专题2 培优点7 三角函数中的范围、最值问题（教师版）

培优点三角函数中的范围、最值问题7【方法总结】以三角函数为背景的范围与最值问题是高考的热点，对问题的准确理解和灵活转化是解题的关键.53Ji【典例】11若函数y=sin2x+acos x+^a—5在0,—上的最大值是L则实数a的值乙o Z【答案】、.532【解析】2—2,51acos1V-]・X2）~=1—cos^x+acos x+a—~o/4〈VO^x^—,/.O^cos xl.乙

①若即〉则当时,乙a2,cos x=l—、5320/ymax=a+ja-~=1=a=1（占去）；oo z1

②若即0WaW2,乙a2,51a则当时，乙cos x=5y max7+8a-2=b3・・.a=5或a=—40（舍去）；

③若去即〈则当时,乙0,a0,cos x=05119y ax=m5=l=a=T°舍去.ga3综上可得，⑵在中，角的对边分别为若则的最大值a=-AABC A,B,C a,b,c,3acos C+b=O,tan B是.【答案】彳【解析】在中，因为aABC3acos C+b=O,所以为钝角，C由正弦定理得3sin AcosC+sinA+C=0,3sin AcosC+sin AcosC+cos Asin C=0,所以即4sin AcosC=—cos A•sinC,tan C=—4tan A.tan A+tan C所以tan B=—tan A+C=1—tan Atan C因为tan A0,tan A+tanC—3tan A34D.1+8C.a，+8O【答案】A兀22JIcosl X—^的图象，再将各点横【解析】向右平移一二个单位长度，得到fx=cos Xy=O坐标变为原来的,得30gx=2H cosl33x—~y2n3it2n当瓦时,x£0,T,I--T又此时的值域为一；，gx1,.co n2n2n.48—亍二亍•不,25若将函数的图象向右平移力个单位长度，所得图象关于轴对称，则小的最小2fx=sin2x+T y正值是.【解析】方法一将的图象向右平移6个单位长度，得到函数fx=sin2x+T gx=兀、nJT+司的图象，该图象关于轴对称，即为偶函数，因此了兀十2x—2”y gx-26=k5,k nn3n所以6=—三~故当时，6的最小正值为丁.kez,f—k£Z,k=-1Z oo方法二将的图象向右平移6个单位长度，得到函数fx=sin2x+gx=A kunJT JI JI、2x—2e+7的图象，令2x—20+丁=1兀+〒，kez,得X=F~+K+k£Z,此J4NZ o即为的对称轴方程，gx兀_k nn k n又的图象关于轴对称，所以有一三+于是6=一一厂一可gx y5-+6=0,kez,k£Z,Z oZ o3JI故当时、6取最小正值=~.k=-1【方法总结】求解三角函数的范围或最值的关键在于根据题目条件和函数形式选择适当的工具三角函数1的有界性，基本不等式，二次函数等.⑵求解和三角函数性质有关的范围、最值问题，要结合三角函数的图象.【拓展训练】n nA已知函数的图象关于直线*=守对称，且［^―则3的最小值为

1.fx=2sin3x+630f1=0,A.2B.4C.6D.8【答案】A五兀n2【解析】函数fx的周期T^4—--=71,则——〈兀，解得32,故3的最小值为y Oi Zy

32.若函数在［］上是增函数，则当取最大值时，的值等于

2.f x=2sin x+cos x0,a asin2a［432y21丁A.7B.7C.7D.“5555JI其中且【解析】f x=*sinx+6,tan4=-,0,由一2k Jix+4【答案】AJI JIJI,巾，所以6,所以当取最大值时，a asin2a=sin2——1+2k Ji,k£Z,得一工一”+2k兀@+2k兀，k£Z.当k=0时、增区间为2sin@cos e2tan64已知函数司中在任意的二个单位长度的距离内能同时取得最大值和最小值，那

3.fx=2sin—x+x么正实数的取值范围是.3【答案】［10n,+82n1【解析】由题意得丁=高.•.320%（JI\2n.已知函数）行（句（）若£«）在亍上恰有两个零点，且在上单调递增，则4—*=53*+30,0,3的取值范围是一510【答ji2，T案】3k Ji—ji得*=kez,33【解析】令丁3x+=kn,k@Z,・・・f（x）的第2个、第3个正零点分别为瞿，答兀AJI JI令一方兀W3xT乙+2k了兀，W7+2k kez,乙OJ3J3冗5712k n2kn••・一「+----------------------------，keZ,6CO36CO3~5n Ji令在一个，上单调递增,33k=o,fx A;;以5nJTJI10=0〈3，510综上得3的取值范围是jW3乙Jtan AtanC—1—4tan*12A—1,14tan A+---------rtan A』一4，13当且仅当时取等号，故的最大值是了tan A=5tan B2n【典例】2⑴2020•烟台模拂将函数fx=cosx的图象向右平移一厂个单位长度，再将各点的横坐标变为原来的得到函数的图象，若在［上的值域为;30,gx gxo,m一!，1，则3的取值范围为。