50）与〃=（coslO；sinlO）的夹角为（）

2.（2021・湖南咛乡市教育研究中心高一期末）已知向量=

（1）,b=（6,-1）,则〃与b的夹角为（）兀兀兀兀25A.-B.-C.—D.—

63363.（2021•北京市八一中学高一期末）已知点川0,@1（0,0）,（1,0）,则3立/=（）A.--B.--C.1D.—2222

二、填空题

4.（2021•广东惠州•高一期末）已知向量）=（2/），力=（1,一1）,为向量与匕的夹角，则cos6=.

5.（2021•北京・汇文中学高一期末）已知向量〃=（2,0）,人则其夹角（,»=.

6.（2021•北京顺义・高一期末）向量〉了在正方形网格中的位置如图所示，则cosW7=.（•安徽黄山•高一期末）已知向量（附,〃（）且（则向量与向量匕的夹角余弦

7.20215=1,=3,-2,a+»_Lb,Q值为.

三、解答题U U

8.（2021•四川乐山•高一期末）已知q=（l,0）,弓=（0,1）,a=2e+Ae,b=e-e,且a///.1212

（1）求之的值；（）求向量〃与向量夹角的余弦.2c=q+202（,云南玉溪•高一期末）已知|（）且=加

9.2021a|=3-,b=1,2,a（）求的坐标；1（）当儿时;若（）求与的夹角的正弦值.20c=3,-4,c

10.（2021・江苏常州•高一期末）己知是坐标原点，向量04=（2,3）,03=（6,1）,0尸=（乂0）,

（1）若以_LPB，求实数x的值；

（2）当尸A・取最小值时，求的面积.（•山西吕梁•高一期末）已知平面向量（）人=（）且〃一〃与（）共线.

11.2021=3,-2,1,-y c=2,l（）求的值；1V

（2）若m=2+人，〃=〃-c，求向量阳与向量〃所夹角的余弦值.题型五数量积和模求平面向量夹角

一、单选题L（2021•山东泰安・高一期末）已知向量〃=,0）,〃=（-2,2）,则〃与人的夹角为（）

2.（2022•陕西・长安一中高一期末）若两个非零向量〃，〃满足|+切=|”切，则〃与〃的夹角为（）

二、多选题

3.（2021・吉林・汪清县汪清第四中学高一期末）点P是43所在平面内一点，满足则的形状不可能是（）\PB-PC\-\PB PC-2PA\=0,ABC钝角三角形直角三角形A.B.锐角三角形等边三角形C.D.

三、填空题

4.（2021・湖南•高一期末）若向量〃，人满足闷=，历，忖=石，Q.h=-5，则〃与〃的夹角为.

5.（2022•内蒙古包头•高一期末）已知向量||=3,||=2,（〃+2）・（2〃—）=1,则与方的夹角为.

四、解答题

6.（2020・云南•罗平县第二中学高一期末）已知平面向量4,/满足阿=2,b=3,（2a-b）.（〃+3b）=-

34.（）求向量〃与匕的夹角；1

（2）当实数x为何值时，m—b与5+3力垂直.

7.（2021•甘肃・庆阳第六中学高一期末）已知向量与匕的夹角”手，且=3,h=2^2,求〃与Q+b4的夹角的余弦值.题型六坐标公式法求平面向量的模

一、单选题

1.（2021・吉林・长春市第二十九中学高一期末）已知向量=（T2）,b=（x,4）,且々_1八则|6=（）A.275B.473C.475D.8

二、双空题7T

2.（2021•北京通州•高一期末）已知点A（1,1）,点5（5,3）,将向量43绕点A逆时针旋转不，得到向量AC，则点坐标为C;\BC\=.

三、填空题

3.（2022•青海海东•高一期末）已知向量Q=（-4,X）,=（3,2）,若“工人则卜=.（•北京市育英学校高一期末）已知向量〃=）（）则|〃+/|为

4.20210,6,1=1（、

35.（2021•新疆•克拉玛依市第一中学高二期末）已知=（%2）=2,-,若

①-则〃+2匕=\2）

四、解答题

6.（2021•北京昌平・高一期末）已知向量=（1,2）,6=（3,-2）.rr（）求；1ci-b

（2）求向量”与向量分的夹角的余弦值；

（3）若卜卜且（2o+c）JLj求向量〃与向量c的夹角.题型七转化法求平面向量的模

一、单选题jrL（2021・湖南•高一期末）已知向量Q,b的夹角为“=（—3,4）,〃/=10,则匕=（）A.2/2B.2A/3C.373D.4/2

二、多选题

2.（2021•重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCO的边长为1,AB=a^BC=b，AC=c^正确下列说法的是（）在上的投影向量为〃A.a+b=c B.ACr p=逐C.〃k・c）D.a+c

三、填空题

3.（2021・四川资阳•高一期末）已知向量〃与人的夹角为,，且=旧=1,则8-力=

4.（2021•湖北孝感・高一期末）已知向量〃，人满足人=2，=2,且向量〃与人的夹角为60，）27+/=

四、解答题

5.（2021•浙江嘉兴•高一期末）已知平面向量Q,Z满足11=2,|Z|=1,若m=4+2Z,n=-3a+b・（团）求；（）求根+〃.0|2（••高一期末）已知〃

6.2021=2,b=3,=

（1）求向量Q与b的夹角；（）求,+.22

一、单选题jrf1-—

1.（2021・重庆•高一期末）已知］是单位向量，与办的夹角是g,且〃+匕=近，则匕=（A.1B.1C.72D.

22.（2020•天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形）中，A3CZ AB=2,ZDAB=60,EA.4B.-4C.2D.-2UUUUUIU（•河南南阳•高一期末）在锐角中，，

3.2021ABC5=60AB-AC=2则的取值范围为ACB.MTA.0,12C.0,4]D.0,2]为的中点，则的值是（）CD（•江苏南通•高一期末）在中，若点为边所在直线上的一

4.

2021.ABC AB=2AC=3,3c=4,M3c35/2493V15限A.3B.646D.2-8----且满工

5.（2020•浙江温州・高一期末）已知平面向量”1足•匕=a==2,若之为平面单位向量，则个动点，则的最小值为（）4MA+3MB+2MC的最大值che+b-e石A.3B.2^/3C.4D.3

二、多选题

6.（2021•浙江湖州•高一期末）在ABC中，D,£分别是BC,AC的中点，且3C=6,AD=2,则与cosBN面积最大值是3A.ABC12B.、1135C.AD+8E不可能是5D.BEACe22；

7.（2021・湖北鄂州•高一期末）设％），是平面内相交成45角的两条数轴，q©分别是与不轴、》轴正方向同向的单位向量.若向量op=xq+竺2，则把有序数对（％y）叫做向量o尸在斜坐标系X），中的坐标，计作OP=（x,y）.已知在斜坐标系xOy中，向量4=（不y）,05=（/,%），则下列结论正确的是（A.AB=x-x.y-y2]2]若则％々+凹%=°B.4J.O3,-々必C.AB=JX]2+X-2D.右AP=2P3，则0尸二―I1+A1+A（•广东东莞•高一期末）已知与人均为单位向量，其夹角为巴则下列结论正确的是（）

8.2021Q万a+b1=8£0,^-’2A.B.C.a-b1=6£0,y D.7T

9.（2021,广东广州•高一期末）ABC中，A,,AB=AC=2,则下列结论中正确的是（）99A.若G为ABC的重心，则然=-AB+-ACB.若P为边上的一个动点,则AP・A8+AC为定值43C.若、N为边上的两个动点，且MN=及则AA/・AN的最小值为~D.已知是一ABC内部（含边界）一点，若42=1,且AQ=/IAB+4AC,则4+4的最大值是1（,江苏泰州•高一期末）在平面直角坐标系宜为中，的三个顶点，的坐标分别为

10.2021OAB A,3（0,0）,（XJ）,（孙％），设4=a，OB=b，AB=c则（）2c sinAsin BA.q-______________./A.o\°OAB-sinA+82/B.h-\a hC.（R为O钻外接圆的半径）q=_______0AB2RqD.°OAB

11.（2021•浙江•高一期末）已知向量”，b，c满足=2,b=3,a・b=3,c2-2/.c+8=0,则下列说法正确的是（）若则同A.c-h=1B.=2e-3有恒成立若（）贝一.=«—C.Vt eR,2—D.c=4a+l-/l Z,1][41（71\（•浙江•高一期末）如图所示，设苍是平面内相交成角的两条数轴，分别是与

12.2021y0^-q,4x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系X），为反射坐标系，若OM=xq+yG，则把有序数对（）叫做向量的反射坐标，记为在=与的反射坐标系中，x»OM〃=（1,近）1=（0,_1）.则下列结论中，错误的是（）B.匕在〃上的投影向量为一夜C.a.Lb D.Q

三、填空题（•广东广州•高一期末）在一中，忸|=点在边上，且二点

13.2021ABC|A@=6,5,|4|=4,O A3|AB|3|AD|,E是的中点，则AE.BC=.

14.（2021•甘肃・嘉峪关市第一中学高一期末）已知为坐标原点，点4（cos%sin），g（cos/,-sin/）,《（cos（）（））（）则下列式子中一定正确的序号为.a+^,sin o+A,A l,0,

①I小网；

③043=勺・

06.h

15.（2021•浙江嘉兴•高一期末）已知平面向量〃，b，c满足=1，b=2,|〃|2=.入c・（c-2）=0,则2\c-a\2+\c-b\1的最小值为.（,江苏•扬中市第二高级中学高一期末）如图在中，为斜边的中点，

16.2021ABC EA3CD1AB,AB=\,则（CA・C0）（C4・CE）的最大值是.

四、解答题（、jr37r

17.（2021•陕西安康•高一期末）已知点A（3,0）,3（,3）,C（cosa,sina）,ae.1227⑴若卜求°的值；（兀、

（2）若尼・丽=一1,求cos2a的值.

18.（2021・重庆•高一期末）如图，在ABC中，已知ZBAC=120，AB=2,AC=4,点在上，且点E是的中点，连接仍相交于点.AC AD,⑴求线段阳的长；AD,⑵求的余弦值.ZEOD（,云南昆明•高一期末）向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不

19.2021等式等问题.

（1）（回）若］=（3,4），7=（5,12），比较嬴与面向的大小;（团）若［（3,4），.=（6,8），比较嬴与的大小；

（2）,人为非零向量，cz=a，y），/=（%,%），证明a9+y），2）Wx；+犬）（后+£）；am+n

（3）设/%XV为正数，〃22+九2=5,x2+y2=80,+〃y=20,求---------的值.x+y。