专题21 有关等高线求值、求范围问题-妙解2023年高考数学填选压轴题

专题有关等高线求值、求范围问题21【方法点拨】

1.函数在两点或两点以上点处的函数值相等，我们称之为等高线，此类题常以求取值范围的形式出现，其基本方法是“减元，即充分利用函数值相等这一条件实施“消元”.

2.对于函数0,若存在正数区|一,…，满足区|…,则国I,且后三.

3.等高线问题重在减元“，要充分利用“函数值相等“，树立目标意识，预设“消谁留谁，利用“函数值相等”的逆向使用，探究出自变量间的等量关系.【典型题示例】例1（2022•新高考I•22改编）已知函数|因一……一|和后|，存在直线区寸其与两条曲线5:1和|回共有三个不同的交点,并且从左到右的三个交点的横坐标分别为|凶…则凶.【答案】2［分析］由“等高”得I回即国I，这样就建立m恤的等量关系,为达到“减元”之目的，需在纷杂的关系中，梳理出国一―—―卜囚.一―一一~两组关系，发现“指对同现”想“同构”，从而得到I国一二1,I回~代入求解即得解.［解析］令回得|国3所以函数向三在晅二上为减函数，在回.上为增函数，且回.令0得百］所以函数目一］在I区］上为减函数,在区上为增函数，且因故函数I区I和I冈-----------I有相同的最小值］如下图所示，当直线|区」过函数|冈T和百的交点时，满足题意，此时百1,故|因一一…一一所以再由冈和日二据果移项得0,所以综上,S例2设函数，若互不相等的实数a,c满足底则I区—一的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【分析】画出函数厄a的图象，不妨象国h—卜则.结合图象可得国二二1，从而可得结果.【详解】画出函数的图象如图所示.不妨令回二结合图象可得故选D.回回回则晅…一的最小值为.例3已知函数冈一一一故当【答案】50【分析】设国感眩回冈,且例4已知函数,若存在实数TJ-----A4+-rz1__糊足X的最小值为

50.的取值范围为【分析】由I区二,即3-【答案】0,问题转化为求I区I可取值范围问题，利用导数知识易得..・・*■»・*aaeaw«a*MH【解析】作出函数的图像如下图所示:若存在实数l g」_区14一|满足I区根据图像可得国i M________例5已知函数,若回回回曷是方程冈的四个互不相等的解，则区一…一一…的取值范围是A.冈一|B.冈i|C.凶D.所以凶，即因【答案】D【分析】根据给定函数画出其图象，结合图象可得冈,再借【解析】作出函数叵;［的图象，如图,但二I的递减区间是网”一和后鼻递增区间助对勾函数的单调性即可计算判断作答.是旧，T和旧一寸因回［B回绿方程I国一|的四个互不相等的解，则国三］,不妨令叵的两个根，必有冈一—国跳方程

1.（多选题）已知函数，则下列结论正确的是向田A.B.C.D.£J—

2.已知函数，若存在g b使得@（）后J（）叵|富c,A.B.1C.D.无最小值三］的最小值为］£

3.已知函数.存在三个互不相等的正实数a,b,c且abc时有人尸,附=/3则0取值范围是

4.已知函数，若,则

05.已知函数若|冈……-二］且|国一--一则|因”［的取值范围是H一---------------------------------------------------------

6.已知函数若存在国,当国时,因…………，则旦二的取值范围是

7.已知函数若存在时,则的取值范围是[|2X-1|,xW2,

8.已知函数/（x）=1若互不相等的实数b,满足人）=也）=/（），贝IJ

2、一x+5,x2,+2b+2的取值范围为.0_______「

9.已知函数若存在实数百三I，满足回则因_________________的最大值是

10.已知函数若互不相等，且则的取值范围是____________________区

11.已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数xi,12满足0WXIX2W3,且/（XI）=/（X2），则X2—2»的取值范围为【答案与提示】

1.【分析】作出函数的图象分析出M,臼，底T,i；再对答案进行分析.【解答】解由函数口，作出其函数图象:由图可知，恒卜I回.当I国稠•,回---------------1,有I区由I区囿区--------------------------I，即I区则同二故选I gL

2.

2.【答案】@【解析】由图及［由（a）［区|「（b）|c国,,X设0X上单调递减，在I区I回匕单调递增.可得函数百|在

3.【答案】（0,8）【提示】易知e0,8所以国一4【答案】

2.5【答案】.

06.【答案】7【答案】.8【答案】18,

34.9【答案】2e2-

12.

10.【答案】【提示】不妨设「一|,则I区I,I回|,故I回只需确定联勺范围即可，利用图象立得解.1L【答案】［0,1-/〃2］【分析】利用已知/XI=/X2进行减元，构造函数，转化为区间上的最值问题.【解答】由/X1=/X2得区|\所以X2-2xi=X2-2］，易知1X2^2,设I区I1XW2,则由I回I,得I回当尤1,2-ln2,则g x0,g x单调递增；当花2-ln2,2时，g%0,g x单调递减，所以当x=2-ln2时，g x取极大值也是最大值，即g xmax=g2-ln2=1-ln2,又g⑴=1—2e-10,g2=

0.故g x的值域为［，1-ln2］.即%2-2XI的取值范围为［0,1-勿2］.。