专题17三角函数与解三角形第四缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编2015-2021

备战年高中数学联赛之历年真题分类汇编20222015・2021专题三角函数与解三角形第四缉

171.12016年新疆预赛】函数/%=cos2x+2|sinx|的最大值为【答案】|【解析】依题意知fx=1—2sin2x+2|sinx|=-2|sin%|-12+|.又|sinx|E[0,1],故当|sinx|=时，/%取得最大值未

2.[2016年新疆预赛】设△ABC的乙

4、△

8、乙C的对边分别为a、b、c,且满足acosB—bcosA=3c.则5tanAtanF【答案】9【解析】由余弦定理得・亨士—b・也W2ac2bc5=a2_b2=，25从而，由正弦定理得a2+c2-b200c-------玄__9tanA_sinAcosB_atanF sinFcoSi4b2+c2-a2Z2+c2-a2b2bc

3.[2016年四川预赛】若实数a、B、y构成以2为公比的等比数列，sina、sinp、siny构成等比数列，则cosa=.【答案】【解析】设夕=2a,y=4a.由sin/7_siny=sin2a_sin4asina sinBsina sin2a2sina-cosa2sin2a-cos2a=----------------=-------------------=2cosa—cosa—1=0sina sin2aABC今cosA=4sin--sin—•sin—222=cosA-1+cosB+cosC=cosB+cosC=1V2今cosC=1——.

226.[2015年吉林预赛】已知函数f%=sin3%+f,sin3%+“0的最小正周期为兀则/%在区间0⑶上的值域为【答案】亭n4J【解析】由题意可得[V^sin2s%++1,/%=cosox xy sins:+coseox=~xn5-,-7Tsin2%+E-y,14’4由最小正周期公式可得篝=7T,则3=1,函数的解析式为/%=封“2%+勺+¥，函数的值域0,三上..

4.

27.[2015年湖南预赛】已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍.则该三角形的周长为【答案】15【解析】设448C的三边长48=n+1,BC=n,AC=n-l,边4C所对的角氏边48所对的角为2夕n-l n+1n+1=2cos6,sinO sin20n-1据正弦定理、余弦定理，分别有n+l2+n2-n-l2_n+4cos02nn+l2n+l*由

①、

②得n+l n+4-——=——=几=

5.n-1n+l故三角形的周长为

15.28・【2015年湖北预赛】已知顶角为2的等腰三角形的底边长为a,腰长为江则黑的值为【解析】由已知得a=2/jsinl0°.故+〃=8fo3sin310°+b3=8b3•3sinl0°-sin30°+b3=6b3sinl0°a3+b36Z3sinlO°o—S—-------------------—ab22fosinl00-d

229.[2015年湖北预赛】已知点P在R348C所在的平面内，ABAC=90°,4CAP为锐角，且|而|=2,而・AC=2而•砺=

1.当|荏+1工+而|取得最小值是，tan乙C4P=.9【答案】v【解析】设4C4P=a.由题意知4b4P=--a.2由|4P|=2,AP-AC=2,AP-AB=12・2当且仅当注二岁，即tana=4smza cosa=AC,\AB\=产时，|通+照+而|取得最小值最2sincrcosa

30.[2015年黑龙江预1----*-----»------*-”2+2AB-AC+2AB-AP+2AC•AP2=\AB+AC+AP赛】已知％、y E—,a ER,且/+sin%—2a=0,4y+」sin2y+3a=0,则L44J2_siMa+cos2a siMa+cos2a cos2a sin2a45+10--------------；------114sin2a cos2a4sinza cosza4cosx+2y的值为cos2a sin2a49，【答案】14sin2a cos2a4【解析】联立方程，消去a得％=-2y=cosx+2y=

1.

31.【2015年河南预赛】设f%=誓%€0,

1.则%=/无+/1—%的最小值为入【答案】8【解析】7rxcos7ix-2sin7rx6-7r2x2sin7ix-27rxcos7rxX3X3接下来证明6—7r2x2sin7rx-27rxeOSTTX

0.设t=nx E0,TT.贝|J6-7r2x2sin7rx—2TCXCOSTIX=6-t2sint—2tcost=pt,于是，pt=4-t2cost.易知，pt在区间0,刍上递增，在区间2上递减，在区间2,7T上递增.又po=o,po o,故t Go,又时,pto,即％e o」时，/〃%o.从而，/%为区间0,1上的下凸函数.由琴生不等式，知当工60,1时，回”2之/史用=/©=

4.故g%8,等式根号成立当且仅当％=因此，所求gx的最小值为

832.[2015年甘肃预赛】已知^ABC的外接圆半径为R,且2Rsin2A-sin2C=V2a一bs出入其中,a、b分别为NA、NB的对边则NC的大小为【答案】450【解析】题设等式结合正弦定理得:a2—c2=V2a—bb,a2+b2-c2=42ab,「a2+b2-c2V2=cosc=-------------=—2ab

233.【2015年福建预赛】若siW+sing+…+sinr=an,则正整数九的最小值为【答案】4注意到，24咤3吟=2口2/C-1TT2/C+1TT\712n+l7Tcos-----------cos--------------------------------1818=COS COS181847r.7T n2n+l7T=cos—71=cos---7-1---cos2n+l7T2n+ljr八=tan-sin—=cos---------cos-----------------=cos----------=0918181818181818【解析】==9k+4/c eZ.故正整数九的最小值为

4.34・12015高中数学联赛第01试】若实数a满足cosa=tana,则自+cos%的值为【解析】由条件知cos2a=sincr,反复利用此结论，并注意到cos2a+sin2a=1,得+cos4a=+sin2a=1+sincr+1—cos2a=2+sina-cos2a=

2.sina sina3+sm°

35.【2015高中数学联赛第01试】设3为正实数，若存在a,b7r《a Vb42兀，使得sinaa+sincob=2,则3的取值范围是.【答案】,|U+°°L42J4/【解析】由sin3a+sin3b=2知sin3a=sin3b=1,而[aa,3b]U[OJTT,2a n],故题目条件等价于存在整数上/Z/,使得3兀42/^+3〈2玩+5423

①当时区间[3区23]的长度不小于4兀，故必存在攵，/满足式

①.当0V3V4时,注意到237]C0,8兀，故仅需考虑如下几种情况za7r-—2071,此时34工且3无解；2224，37T4——21719此时有24349；224,2iiia7i——2am,此时有史得史《3V

4.22424综合情形⑺，，，位，并注意到3》4亦满足条件，可知3卢,+E UU

8..42J4/=cosa=一三或

1.2若cosa=1,贝ijsina=0舍去・从而，COSOC——.

24.[2016年江西预赛】如图,P为正方形ABCD内切圆上的一点，记4/PC=a/BPD=/则tan2a+tan213=.【答案】8【解析】如图，建立直角坐标系.设圆方程为/+丫2=丁2则正方形顶点坐标分别为4-乙-r,Br,-r,cr,r,d-r,r1-sinBkpD1+cos故tan2a=2=4cos-sine2若尸rcosars讥6,则直线PA、PB、PC、PD的斜率分别为心力=黑!,^^二—黑!，七=一三翳，16%+-8,当且仅当％=曲寸，上式等号成立.84又16sin兀％•cosTix=8sin2兀X8,

①当且仅当％二+心忆£2时，式

①等号成立.于是，当％0时，方程只有解％=.4由奇函数的性质，知％=-为另一解.4故方程的解集为{%-J

7.[2016年甘肃预赛】已知函数/无=sina x+cosooxa0,x6R,若函数/%在区间一®⑹内单调递增,且函数/%的图像关于直线％=3对称，则3的值为.【答案】v【解析】由/%在区间-®⑹内单调递增，且/%的图像关于直线％=3对称，可得2口四,且/3=sino+3cosz2=鱼=sina2+=1,所以a2+=]03=].考点:本题主要考查三角函数的性质.1声视频D

8.【2016高中数学联赛第01试】设函数“%=si喏了+cos§,其中攵是一个正整数.若对任意实数，均有{/Q|Q V%Q+1}={/%|%GR},则攵的最小值为.【答案】162【解析】由条件知，/x=sin2—+cos2—-2sin2—cos2—、,\1010/1010r

1.=1——sin22kx其中当且仅当％二等6€Z时，«r取到最大值.K=y2=4sin4%•cos2x2根据条件知，任意一个长为1的开区间3,+1至少包含一个最大值点,从而即Q5加k反之，当Q5兀时，任意一个开区间m+1均包含“X的一个完整周期,此时{/%|Q%a+1]={/%|x eR}成立.综上可知，正整数攵的最小值为[5扪+1=

16.

9.【2015年全国】若tan=cosc,则--------------l-cos46Z=__________sina【答案】2后负【解析】由100=以%々有地空=以光％$由=0$20，而sin21+cos2a=1,求出COSH=cos a2值舍去，所以」一+cos%f=—二+cos4a=———r+\=2sina cos~a_1+,512J

10.[2015年全国】设3为正实数.若存在@、b Ttab2TT,使得sina+sin3b=2,则3的取值范围是.【答案】3eg|]u卓,+8【解析】由sin3a+sin3b=2=sina a=sin3b=

1.而U[a再23兀],故已知条件等价于存在整数底ZfcZ,使得由2a+]2阮+三2川兀

①当324时，区间[3兀,23兀]的长度不小于4兀，故必存在晨1满足式

①.当004时,注意到，[a7t,2a7t]G0,8K.故只要考虑如下几种情形160714--42tt71,此时，34-，旦32-，无解；222426071——2CO719此时，39；2242,9/c、,9兀,13兀,.I r..13,13,,33兀工——V—工26071,此时，——〈3一=——43V

4.4,4,222综上，并注意到3之4也满足条件，知3E U\~»+

00.故答案为06[~/|]U[^/+°°

11.【2015年浙江预赛】若16$也16弥10,则cos4%=2%+52%=【答案】乙【解析】设t=16sin2xlt

16.则]竺.6cos2工-16l-sin2x_L代入原方程得t+芋=10=t=2或

8.解得siM%=三或三.44从■而1，cos4x=--

212.[2015年上海预赛】已知cos6+V3sin50-cos50,其中，0e[-兀,兀].则的取值范围是.【答案】一兀，一千口%兀4J L4J【解析】注意到，cos+V3sin50—cos500—cos0+3cos的—sin0+3sin

50.22由/%=噂%+3%5为R上的增函数，知原不等式等价于/cosfsin68E[-n,n]=cosOsin00G[-TT,TT]3〃3TT0-7i6——二或:兀

4413.【2015年上海预赛】有一个单摆，在夏季摆的周期T=1秒，到了冬季，摆长缩短了厘米,在冬季这只单摆在24小时中比在冬季大约快秒精确到1秒.注单摆周期公式为T=2其中，周期T的单位为秒，摆长1的单位为厘米，重力加速度g=980厘米/秒

2.【答案】17【解析】将T=1秒代入公式得2夏季摆长/=5厘米，冬季摆长厘米，冬季摆的周期T=2兀耳秒.故24小时内冬季摆比夏季的快约为24x60x T-T=17秒

14.[2015年新疆预赛】已知n为正整数厕lgl

2、lg

75、原彦一16n+947这三个数能构成个不同的三角形.【解析】由三角不等式得lgn2-16n+947lg75+lgl2,lgn2-16n+947lg75-lgl

2.则丑n2-16n+

947900.12由〃为整数，知九2—16九+947也为整数.故7层一+

947899.16n于是，〃的取值可以为4⑸…,

12.注意到，函数/n=n2-16n+947=n-82+883的图像关于几=8对称.故f4=f12J5=f11J6=/10J7=f

9.从而，/n=n2-16n+947只能取到五个不同的值.因此，lgl

2、lg

75、电n2一i6n+947这三个数能构成5个不同的三角形.

15.【2015年新疆预赛】已知/均为锐角，且l+tanal+tan/=2Ma+S=【答案】4【解析】由已知得tana+tan^=tan a+夕==

1.1-tanatan/tana+tan£=1—tana•tan^因为a、S E0,5,所以，a+S=£

16.[2015年四川预赛】设%+sinx-cosx-1=0,2cosy—2y+TT+4=0,则sin2x—y的值为【答案】-1【解析】由2cosy—2y+TT+4=0,得]-y+sin-y=-2

②由％+sinx-cosx-1=0,得2%+sin2x=2；

①设/%=x+sin.则/%=1—cosx

0.故f%在R上单调递增且为奇函数.由式

①、

②得,、m\冗/2x=2,f\--y]=-2^2x+--y=0乙乙=2%_y==sin2x—y=—

1.

17.[2015年安徽预赛】设a为实数,且关于％的方程a+cos%a-sinx=1有实根.则a的取值范围是【答案】卜1—率一1+闿U”今1+等【解析】设〃=a+cosx,v=a-sin%.方程有实根=双曲线iw=

1.与圆〃-a2+u—a2=1有公共交点.注意到，圆心位于直线y=%之上，只需找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可.当圆与双曲线切于点/L1时，=1+率当圆与双曲线切于点3—L—1时，Q=—1土字因此,a的取值范围是—1——1+闿U1—今1+闿.

18.【2015年陕西预赛】已知sina+V5sin/=1,cosa+V^cosy=b.则cosa-/的值为.【答案】0【解析】将已知两式平方相加得4+2遮sina-sin£+cosa-cos0=4=cosa—£=

0.

19.【2015年陕西预赛】在△ABC中，若tand+tang=1,则tan2的最小值为_________.22【答案】74【解析】由题设知o14A4B/A B\21-tan-tan—C12tan—

224.A+/tan+tan\1rn23~~A~~~B~1—tan-♦tan-1—......----=1--=tan-+tan-2222\2\2J4当且仅当tand=tang二曲寸，上式等号成立.222故tan$的最小值为

2420.【2015年山西预赛】若sina+cosa=工，则|sina—cosa|二___________5【答案】I K-Z【解析】cosa49=sina-cosa2=1—2sina・=—,25由条件得2sina-cosa=sina+cosa2—1=---------，=|sina-cosa|

21.【2015年山东预赛】方程SEH-COS4=1的解为【答案】％=/c%+£（kez）【解析】由方程得sin4x=1+cos1,=cosx=0,sinx=±1,=%=/ot+式/c EZ.

22.[2015年山东预赛】在AABC中，乙4V乙四四*西£=百.则乙8=C,cosA+cosB+cosC【答案】【解析】由已知得sinX-VScosA+sinB-WcosB+sinC-V^cosC=0,=sina+sinp+siny=0,其中,a=乙4一—3y=-go oo贝」2sin^^•cos^^—2sin^^•cos^^=0,i

2222.

0.yA.a八=4sin--sin--sin-=0,222故NA、NB、NC中至少有一个为营又NAZF4C,从而，乙B=

323.【2015年江西预赛】求值sin10°cos10°【答案】4-二，初my1G Cosl0°-V3sinl0°2sin30°-1034［解析］解因为--------77-------------------=---------------------------7；-----------sin10°cosl0cos10°s ini0-sin20°2后3733【答案】

22.

24.［2015年江苏预赛】函数/%=2cosx+sin2xx6R的值域为V—,一当且仅当3—3sinx=1+sinx,即sin%=工时，等号成立.3从而，当sinx=9cos%=f,/%取得最大值亭;当sinx=；,cos%=—,/%取得最小值一第;4223/

325.【2015年江苏预赛】设aABC的外心为O,内心为L NB=

45.若OI〃BC,则cosC的值为【答案】1-V【解析】设AABC的外接圆半径、内切圆半径分别为R,匚记BC的中点为M,D为由点I向BC所作垂线的垂足.因为/||8C,所以，ON=ID=r.由=2乙A,BC=BD+DC=2BM,【解析】注意到/2x=2cosx+sin2x:=4COS2X1+sin%2=-3—3sinxl+sinx34r3-3sinx4-3l+sinx4-|274T+7^=2rtanA=~~Btan tan-I2A2sin4sinTcsi onfs-c°s42=4cos0+sin02因此tan2a+tan2^=

8.

5.12016年江西预赛】设x为锐角,则函数丫=sinx・s出2%的最大值为【答案】w【解析】由y=sin2x-cosx2sin2%+2COS2%\3164A/3---------3---------二寸/F当COS%=我，以上各式等号成立.

6.[2016年湖南预赛】方程16sin兀％-cos欣=16%+工的解集为X【答案】ET【解析】。