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备战年高中数学联赛之历年真题分类汇编20222015・2021专题三角函数与解三角形第七缉
201.【2017年辽宁预赛】如果对任意非负整数几cos2也一［都成立，求实数KJ【答案】a=2kn+-n kEZ.t【解析】由已知，对任意非负整数几COS2nq都成立，下面用数学归纳法先证明对任意非负整数凡有cos2%+|||1cosa+||.
①当71=0时，
①成立.假设对于九一L
①成立.于是有|cos2na+1|=2卜os22rl一%—m=2卜os2n一%-扑os2n-%+||2|+1||cosa+1|n|cosa+1|,由于一14cos271a〈一故cos2na+:
1.从而,0cosa+|Q EN,由于lim To©=,两边取极限,故必有cosa=—71o2因此,a=2/CTT±-TT,fc eZ.
32.［2017年河南预赛】设一巴工x巳,且方程cos2%—4acosx-a+2=0有两个不同的解，求Q的取值范围.22【答案】1al^a=【解析】由题意得:2cos2%-4acosx-a+1=
0.令t=cos%,由一］%］知0t1,则问题转化为方程2严-4at-a+1=0,在t1范围内有一个解.令/t=2t2—4at—a+
1.当乙B==4=J时，S Be取到最大值.2M
3613.【2016年吉林预赛】在△ZBC中，a、b、c分别为乙/、乙B、4c的对边，b=1,且cosC+2a+ccosB=
0.求1乙B；2S-8C的最大值.【答案】1ZB=—；2-312【解析】1由已知得bcosC+2a+ccosB=0=sinB-cosC+2sin/+sinCcosB=0=sinB+C+2sin A-cosB=0=sin A+2sinA-cosB=0Z.B=生代入接=a2+c2-2accosB得1=a2+c2+ac3ac=ac-32将b=1,3c
1.c,
11.2TT0-acsinB-x-sin—=12又乙
4、NB为^ABC的内角，故cosB=-1==
2.^AARC=23当乙B==乙=*寸，SBC取到最大值•3o
14.[2016年上海预赛】如图，五边形481clDi场内接于边长为1的正五边形ABCDE.证明五边形1当C/i%中至少有一条边的长度不小于cos g【答案】见解析【解析】设4%、AABB］、CB］、CCDC
1、DDEDE用的长分别为由、a瓦、b
3、cdr1r r222日
2、/、3・则%+a+瓦+b+…+0+e=+e+a+瓦+b+q+c+dj+d+ej=
5.22222222由平均数原理，知1+2，瓦+
⑦，…，+2中必有一个不小于1,不妨设1+221・3兀27i=aa+o,2—ZaiQzCos-^-2Q+1—a1？+2ail—ajeos-^-=2l-cos^^-02+11+cos—cos2-注意1—cos—0,5J55J JAEcos-.
11515.【2016年四川预赛】在^ABC中，NA、NB、NC的对边长分别为a、b、c.命题p:+NC=244且b+c=2a；命题q:44BC为正三角形.则命题P是命题q的条件.A.充分必要B.充分但不必要C.必要但不充分D.既不充分又不必要【答案】A【解析】若命题q成立，显然，命题p成立.若命题p成立，则NA=6T.由余弦定理知M=b2+c2-be..故4序+c2—be0==b+c2=b-c2=b=c.从而，AABC为正三角形，即命题q成立,综上，命题P是命题q的充分必要条件.
16.【2016年辽宁预赛】设A、B、C为抛物线y=/上不同的点，R为aABC外接圆的半径.求R的取值范围.【答案】R＞【解析】对于任意的a〉0,取/
④小，8—a,a2Qo,0M^oAB外接圆的圆心在y轴上，设为C0,b.由于OA的垂直平分线为y—9=—%—£・令x=0,得b=3+.故40AB的外接圆的半径可取遍区间6，+8上的所有值.设A、B、C为抛物线y=/上不同的点,R为ZkABC外接圆的半径,a,b为其圆心则％-+/一》一R2=.
①有三个不同的实根.因此，必有四个实根,设其为修、亚、、工务％3整理方程
①得%4+1—2b%2—2ax+a2+b2-R2=0今+%2+%3+%4==好+好+据+辞+2{X[Xj=0乂，X[Xj=1-2b0=br41必+%2+X3+X4=40%1%2%3%41=4y/\a2+b2—R2\=4/—4b+124a2+b2-/211R2-a2+-b-42=R2〉a2+”RW
17.[2016年甘肃预赛】在非等腰△48C中，乙
4、△
8、NC的对边分别为a、b、c,且满足2c bcosC=2b-ccosB.1求乙4的大小；2若Q=4,求△48面积的取值范围.【答案】160°；2S G0,4^3【解析】1注意到2c—bcosC=2b—ccosF=2sinC—sinBcosC=2sinS-sinCcosfi=sin2C—sin2F=sinB—C=2cosC+B・sinC—B=sinB—C又因为△ABC不是等腰三角形，所以，sinB-C^
0.则cos+B=—工n4+=120°=44=60°.⑵由正弦定理得高=焉=品=*11=S=-bsinA=—sinB♦sinC2V316=—sinB-sin120°-5=吸皿28-30+.又乙e0,120°,故s eo,4V
3.B
18.12015年上海预赛】已知O为坐标原点，函数/%=/%o及g%=一二％o,A、B分别为函X数f x、g x的图像上的点，且满足448=120，求a/OB面积的最小值精确到10-
4.【答案】Svmin【解析】设点0,B一
30.则U,k0B=—诵由乙48=120°,矢口k04=tanl20°=-4±=〃=l-4u V3-v2设△ZOB的面积为S v.则V3/----------Su=—Ju2+u44vzV3V3v2+lv4+1=Su=*2乙vv2_V3用计算器计算得当时，S肘min.
19.【2015年新疆预赛】在△中，证明sinZ-sin-BsinC三,并分析该不等式何时取等号.8【答案】见解析【解析】由
044、乙B、ZC7T,且4/+48+4C=7T.由积化和差公式得y=sinA•sinB-sinC1=-sinl[cosB—C—cosB+C]乙1「I=-sinl[cosB一C—COSTT一A]乙=1sinl[cosB—C—cosX].固定乙
4.由于sinZ0,且cosB-C41,于是,y|sinZl+cosA=sinA-cos2=2sinZ•cos3%其中，等号成立当且仅当cosB—C=L即4B=4C.因为sind0,且cosd〉0,所以，22z=2sin--cos与=4sin2--cos A同时达到最大值.A z262222由于sin2^3l—siM〉，于是，工、z2=4sin2^l—siM£=-x3sin2-fl—.234/3\427sinz---=—2/3\4764其中，等号成立当且仅当3sin24=l—siM±即//=；3V38当且仅当4/=48=4=寸，上式等号成立.故y=sinA-sinB-sinC
20.【2015年四川预赛】已知函数/年=sin1记g%=/%+/；-%，求gx在区间],裔内的最大值与最小值;的值【答案】1最大值为g,=|，最小值为g9=421334【解析】1由已知得gx=sin4%+cos4%=sin2%+cos2%2—2sin2x-cos2=1—-sin22xxkn,11m1133——+-=44--X22+-=—
1804221.[2015年安徽预赛】设平面四边形45CQ的四边长为四个连续的正整数.证明四边形/BCD面积的最大_TC37r c_=sin2x6[今1]=g%G\t]X E—,—02%G值不为整数.」l6’8【答案】见解析【解析】f箸=279箸+，也篙=44—E sin24\loU/卜_]\loUz1oU Z卜一]不妨设四边形4BCD为凸四边形，其面积为S.记a=ABj b=BC,c=CD,d=DA.11由S=-absinB+-cdsinD，22AC2=a2+b2-2abeosB=c2+d2-2cdeosD,得2s=absinB+cdsinD,-a2+b2-c2—d2=abcosB-cdcosD.故4s2=ab2+cd2—2abcdcosB+D--a2+b2-c2—d2241ab+cd2--a2+b2-c2—d22=~b+c+d—CLCI+c+d—b.a+b+d—ca+b+c—d,等号成立当且仅当+4=兀，即
4、B、C、四点共圆.由题设知｛a,4G d｝为四个连续的正整数｛几n+l n+2,n+3｝.故S的最大值为M=Jnji+ln+2n+
3.f由九2+3nM n2+3n+1,知M不为整数.
22.【2015年陕西预赛】设△ABC的内角乙B、/C的对边分别为a、b、c,且满足sinA+sinB=cos/+cosBsinC.
①1证明△ABC为直角三角形；2若a+b+c=l+,求△ABC面积的最大值.【答案】1见解析；2；4【解析】1由式
①，并结合正弦、余弦定理得=a+Za2+b2=a+b c
2.因为a+b0,所以，a2+b2=c
2.故△ABC为直角三角形，且乙=
90.2由+/7+=1+企，a2+b2=c2,知1+V2=a+b+Va2+b22yTab+72ab=2+V2Vab.当且仅当a=b时，上式等号成立.所以，AO v-2故S-BC=岫WJ=，即△ABC面积的最大值为土X乙乙、乙/r
23.[2015年山东预赛】对任意的x和正整数n,比较nsi九和s讥％.sinn%的大小.2%【答案】见解析【解析】可以证明isE2%—sinx•sinnx=sinxnsinx—sinnx
0.
①当sin%=0时，上式显然成立；当s讥X时，可证|竺处n.
②I sinx事实上，当n=l时，式
①显然成立.sin/c+1%sinkxcosx+coskxsinx sink%当九=k+1日寸,coskx+COSX-k+l.sinx sinxsinx假设九九时，式
①成立故当九=k+1时，式
①成立.由数学归纳法知必竺n.sinx综上，sinxnsinx—sinnx0^\insin2xsinx-sinnx.
24.【2015年吉林预赛】在△ABC中，内角乙
4、4C对边的边长分别为a、b、c.已知c=2,NC=土求:31△48周长的最大值；2当2sin24+sin2B+C=sinG寸，△ABC的面积.【答案】16；2—3【解析】1由余弦定理及已知条件得a2+b2-ab=4,=a+b}2=4+Sab4+3x
①；，=Q+b
4.故44BC周长的最大值为6,当a ABC为等边三角形时取到.2由2s出24+sin2B+C=sinC=sinB+4+sinB-4=4sin A-cos A=sinB-cos A=2sin A-cos A.当cosZ=00寸，Z,A=-,zB=-,a=—，b=—.2633当cosZ H0时,sinB=2sinA.由正弦定理得b=2a.a2+b2—ab=4,b=2a.解4得V3Q=雪，b3故SMBC=+absinC=警
25.【2015年甘肃预赛】已知函数/%=2sE2©一%一Bcos2%⑴求/%的最小正周期和单调递减区间；2若/汽m+2在第605］上恒成立，求实数血的取值范围.【答案】1k7i-------,kji T—/c GZ；2―1—V3,+°°L
1212.【解析】=-sin2x+V3cos2x+1=-2sin2x+；+
1.⑴注意到,/%=1—cos C-2xj-V3cos2x于是，f%的最小正周期T=-=〃.由2/CTT—W2%H—2k H—k EZ=kic-----W%kn H—k CZ,2321212故/%的单调递减区间为kn—冷/CTT+g kW Z.JL乙JLN-2由％e[o,9知三2%+三斗，L6J333于是，当sin2x+§=/时/%取得最大值1一V3,BP/x=1-V
3.max要使/%m+2恒成立，只需f%max m+2,即1一百巾+
2.解得m-1-V
3.故m的取值范围是-1-V3,+
8.GJ=-42_8-+1o,3°tf0⑴三0且/⑴o,g一.a1得=I-故由
①、
②知Q的取值范围为:V a41或Q=去D乙
3.【2017年湖北预赛】求实数a的取值范围，使不等式sin28-2acos—斗——各-3-必对[o,JeV4/sin6+12J恒成立.【答案】—8,1U3,+
8.【解析】设％=sin©+cos仇3E0弓，则％E[l,V2],sin20=x2—l,sin+cos-9=故原不等式可化为/—2ax——+2+a20,即a—%a—fx+-^
0.
①X\%/.记f%=X+4可知/%在[1,]上单调递减，故/l=
3.[f%]max=若1工Q43,则当％=1时，不等式
①不成立，不符合题设条件.若a1或Q3,则对一切％e[1,V2],a一%与一％+1同号,可知不等式
①恒成立，符合题意.因此，所求实数Q的取值范围是一8,1u3,+oo.
4.[2017年湖北预赛】已知函数/%=|sinx|,x6R.1证明:sinl/%+/%+12cos-;122证明对任意的正整数上有3+么匕艾+…+33码n n+13n-l2【答案】证明见解析【解析】⑴令g%=/%+/%+1=|sinx|+|sinx+1|,则g%为周期函数，且T=兀是周期，故只需考虑%E[0,TT].当％e[O,TT-1]时,g%=sinx+sinx+1=2sin%+cos|,又x H—G-；—,sin xH—e sin;1TC2,L2f21\22/所以g%6[2sin-cos-,2cos-]=[sinl,2cos却222211当％e[TT—L扪时，5%=sinx—sinx+1=—2sin-cosx+-,又％+1£[兀-37r+Jcosx+1e[一L—cos所以g%e[sinl,2sin-]u[sinl,2cos-],22综上所述，sinl/%+fx+12cos
1.3+3+3+…+n n+l n+23n—12由1知/%+/%+1sinl,所以_r/n+/n+ln+r/n+2+/n+3L n n+lL n+2二]+...+Q2+92]n+3」」3n-23n-lL11111缶[f荏+/几+1]+总[/九+2+/九+3]+-+6[/3九-2+/3九-1]》W+总+,1x.4・・・H------sinl.又由柯西不等式得w+总+・・・+/n2n21一n+l+n+3+-+3n-l^[n+l+3n-l]-n3n-l7故+小小〉也32+…+12nn+l3n-l
25.[2017年陕西预赛】设△ABC的内角
48、C的对边分别为a,b,c,向量访=sin/,b+c,元=sinC-sinB,a—b,且存在实数2,使万=An.⑴求角C的大小;2若a+b=kc,求实数k的取值范围.【答案】1C=g2f【解析】⑴由沆…得吃我血消去尢得a—bsin4=b+csinC-sinB.由正弦定理，得a—ba=b+cc—b,即M+b2—c2=ab.所以cosC=N*《=今2ab2因为0VC7T,所以2由1的结论，得3=9—4由已知及正弦定理，得k=—=sm+；n=sinA+s%=百5吊4+cosl=2sinA+g,c sinCsin-\6/为0A等所以看V,V也所以]V sin4+
41.故k的取值范围为L2].
6.[2017年甘肃预赛】在中，/
4、乙B、乙C的对边分别为兄氏c,且M一3一尸二2-遮bc’sinZsinB=cos二BC上的中线4M的长为21求乙4和45的大小；2求△48的面积.【答案】1B=刍2V
3.6+一=—,【解析】1由小一b—c2=2—V5bc,得小—b2—c2=—V5bc,所以cosA=2匕c2又所以/=0V4V7T,6由sin/sinB=cos2-,W-sinB=把，即sinB=1+cosC.222cosC0,即〉为钝角，所以B为锐角，且B+C=.，则sin管一C=1+cosC,简得cos伍+9=—1,解得c=小所以8=£2由⑴知,a=b,由余弦定理得AM=炉+-2b.$.cos2C=b2+y+y=,解得b=2,\乙/乙LJr故S-BC=7absinC=1x2x2x^=V
3.乙乙乙
7.[2017年安徽预赛】设0V%V证明:0上型土|.2tanx-sinx3【答案】证明见解析【解析】首先证明当0%V巴时,tan%%sinx.2实际上，令f%=x—sin%,则f0=0,f%=1—cosx0,即%sinx.同理可证,tan%x.故要证原命题，只需证明gx=tanx-sin%-3%-sinx0,易计算得g，%=+2cos%-3,根据均值不等式，％==-+2cos%—33二~・cosx-cosxY—3=0,COSX\COSX/当且仅当％=与时,“%=o.因此,gx在区间0,9上单调递增，进而gxg0=
0.证毕.
8.【2017年湖南预赛】在锐角中,sin/=卓,且见kc为角48,的对边.⑴求sin2B+C+sin2叱的值；2若Q=4,试求当而•尼取得最大值时,△ABC的面积S-8C的值.【答案】1竺手；22V
5.81【解析】1因为4为锐角,sin/=等，所以cos/l=-,sin2B+C+sin2=sin27r—24+=-2sinAcosA+=一2义—工+—c°s+G1+侬人x922299通1+1_45-82-812因为荏~AC—bccosA=^bc.♦由余弦定理，得16=a2=b2+c2-2bccosi4=b2+c2--be2bc--bc=—bc,999即be9,当且仅当b=c=3时等号成立.所以,SMBC=|besmA工q x9x警=2炳.x2+y2+xy=3,y2+z2+yz=4,求％+y+z.z2+x2+zx=
7.【答案】V13x2+y2-2xycosl20°=V32【解析】解法一原方程组可化为｛2yzcosl20°=22,
①y2+z2—z2+x2-2zxcosl20°=V72由此联想到余弦定理，构造Rt48=遍,BC=2,AC=夕.在△ABC内存在一点（0点即为以AB为弦的120°弧与以BC为弦的120°弧的交点），使得乙48=乙3=Z.COA-120°.设4=x OB=y,OC=z,f—-0A-OBsinZ-AOB=xyS^AOB2那么｛Soc=gOB・OCsin^BOC=yz,=-0C-OAsin/LCOA=zxS〉COA2又S AOB+S2BOC+S^COA=^LABC=^3,故有％y+yz+zx=
4.
②将
①中三式相加，得到2/+y2+z2+xy+yz+zx=14,再将
②带人可得/+y2+z2=5,于是x+y+z=y/x2+y2+z2+2xy+yz+zx=V
13.%+y+z z—%=1-Lx+y+z=t X+-3t7设％+y+z=则有｛z~x=t=｛y3tz—y=-t,5z=-I-33t解法二将原式两两相减并整理可得｛%+y+zx-y=3,%+y+zz-y=4整理可得3-14/+
130.将其代入/+y2+孙=3得G+彳+G_/+《+与《_f=3,于是工=1或71当七=1时,y=—，v0,矛盾.从而』=V
13.
10.【2017年新疆预赛】如图,边长为2的等边三角形△ABC中是BC的中点,E、尸分别是边
48、4c上的动点.⑴若乙EDF=120,求证弘E+49为定值.2若=60,止匕时/E+49是否为定值若是,请给出证明;否则，求出/E+”的取值范围.【答案】⑴证明见解析；2[1,
2.【解析】⑴设4E=x,AF=y/EDB=a.BE=2-x CF=2-yf7，乙BED=120°-a/CDF=60°-a/CFD=60°+a由于BD=DC=1,在4BDE中用正弦定理可得BE BD2-x sina sina--------------------------------=---------=---------------；----=2—%从而,％+y=3为定sinZ-EDB sinzFEDsina sin120°-a sin120°-a sin60°+aa=CF CD2-y sin60°-a⑷在^CDF中用正弦定理可得----------------=----------------------今y sin60°+a*sinzCDF sinz.CFD sin60°-a sin60°+a值.sin60O-a sina+sin60°-a将
③与
④相加得4-％+/=急M+sin60+a sin60+a2设4E=x AF=y,Z-EDB=fa.当E与4重合时a最大，为90°;V3,
1...V
31.—cosa+-sinasina+-cosa--sina=
1.________22V3,
1.V3,
1.—cosa+-sina2—cosa+-sina2当尸与4重合时a最小，为30°.故30°4a490°.将其他量用工,%a22BE=2-x CFf得至支表示出,乙BED=120°-a/CDF=120°-a/CFD=aBE BD2-x sina sina-------------=-----------------=-----------=---------------;------sin4EOB sinZ-BED sina sin120°-a sin120°-a sin600+a・由于=DC=1,在4BOE中用正弦定理可得:在^CDF中用正弦定理可得CF CD2-y^sin2a+cos2asin120°-asin60°+a=2-y=sinasinzCDF sin乙sin120°-a\/
3.,
1.2sina sina—sinacosa+-sina22CFO
5.
2./
3..32-sina+—sinacosa+-cosa424sin2a+^cosa+|sina2sin60°+asin*2a+sin260°+a将
⑤与
⑥________________乙乙sina sinasin600+a3sinaYCosa+-sina=1+----------------------^sin2a+-l-cos2a海=1+I.sin2-0由于30a90,故3sin2a-30°
1.从而，24-%+yf,因此+AF不是定值，其范围为［|,
2.乙
11.【2016年陕西预赛】设后芋为非零实数，且满足（I）求后将值;・—•■■■«.•••（II）在［回三I中,若因，求I回--一的最大值.【答案】（【）地（II）目【解析】（I）先对已知条件左右两边同除以口得至IJ，再令凶，即可得到，从而得到:勺表达式，进而可求出后端值；（II）由（I）可求出期值，从而可得到向三I的值，用善示@代入到|国—二I中，最终式子变成了一个二次函数的形式，利用三角函数的有界性可求出最值.试题分析（I）由已知得所以a考点1,三角函数恒等变换；
2.二倍角（n）由（i）得涯,I;因为区一,所以,从而公式的应用；
3.二次函数求最值；
4.观察能力.【方法点晴】本题主要考查的是三角函数恒等变换，二倍角公式的应用，二次函数求最值，属于难题，此类首先不要被其形式吓倒，注意观察其形式特点，发现要求回鬲值，给出的条件中并未体现，因此需要对等式他国替换掉，从而可求出匣值，总结起来，这类题目考查学生的观察，变形能力，同时对三所以元法将的左右两边同除以戊即可得到后江形式，变形之后观察发现，这又是正切的和差公式的形式，因此用换故当时，取得最大值为LJ
12.【2016年吉林预赛】在△ABC中，a、b、c分别为乙
4、乙B、乙的对边，b=1,且cosC+2a+ccos5=角函数的恒等变换公式的熟练掌握是解决问题的关键.
0.
（2）S-BC的最大值・【答案】1LB T2得O JL4【解析】
（1）由已知得bcosC+2a+ccosB=0=sinB-cosC+2sinA+sinCcosB=0=sinB+C+2sin A-cosB=0=sin A+2sinA•cosB=0又乙
4、NB为^ABC的内角，故cosB=一1==生23V
3.,
1.2—sinacosa+-sina1=a2+c2+ac3ac=ac-2将b=1,Z-B=名代入=a2+c2-2accosB得2233V3c
1.”,11・2〃-acsinB-x-sin—==^AARC=1-2以2233。
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