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备战年高中数学联赛之历年真题汇编（）2021198L2020专题立体几何与空间向量辑19B
1.12020高中数学联赛A卷（第01试）】正三棱锥P-ABC的所有棱长均为1/MN分别为棱尸4Pspc的中点,则该正三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为.【答案】g【解析】由条件知平面LMN与平面A5C平行，且点P到平面LMNABC的距离之比为1:2,设”为正三棱锥P-ABC的面A3C的中心与平面LMN交于点K,则平面A8C/K，平面LMN,故PK=-PH.2正三棱锥PX3C可视为正四面体，设为其中心（即外接球球心），则O在上，且由正四面体的性质知=工P”.结合PK=工尸可知OK=OH,42即点O到平面LMN,ABC等距.这表明正三棱锥的外接球被平面LMN,ABC所截得的截面圆大小相等.从而所求截面的面积等于4ABe的外接圆面积，即兀・皑2=泉
2.12020高中数学联赛B卷（第01试）】已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为【答案】小【解析】如图，设面A8C和面为当的的中心分别为和01，记线段1的中点为P,由对称性知,P为正三棱柱外接球的球心,必为外接球的半径.易知0,40,所以41=，尸2+42=J（|）2+（遮）2=手故外接球的体积为兀（§）3=宇加
3.12019高中数学联赛A卷（第01试）】如图，正方体ABC一EFG”的一个截面经过顶点A、及棱£尸上一
4.已知正四棱锥r的高为3,侧面与底面所成角为，先在r内放入一个内切球1,然后依次放入球…，使得后放入的各球均与前一个球及「的四个侧面均相切，则放入所有球的体积之和为2，314,【答案】冷JLJ【解析】设侧面与底面所成角为仇记球的半径为小体积为匕，i=l,2,3,....因为cos8=S故h==371，即G=h=l.2cose/3定义s=G+丁2+…+%，由于3G=h-2s_n2,所以3%—r=2r,n n1n+1n故见=-71•所以lim£21匕=居7T.n-oo io故答案为
5.空间有4个点A、B、C、D,满足AB=BC=CD.若NABON3C=NCD4=36，那么直线AC与直线所成角的大小是______________.【答案】90或36【解析】如果△ABC与△CD4全等，那么此时直线AC与直线8所成的角为90；如果△A3C与△CD4不全等，则易知A、B、C、四点共面，且点在NACB的内部，由于△ABCgaQCB,且他们均是等腰三角形，故直线AC与直线3所成的角是36°.故答案为90或
36.
6.四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体，其下底与桌面重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为.【答案】=|【解析】设正方体的棱长为a,上底为正方形ABCD,中心为O,则04=巫.由对称性知，球心仪在面ABCD上的射影2M应在直线AC或BD上，且球01与邻球的切点P在面ABCD上的射影N在过点O且平行AB的直线上.于是MN=0M=0A+AM.又OiM=l-a,则4M=JOi/2-Oi“2=从而y/2=+Jl一（1-a）
2.乙整理得3a2-8a+4=0,解得Q=|,或a=2（舍去）.故a=|.故答案为a=|
7.四面体ABCD中，已知48=2,AD=^BC=Q CD=y,则异面直线AC与BD所成角的正弦值是______________.f f【答案】1【解析】【详解】因为=82-22=10x6=谭）2一
（3）2=CD2-AD2,故AC1BD,因此异面直线AC与BD所成角的正弦值是
1.故答案为
18.在三棱锥P—ZBC中，三条棱PZ、PB、PC两两垂直，且PZ=
1、PB=
2、PC=
2.若点Q为三棱锥P-的外接球球面上任意一点，则Q到面4BC距离的最大值为.【答案】“渔26【解析】三棱锥P-4BC的外接球就是以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的外接球，其直径为2R=,12+22+22=
3.又cos4=g从而e/员4=壁，于是，2L4B的外接圆半径为丁=—5Sin52^Z-BAC6noil1故球心到面的距离为一八=渔.4BC W26从而，点Q到面4BC距离的最大值是|+%故答案为三+农
269.如图，在三棱锥P-/BC中，△PAC、△ABC都是边长为6的等边三角形.若二面角P—4C—B的大小为120°,则三棱锥尸-/BC的外接球的面积为.【答案】84兀【解析】如图，取ZC的中点D,连结DP、DB,则由△「/（、△4BC都是边长为6的等边三角形，^PD LAC,BD1AC,/PDB为二面角P—AC-B的平面角，^PDB=120°.设为三棱锥P—ABC的外接球的球心，
01、2分别为△ABC、△PAC的中心.则01，面21面PAC,且2=1=式枭6=遍，2=
01.易知、
2、D、01四点共面，连结D,贝=60，001=H1=
3.所以三棱锥P-ABC的外接球半径R=OB=,00/+0/2=J32+2旧尸=尊.所以三棱锥P-ZBC的外接球的面积为4兀肥=847r
10.四棱铢P-BCD的底面4BC0是一个顶角为60的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60，棱锥内有一点M到底面及各侧面的距离皆为1,则棱锥的体积为.【答案】8V3【解析】设菱形两对角线AC、BD的交点为H,贝UP”既是线段AC的中垂线，又是8的中垂线，故是四棱锥的高，且点M在PH上，于是平面PBO与底面ABCO垂直，同理平面/MC与与底面/BCD垂直，平面PBD将四棱锥分成两个等积的四面体.只需考虑四面体如图，设点M在面上的投影为E,平面MEH过点P,且交于巴因4M=90=4MEF,则M、E、F、”四点共圆.由于知9_1面/\4，得ME1ZD,由面4B，得所以面ME”，故/O_LP尸.FH是P9在面内的射影，则401FH,即二面角的平面角4EF”=60，于是乙EM”=
120.据ME=M”=1,得EH=相,故直线三角形MEF与中，EF=HF.因NEFH=60，所以△£*/是正三角形，即尸”=EF=EH=W.在直角中，^HAF=30°,贝U/H=2尸”=2百，故正△48的边长为4,于是S—BD=4H.在直线中，PH=FH60°=3,V_=^PH-S^=473,tan PABD ABDKJ从而4-/RCO=2K=8A/5・PTRD故答案为8^3H.若△4H42的三边长分别为
8、
10、12,三条边的中点分别是B、C、D,将三个中点两两连结得到三条中位线，此时所得图形是三棱锥A-BCD的平面展开图，则此三棱锥的外接球的表面积是__________.【答案】r乙【解析】由已知，四面体A.BCD的三组对棱的长分别是
4、
5、6,构造长方体使其面对角线长分别为
4、
5、6,设长方体的长、宽、高分别为X、y、Z,外接球半径为R,则｛/+Z2=52,得2/2=/+丫2+22=,故/2=2,所y2+z2=
6212.已知棱长旧的正方体/BCO-久当61内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线AG为轴，则该圆柱体积的最大值为.【答案】【解析】由题意知只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况,由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过A点的三个面相切，且切点分别在4名、AC、4劣上.设线段4当上的切点为E,圆柱上底面中心为1，半径1£=厂由4401E〜△B1G得41=鱼厂，则圆柱的高为3-241=3-2加厂，，=兀产隹一2企丁，由导数法或均值不等式得匕
13.半径分别为
6、
6、
6、7的四个球两两外切.它们都内切于一个大球，则大球的半径是【答案】14【解析】设四个球的球心分别为A、B、C、D,贝lj AB=BC=CA=12,DA=DB=DC=13,即A、B、C、D两两连结可构成正三棱锥.设待求的球心为X,半径为匚，则由对称性可知DX1平面ABC.也就是说，X在平面ABC上的射影是正三角形ABC的中心
0.易知4=4V3,0D=yjDA2-0A2=
11.设OX=x,则zx=70X2+0/2=7#+48由于球A内切于球X,所以AX=r-6即+48=r—6
①A/X2又DX=OD-OX=11-x,且由球D内切于球X可知DX=r-7于是11一%=丁—7
②从
①②两式可解得％=4,r=14即大球的半径为
14.故答案为
1414.已知空间四点45C,满足1AC AB1AD AC1AD,且SB=AC=AD=1,Q是三棱锥A-BCD的外接f f球上的一个动点，则点Q到平面BCD的最大距离是_____.【答案】注3【解析】将三棱锥4-BCD补全为正方体，则两者的外接球相同.球心就是正方体的中心，记为0,半径为正方体对角线的一半，即为祖.2在正方体里，可求得点到平面BCD的距离为归则点Q到平面BC0的最大距离是遑+3=2,
626315.在四面体4BCD中，面ABC与面BC0成60的二面角，顶点A在面BCD上的射影”是/BCD的垂心，G是ZMBC的重心.若4H=4,48=AC则GH=.f【答案】里9【解析】如图，设面AHD与BC交于点F.因为AB=AC,所以，点G在AF上，^GF=\AF^AFH=60°.tml T-v AH8n r r1AL48A则川二==后FH=2AF=^GF=^在△GFH中，由余弦定理得G〃=史祖・
916.四面体尸-ABC PA=BC=巫,PB=AC=皿，PC=48=则该四面体外接球的半径为.【答案】V3【解析】将四面体还原到一个长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为，仇62+力2=10则｛力2+c2=8=小++c2=12,所以四面体外接球的半径为次.Q2+c2=6正16【答案】
37517.边长为2的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，则此正四棱锥的体积最大值为一【解析】【分析】设围成的正四棱锥为P—ABC，P0为四棱锥的高作0EJ_3C,垂足为区连结P£令石二元贝Up=l—x,P0=“一2%,于是正四棱锥P—ABCD的体积为，=；・（2x）2・所以卜2=5％4（1一2%）=5・
24.（|）
4.（1一2%）256|+|+|+|+1-2%=256,
5、9
（5）-9X55故V（畋，当=|时等号成立所以正四棱锥体积的最大值为亚反3755375故答案为竺班.
37518.在平行六面体中，已知对角线4C=4,/0=
2.若空间一点P使P4=3,PC=5,则P+PD2=.【答案】28【解析】由平行六面体的结构易知为2II BC,且42=BC,则四边形AiD/C为平行四边形，设C nBD1=0,则08=1=l,0C=0A=2,t由于P号+CAl=PC2,故4PC4是以NPC为直角的直角三角形，故00=yJPAl+0A[=V9T4=V13,在△PBi中，为边当的中点，在△尸当和△POD中分别应用余弦定理可得PBl=13+1+PD2=13+1+2V13cos（7r-乙POBJ,2VT3COSZPO5V据此可得PBl+PD2=
28.
19.如图，是半径为1的球的球心，点A、B、C在球面上
04、OB、0c两两垂直,E、F分别为圆弧脑，江的中点.则点E、F在该球面上的球面距离为.【答案】5【解析】由已知得面04B_1面04小如图,在平面OZB内过点E作EM14,垂足为M,联结MF.易知,MF14jr则ME1MF,月/MOE=乙MOF=从而，ME=MF=—,EF=
1.2因此，△OEF为正三角形,々EOF=p故点E、F在该球面上的球面距离为*
20.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球则正四面体棱长的最小值为A【答案】4+2A/6【解析】到重心分四面体的高为13,所以正四面体的高九=I=3+Jj2+F-2+1,得a=4+2遍.当正四面体棱长最小时，设棱长为，此时，
一、
二、三层分别有
1、
3、6个小球，且相邻小球两两相切，注意故答案为4+2A/
6.点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则签的值为_______________.K r【答案】V3【解析】如图，记a为截面所在平面.延长AK、BF交于点P,则P在a上，故直线CP是a与平面5CG尸的交线.设CP与bG交于点L,则四边形AKLC为截面.因平面A3C平行于平面KFL,且AK、BF、CL共点P,故ABC—K/2为棱台.不妨设正方体棱长为1,则正方设*五,贝喘咤喘=hh+1体体积为1,结合条件知棱台ABC-KFL的体积，=p4注意到尸Pb分别是棱锥P—A3C与棱锥P—K/Z的高，于是111彳=1/=l/pvBc-V_=-AB-BC-PB--KF-FL-PFP KFL4o6八「1h VI3M+3”+l化简得3万2=1,故仁高HHEK AE1=V
3.从而一=一=丁KF PFh
4.【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设三棱锥P—A3C满足出二夕8=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥体积的最大值为.【答案】当【解析】设三棱锥一ABC的高为人取M为棱A5的中点，KUPM=V32-I2=2V
2.当平面用8,平面ABC时，取到最大值
2.此时三棱锥P-ABC的体积取到最大值工谢・2=白8・2=绡.•3J J
5.【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设点P到平面a的距离为百，点在平面a上，使得直线PQ与a所成角不小于30且不大于60，则这样的点所构成的区域的面积为.【答案】87r【解析】设点P在平面〃上的射影为.由条件知，K=tanNOQP€怦，同，即OQ£[1,3],故所求的区域面积为兀・32—几.12=8兀.
6.【2018高中数学联赛B卷（第01试）】已知圆锥的顶点为P,底面半径长为2,为
1.在圆锥底面上取一点Q,使得直线PQ与底面所成角不大于45，则满足条件的点所构成的区域的面积为.【答案】37r【解析】圆锥顶点P在底面上的投影即为底面中心记之为Q由条件知,詈=tanzOQP41,即OQ\,故所求的区域面积为兀・22—兀・M=3加
7.12017高中数学联赛A卷（第01试）】正三棱锥尸一A8c中，AB=l AP=2,过A5的平面a将其体积平分,则棱PC9与平面a所成角的余弦值为.【答案】等【解析】设A
3、qC的中点分别为K、M,则易证平面就是平面a.由中线长公式知AM2=I（4P2+心）—[PC制⑵+M）_[22=|,渔所以KM=yjAM2-AK2=442V5KM2+MC2-KC23x/5所以cos/KMC=2KM-MC10又易知直线PC在平面a上的射影是直线MK,而MC=1,KC=，故棱PC与平面a所成角的余弦值为”.
8.【2017高中数学联赛B卷（第01试）】在正四面体45co中，E、尸分别在棱A
3、AC上，满足BE=3,EF=4,且Eb与面8CQ平行，则的面积为【答案】2V33【解析】由条件知，E/平行于8C.因为正四面体A8CO的各个面是全等的正三角形,故AE=AF=EF=4,40=AB=AE+BE=
7.由余弦定理得，DE=y/AD2+AE2-2AD-AE-cos60°=V49+16-28=V37,同理有=V
37.作等腰△DE尸底边E尸上的高，贝ijEH=[£T=2,故DH=yjDE2-EH2=V33,于是=”F・DH=2^
33.乙S“EF
9.12016高中数学联赛（第01试）】设尸为一圆锥的顶点，A、B、是其底面圆周上的三点，满足NABU90°,M为A尸的中点若AB=1,AC=2,AP=^2,则二面角M—5一4的大小为.【答案】arctan|◊【解析】由NA3O90知，AC为底面圆的直径.设底面中心为0,则POJ_平面ABC易知4=工AC=1,进而尸0=，4P2一/2=12设”为M在底面上的射影，则”为A的中点.在底面中作K,3c于点K,则由三垂线定理知MK_L3C,从而NMKH为二面角M-BC-A的平面角.因MH=4H=）结合K与平行知，-=—=2AB AC4即HK=这样tan/MK”=—=4H K3故二面角M—8一A的大小为arctan.
310.【2014高中数学联赛（第01试）】正四棱锥P—ABC中，侧面是边长为1的正三角形，M,N分别是边AB,8C的中点，则异面直线MN与PC之间的距离是.【答案】v4【解析】设底面对角线AC,BD交于点、O,过点C作直线MN的垂线，交MN于点、H.由于PO是底面的垂线，故POJ_CH,又ACLC7/,所以C”与平面POC垂直，故CHIP，因此C是直线MN与PC的公垂线段，又CH=%N=立,24故异面直线MN与尸之间的距离是
411.12014高中数学联赛（第01试）】设等边△ABC的内切圆半径为2,圆心为/,若点P满足77=1,则△AP3与△APC的面积之比的最大值为.【答案】要乙【解析】由尸/=1知点尸在以/为圆心的单位圆K上，设N54P=a.在圆K上取一点0,使得取到最大值^APABsinasinasina故0s叫.71I sin管一初）sing-0）S4Ape劭，此时凡应落在N/AC内，且是AR）与圆K的切点，由于0＜＜劭＜，其中e=a0-^=Z-IAPQ,6由乙40/=割sin=詈=于是cote=
715.cot0+V3_V15+V3_34-V5—cot0-V
3.V15-V3-2根据式
①与
②可知，当尸=尸时，厘的最大值为手.SPC
212.12013高中数学联赛（第01试）】已知正三棱锥P—A3C底面边长为1,高为VL则其内切球半径为【答案】46【解析】如图，设球心在面ABC与面AB尸内的射影分别为H和K,A3中点为M,内切球半径为心则P,K,M共线，P,，”共线.乙PHM=乙PKO=且”=0K=r,PO=PH—OH=6一丫,2MH=—AB=—,PM=VMH2+PH2=I—+2=—.667126于是有《一=黑=sin乙KPO=黑=g解得丁=V2-r POPM
5613.12012高中数学联赛（第01试）】设同底的两个正三棱锥P—ABC和Q—ABC内接于同一个球.若正三棱锥P—A5C的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q—A5C的侧面与底面所成角的正切值是.【答案】4【解析】如图，联结PQ,则PQ_L平面ABC,垂足“为正△ABC的中心，且PQ过球心O.联结”并延长交4B于点M,则M为4B的中点，且CM_LAB.易知NPM,NQMH分别为正三棱锥尸一ABC,Q—ABC的侧面与底面所成二面角的平面角，则/PMH=45°,1从而PH=MH=-AH92因为NP/Q=90°,ZH1PQ,所以AH2=P“・QH,即Z2=三/“・Q”2所以QH=2AH=4MH,故tan“MH=黑=
4.
14.【2011高中数学联赛（第01试）】在四面体ABC中，已知NAOB=NBOC=NCD4=60，AD=BD=3,CD=2,则四面体A3CO的外接球的半径为.【答案】B【解析】设四面体A8CD的外接球球心为O,则在过△48的外心N且垂直于平面45的垂线上.由题设知，△A8Z）是正三角形，则点N为△A3的中心.设P,M分别为AB,的中点，则N在DP上，且ON1DP,OM_LCD,因为4CZM==60°,设CD与平面43所成角为凡可求得cos=专闻皿=强在△OMN中DM=工=1,DN=--DP=----3=
43.2332由余弦定理得MN2=I2+（V3）2一2・1・次•专=
2.故MN=VI四边形DM0N的外接圆的直径0=吟=4=a.sin V2故球0的半径R=A/
3.
15.12010高中数学联赛第01试】正三棱柱ABC—A/iCi的9条棱长都相等，P是CG的中点，二面角B-A P—BX r=a,则sina=.【答案】当4【解析】解法一如图，以48所在直线为x轴，线段A8中点为原点，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则810,当1,0,2,41-1,0,2,P0,8,1,从而西=-2,0,2,前=-1,百,1,=-2,0,0,审=-1,但-1,设分别与平面84]尸、平面BiAiP垂直的向量是沅=%L%,Zi；7t=如乃也，则m-BA=-2/+2Z]=0n-=-2x=0r2Im,BP=—%i+d5yl+Zi=0n-B P=-x+V3y-z=0r222由此可设沅=l,0,l7n=0,1,V3,所以可・n\=\m\•\n\•|cosa|,即遮=V2-2|cosa|,则|cosa|=印所以sina=手.解法二如图，WPC=PC PA=PB,设A归与AS交于点O,则A[=04=，A1B1AB,lf1r因为P4=PB＞所以pJL4当，从而A3」平面巩E过在平面PB上作0EJ_4P,垂足为E联结5石，则/囱石0为二面角B—4P一囱的平面角.设441=2,易求得PB=PA=V5,A O=B cl=，PO=V
3.rr1△MO中41・P0=P・OE,即企•遍=遥・£\所以OE=^又B]O=,所以8花=，当2+肥=J+合等,sina=sinzB^E=黑=奈=当.-5-
16.12008高中数学联赛第01试】一个半径为1的小球在一个内壁棱长为4伤的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是.【答案】72V3【解析】如图，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为八作平面4aC1〃平面ABC,与小球相切于点D,则小球球心为正四面体P—4/iCi的中心，尸0_1面4/1的,垂足D为4的中心.因为=7^AA1B1C1,PD=4-V0_A1B1C1=4---SAA1B1C1-OD,D KJ故PO=4-OD=4r,从而P=PD—OD=4丁-r=3r,记此时小球与面R13的切点为Pi，联结OP1，则PPi=占2-母=而叶二尸二2或r,考虑小球与正四面体的一个面（不妨取为弘3）相切时的情况，易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为REF,如图.记正四面体的棱长为〃，过Pi作AM1P4于点因此4MPPi=g有PM=PPi・cos/MPPi=2V2r・y=V6r,故小三角形的边长PiE=PA-2PM=a-2V6r,小球与面布3不能接触到的部分的面积为（如图中阴影部分）S〉PAB-S AP1EF=y（a2-（a-2V6r）2）=3^2ar-6—,又因为厂=La=4V6,所以SAP.-S=24^3-6^3=18V3,AP1EF由对称性，且正四面体共四个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72b.
17.12007高中数学联赛（第01试）】已知正方体4BC0—4/165的棱长为
1.以顶点A为球心，亭为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于.【答案】等6【解析】如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类一类在顶点A所在的三个面上，即面////、面ABC力和面上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BBiGC、面CCiDi和面上.在面441/B上，交线为弧E/且在过球心4的大圆上，因为4E=2,441=1,则4=336同理=3所以4E49=3故弧EF的长为2・£=£兀，66369而这样的弧共有三条.在面881cle上，交线为弧尸G且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为以半径为R/FBG=%所以，弧/G的长为争；”加326这样的弧也有三条.于是，所得的曲线长为3x等+3x”=等.
96618.12006高中数学联赛（第01试）】底面半径为1c、加的圆柱形容器里放有四个半径为3根的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3【答案】6+当兀【解析】设四个实心铁球的球心为1，2，3，4，其中I，2为下层两球的球心，A,B,C,分别为四个球心在底面的射影,则ABCD是一个边长为客的正方形.所以注水高为1+当故应注水兀（1+乎）-4x7
（1）=（|+y）7r.
19.12005高中数学联赛（第01试）】如图，四面体D48C的体积为3且满足NAC3=45，AD+BC+^=3,则CD=.【答案】V3【解析】因为.AC・sin450）》%谢=2即・爱》1,又3=40+3・^AD・•强＞3,等号当且仅当4D=BC=^=1时成立，这时28=1,ABC所以DC=
8.
20.12004高中数学联赛（第01试）】如图，正方体/BCD—A/iGDi中，二面角A—3一4的度数是【答案】600【解析】联结QC，作CEIBA，垂足为E延长CE交A归于凡贝ljFE_LB5,联结4应由对称性知4E1BD1，所以是二面角A—801—4的平面角.联结AC,设A3=l.则4C=AO[=短曲=遮.在△ABA中，AE=4在中也=坐产=*=3F所以N4EC=120°,而NFE4是NAEC的补角，所以NFEA=60°.敬窗的强题琨颂D
1.如图，在三棱锥尸78c中，％，平面ABC,^ABC=120°,雨二
4.若三棱锥P-ABC的外接球的半径为2V2,则直线PC与平面ABC所成角的正切值为【答案】【解析】如图，设为△A3C的外P心，为三棱锥A43c的外接球的球心.由孙，平面A3C,1，平面ABC知而〃00i.取％的中点，由0P=04=2a,知为出的中点，且四边形D4为矩形.又勿二4,所以=4=2,△A5C的外接圆的半径『0M=
2.在△A3C中，由2r=,得4C=2x2x sinl20°=2遍.smz.ABC所以tan/PCZ=—=.AC2A/33因此PC与平面A5C所成角的正切值为名I3故答案为壁.
32.棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为一【答案】2V6【解析】正方体的内切球半径为
3.正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，也就是说，棱长为x的正四面体的外接球半径为
3.设正四面体为尸一A8C,过点作垂直于平面A8C,垂足为0,则为三角形ABC的中心，从而4=渔曲正四面体的高为四工.33此时有彳%—32+y%2=32,解得％=2V
6.故答案为2遍.
3.若半径/=2+乃cm的空心球内部装有四个半径为厂的实心球，则厂所能取得的最大值为cm.【答案】2【解析】当半径为一的四个实心球最紧凑时，即此四个球两两相切且内切于空心球时，〃取得最大值.此时，小球的四个球心连线构成棱长为2r的正四面体，显然，此四面体外接球的球心即为实心球球心，在棱长为2r的正四面体中，求得外接球半径为四厂2于是，空心球的半径为渔丁+丁，2所以渔丁+r=2+V6,解得
42.2故答案为
2.。
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