专题16平面解析几何B辑（解析版）-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）

备战年高中数学联赛之历年真题汇编20211981-2020专题平面解析几何辑16B高中数学联赛卷第试】在平面直角坐标系中，圆经过点，则圆上的点到原

1.12020B01xOy0,0,2,4,3,3点的距离的最大值为.【答案】2V5【解析】记圆经过点注意到/区直线与的斜率分别为和一故为圆42,4,83,3,0,

43.4=90OB AB11,OA的直径,从而圆般上的点到原点的距离的最大值为|*=2V

5.高中数学联赛卷第试】设、为椭圆的长轴顶点，、为「的两个焦点，团=

2.12019A0143r Eb|44,|4F为上一点，满足则尸的面积为.|=2+V3,P|PE|-|PF|=2,APE【答案】122【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为卷=z2+lab

0.a根据条件得〃22可知2=|A8|=4,a+Va—b=\AF\=2+V3,a=2,b=l,且由椭圆定义知结合得|PE|+|PF|=2Q=4,|PE|-|PF|=2222一2\PE\+\PF\=|PE|+|PF|2\PE\•\PF\=12=\EF\,所以尸尸为直角，进而NE SNEF=9|PE|♦|PF|=

1.高中数学联赛卷第试】在平面直角坐标系中，若以什为圆心、一为半径的圆上存在一点〃

3.12019B011,0a,满足加%〃，则厂的最小值为.【答案】4【解析】由条件知222故2222a—r—I+b=r,4ab=r—a—r—l=2ra—1—a—l.即小—2r—la+2r+

10.上述关于〃的一元二次不等式有解，故判别式［厂—一厂厂一》解得尼21F42+1=440,

4.经检验,当时,次满足条件因此的最小值为r=4a,b=3,2r

4.

224.【2018高中数学联赛A卷第01试】在平面直角坐标系xO，中，椭圆京+弃=lab0的左、右焦点分别是FI，F2，椭圆的弦ST与UV分别平行于x轴与y轴，且相交于点尸.已知线段PU,PS,PV,PT的长分别为1,2,3,6,则△尸尸尸的面积为.2【答案】V15【解析】由对称性，不妨设在第一象限，则由条件知P%p,yp8=H|PT|—|PS|=2,yp=|PH—|PU|=+8Pi0,p0,2「则当时，等号成立.|4B|=Pi+P2=:~J~-+~~T|--=4,6=5211ri1-V3cos01+V3COS01-3COS02其次，满足题设条件的直线恰有三条时，只有两种可能⑴与双曲线左、右两条都相交的只有一条，而仅与右支相交的有两条.此时，与双曲线左右两支都相交的必是轴，X而其两交点的距离为昕但仅与右支相交的两条弦的长拉这不满足题设条件；22,4,⑵与双曲线左、右两支都相交的有两条，而仅与右支相交的只有一条，且这条弦必与轴垂直否则，由对称性知仅x与右支相交的有两条弦，此时[且与双曲线左、右两支都相交的弦长也可满足这个条件，所以48|=4=44=

4.高中数学联赛第试】曲线的极坐标方程是仇点的极坐标是.曲线在它所在的平

27.1199601p=l+cos A2,0面内绕旋转一周，则它扫过的图形的面积是.A【答案】9KJ【解析】,由于f8=1+cos2=1+cosO,所以点在曲线上，为求所扫过的面积，关键算出上一点到的最大距离.对上一点,，有2A A C81+cos\AB\2=1+cos0+4—2x21+cos0cos02工—.=5—2cos0—3cos0=——3fcos0+3\3/3当，等号成立.所以最大值是他cos=-I3y3那么扫过的面积是以为圆心，半径为佟的圆，面积为当加A\33高中数学联赛第试】已知点集/=

28.1199401{%y|%—32+y—424j7}]={x,y|x-4222则点集中的整点即横、纵坐标均为整数的点的个数为.+y-5g},A3【答案】7【解析】如图所示，圆交于两点，整个图形关于Eb M,N连心线尸成轴对称图形，其中是左下靠近E AflB原点的一个月形中整点横坐标可以是S,S x纵坐标可以是对称轴石尸穿1,2,3,4,y2,3,4,5,过新月形经计算可知仅通过一个整点S,CM2,

3.新月形中横坐标为的格点有个S13Q1,521,4£1,

3.这三点的轴对称点顺次是52,2,C3,2,C4,

2.67故共有个整点.7高中数学联赛（第试）】函数/（%）=叱一一一/+的最大值是

29.11992013/6%+13-■1【答案】710【解析】由（）4242））f%=V%—3%—6%+13—V%—%+1=_32_（%2_22_+（12—1）2,可知函数），子力的几何意义是在抛物线产炉上的P1,/）分别到点A（3,2）和点以0,1）的距离之差.因点在抛物线下方，点在抛物线上方，故直线和抛物线相交，48A32V=X决定，3=0X-0-3-0消去得方程％y3/--1=

0.由于该方程常数项为负，故方程必有负根.因三角形两边之差小于第三边，所以，当点位于负根所对应的交点时，人幻有最大值P C|48|=U.

30.11990高中数学联赛（第01试）】设A（2,0）为平面上的一定点,P（S加（2L60）,cos（2，-60））为动点,则当[由变到时，线段尸所扫过的图形的面积是.1545A【答案】6【解析】因故点在单位圆上变动，始点旦（—日），终点，）0/=1,p3PzG图中阴影部分面积是所求面积.因为〃9所以・S P1O4=^AP2OA SMIOB=S2BA故所求面积为扇形哂=”假屋S高中数学联赛（第试）】已知集合/=（）

31.1198701+|y|=a,a0},B={x,y||xy|+1=|x|+\y\].若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则〃的值为.ACB【解析】点集是由顶点为一一〃的正方形的四条边构成如图.A m0,0,a,a,0,0,将变形为|%|-|%y|+1=|x|+|y|l|y|-1=

0.所以，集合是由四条直线构成.B x=±l,y=±1欲使为正八边形的顶点所构成，只有或〃这两种情况.ACW212当时，由于正八边形的边长只能为显然有鱼加故+或.122,2-2=2,a=2⑵当〃时，设正八边形的边长为则加一lv21,1cos45°=3,1=

22.这时，a=V

2.综上所述，的值为+鱼或鱼图中鱼，2A0,B2+V2,

0.高中数学联赛第试】如图，是单位圆的直径.在上任取一点，作交圆周于

32.1198401A3AB若点的坐标为尤，则当工€耐，线段可构成锐角三角形.C0,AD BD,CO【答案】-武，遮一22【解析】因为三条线段，构成锐角三角形的充要条件是其中最大线段的平方小于另两条线段的平方和A BDCD9屈对称性，不妨假设》则三条线段中为最大.所以它们必须满足0441,ZU VBD2+CZ

2.因为是，的比例中项，所以CO A3又因为于是得22=l+x BD=l-x,1+x1-x+1+%1-%.f化简得/+4%—

10.所以％+遮，所以%€-石，花—04V—

222.偷通篦物题艰颂D缀22与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是__________________.

1.1-3,28【答案】尤一些=194【解析】设尢将巡代入求得双曲线方程是卷—9—2=—3,24=9=L圆心在抛物线/上，并且和该抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为

2.=2y y【答案】22和％-22%+1+y—J=1I+y-1=l【解析】抛物线/=的准线方程为=-小2y y-11设所求圆的圆心为，则诏=，且；解得%==了%o yo,2yo|x|=yo+,±1,yo故所求圆的方程为±22I+y-1=

1.故答案为:22和％-22%+1+y-1=1I+y-1=1227T双曲线三―的右焦点为凡离心率为过点尸且倾斜角为的直线与该双曲线交于点、若的1£

3.J=1e,g A B,AB a b J中点为且尸等于半焦距，则？=.M,M【答案】V2【解析】设点，丫，，，则一或=潦一得=8%22Mga1L两式相减，得心笠辿—2普L乙3=0,a b所以的斜率为=纥=孕=遍.AB k一%%12ay又所以点的坐标为|FM|=c,AXFM=p MGc,/c.所以所以？=£=4==1,+4=V2-2x\a0a故答案为V

2.若△的垂心恰是抛物线的焦点，其中是原点，、在抛物线上，则的面积

4.Q43y2=4x A3ZkOAB S=【答案】10V5【解析】抛物线的焦点为尸因尸为△的垂心，则尸，1,

0.043A3,故可设、的坐标为A34a2,2a,BQ2,-2aa

0.于是的方程为0A ay=2x,k=0A尸的斜率心产=岩，据，得=遥，8kBF,k°A=—l因此，2,所以而.4B=4Z h=a=5S^OAB=10故答案为10V5-在平面直角坐标系内，已知抛物线产^与圆％-+丫-产至少有个公共点，其中一个是

5.^QO262=3原点，另外两个在直线产履+b上，那么实数人的最小值是________.【解析】由已知小22，以得

①+b=r,{―1kx—kx—b=0y=kx+b由2得用一比__

②{x-«+y-b=N2/22a]=

0.y—KX1x由于

①的解均是

②的解，所以有一依一23一/c%2b\k x-2kb1%-2a,故当仁时等号成立.b=/c+^2,1故答案为

2.若直线与直线%+互相垂直，则点到直线％+的距离为

6.2%+y—2=0my—1=0Pm,7n y+3=0【答案】立2【解析】直线的斜率为直线的斜率为七=-2x+y-2=0ki=2x+my-l=O因为两直线互相垂直，所以—2x—=-1,解得〃尸・2,故所以点到直线的距离为此券=阻P-2,-2,P x+y+3=0V22故答案为业.222已知△为椭圆二+匕=的内接三角形，且过点则△的面积的最大值为.

7.43C1AB Pl,0,ABC94【答案】23【解析】提示经伸缩变换得△内接于圆染+产过点？一乙AbC=1,486,

0.V t5SMBC=6s“B，C，，设倒Ab的距离为6则，一匕，《一户・04t}MBI=211263/81+t,易知当时，，，，有最大值为这，所以的最大值为日t=§S-B CS^BC g393故答案为如当3设〃是实数，关于的方程〃有个互不相等的根，它们在复平面上对应的个点共

8.Z z2—2z+5z2+2z+l=044圆，则实数的取值范围是________.【答案】同一lavl}U{—3}【解析】由2得z—2z+5=0,Zi=1+2j,z=1-2,2因为有两个不同的根，所以△加，故存Z2+2QZ+1=0=4/—1±

1.若△即一时，=一±.因为，，在复平面上对应的点构成等腰梯形或者=44—10,141z Z1Z2Z3*434矩形，此时四点共圆，所以，一满足条件.若△即间时，=-±衣二是实根，在复平面上对应的点在实轴上，仅当为、对应的点在以=44—10,1z1Z2Z3/4对应的点为直径的圆周上时，四点共圆，此圆方程为=-学弩2+y2=1,整理得/一22将点代入得〃=—Z3+Z4%+Z3Z4+y2=o,Bp x+2ax+l+y=0,1,±

23.综上所述，满足条件的实数的取值范围是㈤一〃a11}U{-3}.故答案为{|—3}.

9.若实数％、y满足％-4行=2—y,则％的取值范围是___________.【答案】{0}U[4,20]【解析】令、此时，226=-y=ba bO,x=y+x—y=a+b,且题设等式化为小+坟—4a=2b.于是，、满足方程

2、a b a-22+b—l=5a b

0.如图，在平面内，点的轨迹是以为圆心、遍为半径的圆在、的部分，即点与弧出电并集.aOb a,b1,2a b20故+炉{0}u[2,275].e从而，%=22a+b e{0}U[4,20].已知为抛物线上的动点，点、在轴上，尸+是的内切圆.则力「就最小值

10.P y2=2%B C y x—1y2=i4PBC为・【答案】8【解析】设，、、P%o yBo,b C0,c,不妨设〉，=含/%,-b c,P8y—b BPybx-x y+x b=

0.0o o\yo-b+x b\_4o又圆心到的距离为即就1,0PB1,Ji2+=I故仇-炉+鬲=22y-b+2x by-b+x^b.0o o易知％上式化简得%-炉+o2,22y0b-x=O.o同理，2x-2c+2y c-x=

0.0o0所以，=汽，=台.则b+c beb_c2=i^|^.X-2XQ-20y%O-22因为尸,%是抛物线上的点，所以，羽贝—=卫=

2.Ijb—c2=T1=b3%0-2XQ-2故力-=,%SMBC=2C%=%0-2+—^―+42V4+4=

8.LXQ—Z XQ-Z当%时，上式取等号，此时，0—22=4Xo=4,y=+2V

2.0因此，的最小值为・S“BC

811.若点P%O，M对椭圆E:二+必=1与双曲线比/一犬=1的切点弦互相垂直，则资=__________________人440【答案】±1【解析】点，对椭圆与双曲线的切点弦所在直线方程分别为宁+一詈=・P%o yE Hyy0=1,XX1由这两条直线垂直知©，%,而，一半==密一羽==氏=±

1.故答案为±122已知双曲线.一标=/的两个焦点分别为一过点的直线与该双曲线的右支交于、/两

12.1041,0,81,0,B EM点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，则该双曲线的实轴长为.ZMMN N[J2/85+34V217【解析】由双曲线定义知

①②|AM|-|BM|=2a,\AN\-\BN\=2a•由题设得|AM|=y/2\AN\=yf2\MN\=V2|BM|+|BN|.结合式

①、

②得14Ml=4a\BM\=2a.t在中，由余弦定理得2VlMB222O222\AB\=\AM\+\MB\-2|71M||MB|45=4=16a+4a-842aCOS-2_1_5+22785+3472=中=^^==Q2-m-平面直角坐标系中，直线/过双曲线——的一个焦点，且与双曲线交于/、两点.若以为直径的圆与轴

13.i B48yy2=相切，则|/引=.【答案】2+2V2【解析】易知，双曲线％一的两个焦点为（土加）,o.2y2=1不失一般性，设直线/过右焦点（）VXo.（）当月与％轴不垂直时，设直线的方程为=做工—企），将其代入双曲线方程并整理得（）或攵181y1—1/+2%一

（2）2k+1=

0.2显然，kW±

1.由韦达定理知丁2/C2++X=22Xi%21设（，丫）•则=、％是上述一元二次方程的两根.8%2212故由弦长公式得=」（例）；；）侬）_yrn^22222+1=^

2.另一方面，线段的中点到轴的距离|詈|二禹./B My d=若以为直径的圆与轴相切,则y|4B|=2d,即空署.凿今/=+应=|阴=爸署回=21=2+2（）当与不轴垂直时，直线的方程为％=鱼，点、的坐标为的中点例到轴的距离214B48y4=不符合相切的条件.V21,综上，线段的长为企.2+2已知△三个顶点均在抛物线（）上，且△的重心恰为抛物线的焦点.若边所在直线方程为

14.ABC2Px p0ABCy2=则4%+y-20=0,p=.【答案】p=8【解析】设4篇，%）、-（荼％）、C篇，乃）・由:集0=2y2+py-20P=

0.=一孩

①72+73由己知得＜2P2p PJ{2p2={y2y3+、+、yi2+〃3=0V12+%=°

③④yl+yl+yl=3P2由式

①、

③得乙yi=§.代入式

④与

①、

②联立解得p=

8.22设是椭圆巳+金=＞匕＞的一个顶点，已知直线与椭圆交于、两点，且

15.40/la0y=%-3P Q44PQ OfD的重心是椭圆的右焦点则椭圆的右焦点坐标为O【答案】曰西V197【解析】如图，设，、，，椭圆的右焦点P%1%Q%2y2Fc,0则由的重心公式有=小，=空丝ZMPQ c0J J从而，+丫+%2=3c,y12=-b.T旧』尸3+优-%+%将哼爰，相减得f|+=1+4=1=022222，a b a ba b又泞则夸+空====十=儿,

②1=1,2|+3乙z%L%2a b2Q/b由式

①知的中点顺手,一今PQ因为点在直线上，所以，

③M PQY=5-3=b+3c=

6.由及式

②、

③消去如得bq2=b2+c2产226-3c+c=36-3cc=19c-54c+36=0解得=/与c19但由式

③有则cv2,c=19故右焦点坐标为安渔,0设过点的直线/与抛物线交于点/、与圆交于点、若且

16.M2,04%B,16D14cl=|8D|y2=2+*=则直线的方程为|W|CD|,Z o【答案】％=2,y—2%+4=0,y+2x—4=0【解析】在儿、、的中排列中,同时满足且的有如下种:；；B C24|4C|=|BD||4B|H|CD|8A CD BA DC BB Cf f f fffff；；；；；D,AB,D,C,A C,A,B,D D,A,B,C C,B,A,D D,B,A,Ce它们的共同特点是，线段与线段的中点重合AB CD设直线上

①x=my+

2.将直线与抛物线联立，消去工得关于的一元二次方程1y2=4%y y2-4my-8=0于是，区中点的纵坐标为小4=2同理，中点的纵坐标为、=喘%CD:工由与的中点重合得〃CO2m=4I LIJL]从而，2m4m-1=0=m=0,±|o所以，满足条件的直线/共有三条％=2,y-2%+4=0/+2%-4=0已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点到其渐近线的距离为独.若过点作斜率为叱的直

17.P-2,0P32线交双曲线于、两点，交轴于点且是与尸的等比中项，则双曲线的半焦距为.48y M,PM PA8【答案】B或⑶【解析】设渐近线的方程为y=/cc由题设得詈丝，解得忆=+四.=F V1+/C23—故双曲线的渐近线方程为y=±V2x.设双曲线的方程为27—

0.y2=设，丫、直线的方程为=涯％+代入双曲线方程消去得一4%11sx,y,AB y2,y3/4%-2/1-4=

0.222当/=即一|时，上面的方程恰有两实根，且16+1224+40,4X X12-—,4+

2.+%2=由题设知，2可化为PM=PA-PB,1%+2g+2|=44|=4=|%1%2+2%1+-2+94=|--A+2+2x-+4|=

4.33解得；或；I=2I=

14.1,即尸进而由/=得2,I.|PU|=1,|PS|=2U2,2,S4,1,代入椭圆的方程知C4*+

4.3=16*+*=1,解得小=23420,b=

5.从而2乙SNF2=9IF/2I・|yp|=Va2-b-y P=V

15.高中数学联赛卷第试】设抛物线的准线与轴交于点过点以一作一直线/与抛物线

5.12018B01C y=2x x A,1,0相切于点过点作/的平行线，与抛物线交于点则△的面积为.C K,A M,N,KMN【答案】；22【高中数学联赛卷第试】在平面直角坐标系中，椭圆的方程为晟+言=产为的上

6.217A1x°y C1,0焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形产的面积的最大值为AC P C4P【答案】亨【解析】易知、.设的坐标是A3,0F0,1P3cose,JIUsine,e e0,则形S〉S/w o/PF=^OAP+S OFP=

93.Vitsin+1-1-3cos0==-VlOsin0+cos^^sin6+p.22其中9=呼.arctan【解析】设直线/与的斜率为匕则/:%=-.Jy-K KZ将/与联立，得方程由条件知其判别式为零，故女=±第.Cy2—y+2=0,将与联立，得方程MN Cy2—jy+2=0,于是耳WM-y N\=Jy“+YN2-4y“yN=-4=2,结合/与平行，MN可知S^KMN=S^BMN=|SaM—S^BAN1=1,\AB\.|y-y|=

1.M N因此，双曲线的方程为4562或22x—y=22/—y=14ni一艺=或、一i e=

1.2714所以，双曲线的半焦距为，或=B=vn.故答案为或已知、分别是中心在坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线的左、右焦点，过尸的直线/与双曲线的右支

18.Fi F2C2交于两点，，、，分别为』乙尸、尸/的内心.若双曲线的离心率为直线/的倾斜角4812424822,=的正弦值为:则双曲线的方程为.C【答案】9土—匕=1412【解析】设双曲线的方程为与2―马2=半焦距+炉.已C1a0b0,C=7a2a bz记得内切圆与％轴、、尸的切点分别为、、ZL4F1F2442E P Q.则4P=AQ,RE=F]P,F E=F Q.22故-AF=2a,F F=2c=F1E=c+a,F E=c-a.2122从而，即为双曲线的右顶点.E记得内切圆与工轴、、的切点分别为、、480F2BFi BF2R S.类似可得所为双曲线的右顶点.故点与重合.E从而，/小，工轴.由双曲线的离心率得C2=2,c=2a=F Q=F2s=c—a=a.2联结、AQ IS.2在直角梯形中，乙在直线，的倾斜角，即//SQ Q//sin4Q/i/2=l QO―则；222a=QS=/Jzsin/QW=x=4=a=2,c=4,b=Vc-a=2^

3.47故双曲线的方程为上一匕C=

1.61222过双曲线噎

一、的左焦点尸的直线呜双曲线的右支交于点，与圆/恰好切于

19.C k=1b0CP+y2=2Q线段的中点则直线的斜率为.FP Z【答案】|【解析】设双曲线右焦点为，原点为则为/的中位线.Fi

0.OM PF由双曲线定义知一|FP||P|=2a.由2222则・FM=VFO—OM=Vc—a=b,|PF|=2b而2b—2a=2a=b=2a.于是，直线的斜率为/尸=£=j2cMtan4P22过双曲线三一的右焦点尸作轴，与双曲线交于点名、%,为与左焦点的

20.4=1a0,b08/2Fi2a b*连线与双曲线交于点联结从与％轴交于点则〃的横坐标为.8,8H.2【答案】—匕C【解析】由题设得々c,—

9.b2c2+4a2c2由韦达定理得CXB=匕

2.4c2将直线为与双曲线方程联立得％白一—1-92—2=

0.由梅涅劳斯定理知器=鬻*需=2・瞽=著瓦.rir roo2C—Xg ZC—u【答案】1-V1722【解析】二次曲线的方程可以写成―七―匕=

1.Q/a22显然必须有一〉故二次曲线为双曲线，其标准方程为万-Q0,4=

1.y[-aY-a2则222=V—^+—a=a—a,注意到焦距可知小―又〃所以=上弃.2c=4,a=4,0,a高中数学联赛第试】双曲线的方程为/—左、右焦点分别为凡,尸.过点作一直线与双曲线

8.1201601¥=1,2F2的右半支交于点、使得///=，则△的内切圆半径是.PQ,90QPQ【答案】V7-1【解析】由双曲线的性质知，FIF2=2XSTTZ=4,PF]—PF2=QF,—QF2=

2.因乙故FIPQ=90°,PF/+PF^=FiF3因止匕叩+分一一口PF]+PF=J2P PFPF[PF22=2x42-22=

277.2从而直角△的内切圆半径是BPQ抑r=FiP+PQ-FiQ=|PF.+PF-a-QFQ=b-

1.高中数学联赛第试】在平面直角坐标系中，点集

9.1201501xOy K={Qy||%|+|3y|—6|3%|+|y|-6所对应的平面区域的面积为.0}【答案】24【解析】设《={%,y||x|+|3y|—640},先考虑在第一象限中的部分，此时有Ki x+3y46,故这些点对应于图中的△及其内部，由对称性知，对应的区域是图中以原点为中心的菱形及其内部.OC KABCO同理，设七={%,y||3x|+|y|-60],则《对应的区域是图中以为中心的菱形及其内部.O ErGH由点集的定义知，所对应的平面区域是被，氏中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区K KK域的面积S.由于直线的方程为％+直线的方程为CD3y=6,GH3%+y=6,故它们的交点的坐标为|,|,由对称性知P S=8S/CPG=8x x4x|=

24.高中数学联赛第试】设椭圆的两个焦点是分，出,过点的直线与交于点若

10.1201401r8r P,Q,IP且引则椭圆的短轴与长轴的比值为.F\=PF1I==4|QFJ,2【答案】丁【解析】不妨设记椭圆的长轴、短轴的长度分别为焦距为|PFi|=4,|QFi|=3,r2m2b,2c,^\\PF\=2=2c,且由椭圆的定义知2Q=|Q|+\QF2\=[PF/+\PF2\=2c+4,于是IQF2I=1PF/+\PF\-\QF\=2c+l,2r设”为线段尸的中点，则〃Fi|Fi|=2,|QH|=5,且有由勾股定理知『22=内「一因”|F H±PF„|QF2-\QH\=\F H\2/2,22即222解得2c+I-52=2c-2,c=5,进而因此椭圆的短轴与长轴的比值为a=7b=2V6,r2=a7f高中数学联赛第试】若实数满足％—仔=则的取值范围是.

11.1201301x,y42/71x【答案】{0}U[4,20][解析]令=见》此时％226~y=ba,b0,=y+x-y=a+b9且条件中等式化为小2从而满足方程22+b-4a=2b,a,ba—2+/-l=5a,b

0.如图所示，在平面内，点，份的轨迹是以为圆心，石为半径的圆在的部分，即点与弧Oh1,2m A的并集.CB因此，出+炉从而22{0}J[2,275],x=a+b E{0}U[4,20].e高中数学联赛第试】抛物线〃仍的焦点为准线为/,是抛物线上的两个动

12.12012012X0F,4B点，且满足/田=，设线段A3的中点M在/上的投影为N,则黑的最大值是________________________.3|/io|【答案】1【解析】解法一设乙4BF=000y则由正弦定理,得焉=需川_（冬-|45|+|8sin9+sin6）.7Tsin-如图，由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得期也产所以需=故当患寸，翳取得最大值为M=cose—e=

1.解法二由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得此斗也，|MN|=在△中，由余弦定理，得AM712|/尸|+出产|2|4B|=22-2\AF\•|5F|cos-=\AF\+\BF\-3\AF\•\BF\KJ MFI+\BF\y-3=^^12=|MN|

2.当且仅当时,等号成立.MFI=|BF|故鬻的最大值为L明高中数学联赛第试】直线，与抛物线交于两点，为抛物线上的一点,

13.1201101x—2-1=04x A,B C则点的坐标为.ZACB=90°,【答案】一或1,29,-6【解析】设，24%i yBx,y,Ct,2t,

22、,x—2y—1=0,叫2y2=4x W-8y-4=0,则+丫y12=8,y1y2~-

4.又％，i=2yl+l,x=2y2+12所以％i+x=2yi+y+2=18,x x=4yly2+2yi+y+1=

1.22r22因为所以方方NACB=90°,♦=0,即有产-2一%+xJCt2t-%2t—y=0,22即22F-%1+X t+x+4t-201+y t+y y=0,2X122r2即六一即/214t2-16t-3=0,+4t+3t-4t-1=0,显然户一七—否则/一・则点在直线％—上，410,221—1=0,2y—1=0从而点与点或点重合.C AB所以产+解得4t+3=0,£1=—1,t=-

3.2故所求点的坐标为或C1,—29,-

6.高中数学联赛第试】双曲线二］的右半支与直线—围成的区域内部不含边界整点

14.1201001V10纵、横坐标均为整数的点的个数是.【答案】9800【解析】由对称性知，只要先考虑轴上方的情况，x设与双曲线右半支交于交直线于，y=k k=12…,99A,%=100Bk则线段乙为内部的整点的个数为七从而在轴上方区域内部整点的个数为99—x99-k=99x49=4851,又轴上有个整点，所以所求整点的个数为x982X4851+98=

9800.高中数学联赛（第试）】知直线和圆点在直线上,

15.1200901L x+y—9=0ZF+Zy—8x—8y—1=0,A L为圆上两点，在△中，，过圆心则点横坐标范围为.B,M A3C NE4c=45A3A【答案】34a46【解析】设〃），则圆心到直线的距离9—M ACd=|4M|sin45°,由直线与圆相交，得学,AC Md4解得3a

6.22高中数学联赛（第试）】椭圆台+力=（匕）上任意两点尸，若，则乘积

16.120090110Q,OPJ_|OP2Q2b2【答案】1a・的最小值为.||OQ|【解析】设「（），（（（|OP|cos a|OP|sin Q|OQ|cos e±J|OQ|sin e±g由点在椭圆上，有P,7_cos01sin20ZL-X2=2+2U\OP\a b高中数学联赛第试】若正方形的一条边在直线上，另外两个顶点在抛物线产/上.则该

18.120050143CO=2x—17正方形面积的最小值为.【答案】8072高中数学联赛（第试）】已知椭圆孑+-=的左右焦点分别为凡与，点在直线-巡

17.12006011B Py+164上.当/尸尸取最大值，窝的比值为8+28=02【答案】V3-1【解析】由平面几何知，要使最大，则过三点的圆必定和直线/相切于点产,设直线/交轴于NPF2xA（一一百,）则尸，820,44P=4/即△4PF「△gP，即露=需

①尸松户11I421又由圆累定理

②|AP|2=\AF\•\AF\r2而

（一）（次,）,

（一）从而有，28,0,F2248—27^0,=Q\AF\=8+46t2代入式

①与

②得霭=照=1-^==74-2V3=V3-

1.区乃|PFzl7178+46【解析】设正方形的边在直线上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为，如力，则A3y=2%-17C%i%,所在直线的方程D Iy=2x+b,将直线/的方程与抛物线方程联立，得％仇所以土不2=2%+%,2=1VF T,令正方形边长为则小=/_%2+令_2a,y222

①=5a—x=206+1L2在上任取一点它到直线的距离为〃，所以=等

②6,-5,y=2x+b将式

①与

②联立解得坊=所以2或层=3/2=63,a=

801280.故=

80.高中数学联赛第试】在平面直角坐标系中，给定两点和，点在轴上移动，当

19.1200401xOy M—l,2Nl4,P x取最大值时，点的横坐标为.NMPN P【答案】1【解析】经过两点的圆的圆心在线段的垂直平分线上，M,N MNy=3—%设圆心为则圆的方程为％222Sa,3—4,S-a+y-3+a=21+a.对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减少而角度增大，所以，当取最大值时，经过NMPN M,尸三点的圆必与轴相切于点即圆的方程中的值必须满足N,S,x PS21+Q2=Q—32,解得或4=—

7.即对应的切点分别为和Pl,0P—7,0而过点的圆的半径大于过点的圆的半径，所以乙＞乙故点为所求，所以点的横坐标为N,P N,P MPNMPN,Pl,0P

1.22高中数学联赛第试】设是椭圆三+一=的两个焦点，尸是椭圆上的点，且

20.1200301FL1|PF/:|PF2|=94则的面积等于.2:1,【答案】4【解析】设椭圆的长轴、短轴的长及焦距分别为〃，则由其方程知故22b,2c,Q=3,Z=2,c=V5,|PF/+\PF2\=2Q=

6.又已知故可得|PFJ IPF2I=2:1,IPI=4JPF|=

2.2在△尸厂内中,三边之长分别为石,而2遍齐2,4,222+4=2可见△是直角三角形，且两直角边的长为和PBF224,故△的面积=・乙PFiFz|PFi|[PF2|=3x2x4=

4.乙高中数学联赛（第试）】椭圆的短轴长等于_______________.

21.1200101p=2—COStz【答案】w【解析1由及炉2得，re=-=\p=—=1=a--2b=a2ct3从而=言.2b高中数学联赛（第试）】在椭圆巳+2+2（＞力＞）中，记左焦点为右顶点为短轴上方，z

22.1200001=1“0F,A,a b的端点为区若该椭圆的离心率是与1，则NA3F=.【答案】900卫生娈且【解析】对数据敏感就会发现£=与1=是方程%的根，1=0a22+%—2x1代入整理得/2从而恰好符合射影定理，于是乙+ac-a=0,ac=/,4BF=90°.高中数学联赛（第试）】已知点在双曲线2孑-一2二上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰

23.1199901P1P169是产到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，尸的横坐标是.【答案】一苫【解析】记半实釉、半虚轴、半焦距的长分别为

①离心率为点到右准线/的距离为贝b,C,e,P d,Ua=4,bo rC5，一,=c=5,e=—=a4右准线/为=《=孩，X c5如果尸在双曲线右支，则|P|=\PF\+2a=ed+2a,2从而|尸|+（）＞\PF\=ed+2a+ed=2ed+2a2d,2而这是不可能的.故尸在双曲线的左支，有|P|—|PFil=2a,\PF\+\PF\=2d,21两式相加,得2|PFzl=2a+2d,所以X|PF|=ed,d==J-=

16.2e—1——14因此，的横坐标为P£—16=—%.1高中数学联赛（第试）]已知直线中的是取自集合｛

24.199901Qx+Zy+c=0b,c-3,—2,—1,0,1,｝中的个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是.2,33【答案】43【解析】设倾斜角为则—三〉a tan6=0,b不妨设，所以0b

0.（）有种取法,有种取法,排除个重复（为）与产为同一直线），故这样的直l c=0,a3323%—30,2%—2=0x—0线有（条）3x3—2=7⑵今则〃有种取法，匕有种取法，有种取法，且其中任意条直线均不相同，故这样的直线有0,33423x3x（条）.4=36所以符合要求的直线有（条）.7+36=43高中数学联赛（第试）】若椭圆一+（）与抛物线/有公共点，则实数的取值范

25.11998014y—a2=4=2y围是.【答案】—14a4O【解析】解法一由％（）2可设%=仇，2+4y-a=42cos y=a+sin代入/=得=（），2y4cos22a+sin所以2=（），a=2cos2-sin0=2-2sin0-sin-2sin+1+9因为—所以（+工）《交，从而—《14sin41,04sin14a\4/168解法二题目条件等价于方程（）2有非负解.2y+4y-a=4此即方程必—（=有非负解.2a—3y+M—1故石/=（2a—工）—4（Q2-1）=-2a0,2a-----------------F/------2a0,\2/4274解得—《三14aO2高中数学联赛（第试）】双曲线的右焦点作直线/交双曲线于两点，若实数入使

26.119970114,B得的直线/恰有条，则上.=23【答案】42【解析】首先，应注意到下列结论过双曲线/-的右焦点且与右支交于两点的弦，5=1当且仅当该弦与轴垂直时，取得最小长度过x=

4.a（事实上，该双曲线的极坐标方程为又设是过右焦点尸仅与右支相交的弦，（，），（0=A34P1B p2m当时,四边形面积的最大值为6=arctanVTU OAPF高中数学联赛卷第试】设为非零实数，在平面直角坐标系中，二次曲线＞+/+

7.12017B01q xOy2=的焦距为%则的值为2分1__sin20cos2022abI|OQ|2-

①+

②得高+春于是当|OP|=|OQI=、怪马寸，|尸|・IOQI达到最小值富•。