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备战年高中数学联赛之历年真题分类汇编2022Q015-2021专题不等式第六缉
371.12017高中数学联赛B卷第02试】设实数〃、b、c满足〃+b+c=
0.令d=max{|a|,闻,|c|},证明:|l+al+bl+c|1-d
2.【答案】证明见解析【解析】当归1时，不等式显然成立以下设03/
1.不妨设a、b不异号,即ah0,那么有1+1+b=l+a+b+ctbl+a+b=1-c1—d
0.因此KI+1+bl+c||1-cl+c|=l-c2=l-|c|21-d
2.
2.[2017年天津预赛】如果整数几2,证明:1+套1+翥…1+*V
2.【答案】证明见解析【解析】解法一在熟知的不等式1+%4d中，分别取％=总，…,士就得到原式左端工e3也+…+表2Z3Z nz注意到备3=3—3,令k从2至心求和,即得5+2+…+k,k2——1*]W+k——k+二2Z3Z1n-
222422、122,2—r=------------V—，n+-32n+l322因此，待证式左端VC
3.,2注意我,就得到的
2.解法二我们对几用数学归纳法证明加强的结论:口忆21+专v2-后,当九=2时,1+京V2—|,结论成立.222n煜i+*=n%i+表V2-扁1+......--------十------------------------------」771+12m+1m+12m+l3假设当九=m2时结论成立，则我们有2________V
2.3m+2m+l3m+2m+2可见当71=m+1时结论也成立.【答案】匕q【解析】设/=a+%入为待定系数.则%*=2；=1七入+为2=万9+2/12匕%%+
①而£21%勺=£忆1%2+%=阳+£21七%=p,于是取a=［则£之1%%=o q代入式
①得n n
77、Z2P\V2Pq Jq1=1i=i当且仅当yi=y=…=%i=0,即=上=…=x=A=:时,上式等号成立2n2故a汨取得最小值勺
17.【2016年天津预赛】设/%=-7，令@1=,2=g+2=/%1+/31+1九=12・・.，证明:对任何%+1Z4正整数n,有f3x2九Ta2nf3x22n-2y®【答案】见解析【解析】先用数学归纳法证明:对任何正整数n,有时an+1当！=1时=--=g，命题成立.24当九=2时,©2=JE=3,命题成立.421设九=12…水整数kl时命题成立.则九=k+1时，由归纳假设知以_ia,aQk+i，k k由/%=.=1—.在区间@+8内单调递增得an-ak+l=/a/c-l+f9k Vf Sk+/%+1=Qk+2=九+1，即n=k+1时命题成立.由数学归纳法，对任何正整数n,有册a.n+1因此,对任何正整数n,有斯=f a+/a2/a.+2n n+1n接下来再用数学归纳法证明:对任何正整数n,有g九/3x2九-
1.当九=1时，%=/3=f3x2°,命题成立.4设九=k时命题成立.2x则几=k+1时,注意到,2//%=卡士=-^―-f2%.I12I1%+
118.【2016年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有的个1,的个2,…，厮个n.证明2%x3a x x10的n+1并确定使等号成立的条件.2【答案】见解析【解析】对正整数n的位数使用数学归纳法.当九是一位数，即iWnVlO时，所证式显然成立，这是因为，此时力的十进制表达式中只有一位数字外即a九=1,其余%•=0/九，所以，左边二n+1J右边.假设当正整数九不超过k位，即九10左时，结论皆成立.现考虑九为k+1位数，即1014几V10丘1时的情形.设九的首位数字为r.则n=rlOk+九10zii10k一
1.
①若%=0,则在数ri的各位数字中，a=1,其余%•=0H r.r显然，r+10r n+
1.^1^10k-1,记％的各位数字中含有a1个1,2个2，…，4个r，.・・,Q9个
9.则九的各位数字中，含有厂+1个r、%•个jl工9J Wr.注意到，正整数%不超过k位.由归纳法假设，对乙有2al X3a X…X10°9n+12=2al x3a2x・・・x r+l%+i x・・・x10的r+1ni+1=r7ti+1+几i+1rlOk+几1+1=几+
1.
②则当几为k+1位数时，结论也成立.故由数学归纳法，知对一切正整数九，结论皆成立.欲使等号成立，由证明过程，知要么九为一位数；要么在九的位数大于或等于2时，由式
②，必须几1+1=10勺此时，由式
①得九=厂10k+10九一114厂49,即几可表示为r吃二？k0,1r9的形式.个k上述条件也是充分的，当九能够表成以上形式时，有%=1,的=忆，其余%•=
0.痂2al X3a2X・・・X r+lar X・・・X10”9=r+l110/c=n+
1.
19.[2016年全国】设实数也2,…，的016满足9%11q+ii=12…,
2015.求Q—Q分@一送…2015一道1【答案】420160162016一堵的最大值・【解析】令=口誉侬-昭J02017=@
1.由已知得对i=1,2,…,2015,均有ai~治+^ai+l—境+・11若2016-今40，则P
0.2016i=l42016,以下考虑的016-於＞0的情形・当由=均%=值…不=等式得=2时，上述不等式等号成立，且有9见＞11后+12・・・,2015,此时,P=嬴.20161«=综上，所求最大值为焉.-
220.【2016年吉林预赛】一次竞赛共有n道判断题，统计八名考生的答题后发现对于任意两道题，恰有两名考生答“T,T”；恰有两名考生答“F,F”；恰有两名考生答“T,『；恰有两名考生答“F,T”.求n的最大值.=PW【答案】7【解析】记“T”为1,“F”为0,从而，得到一个8行n列的数表.显然，交换同一列的和1,此表的性质不改变.因此，不妨设数表第一行全为
0.贝・・设第i行共有四个0i=l,2,…，
8.下面考虑同一行中的00的对数，则=n2=8i2a l=4n n=3nZ81818口鹏鬣=用=第哈一漂九一九=2Z=2=X=22%=2今由柯西不等式表1为n取最大值的情形.表100000000111100011001100011111010101101101011001101101001从而，n的最大值为
7./I-zmin%yS
21.【2016年上海预赛】正实数x、y、z满足|xz^-，求的最大值’15x y zyz-【答案】13【解析】由|z4根出{%y},得乂由%zZ*得专工手,忐则工+工=三+三一工X ZX ZX18i=21~7a8i=E
2.111-7E8i=18l=2-a1Q22i-n n71-3n32-n2nnn-*72117Zx=不占+》—12V15厂5/z—=•---•Vz+—11--------------------Z八%，冷当+…-___21211■H-=—|---------，z yz y211/z\少了十乂1—/yjx■V5•Vz+_5/Vz2\99类似地，由白工迷・6一41,得司+2-2-Vy y1=13,y24方_5=~21,2,3/I,1\,/I,1\,一r9+故/T—1---1—=o—1—+2—1—4+2x-x yz\x z/\y zj2当％=|,y=jz=|时、以上各式等号成立D乙D2—5ak+3%+7Q、k ER对于任意的k6[0,2],若%]、则所以，工+三+的最大值为
13.x yz2/%2求正实数a的最大值
22.[2016年浙江预赛】设函数/%=%2-fc%2满足%16[k,k+a]x E[k+2a,k+4a]，92【答案】宇【解析】依题意，函数/%的对称轴为％=已乎W•从而，题设条件等价于对于任意的忆6@2］，均有亡等+乙乙又比++持—4之2限+1*-4=17k+l3k+197k+12V6-4,当且仅当k=V6-1时,上式等号成立•从而,正实数a的最大值为容.KJ
23.【2016年四川预赛】已知a、b、c为正实数.证明:【答案】见解析abca+b—cb+c—ac+a—b.【解析】1a++；N匕2c2先证明先c之上式等价于证明:；+；+［a2d2*c2ab2+be2+ca2abea+b+c.令％=ab,y=be,z=ca.由不等式/+y2+z2xy+yz+zx,知结论成立.再证明a+b+cN na+b—22，
①其中，TT表示轮换对称积，表示轮换对称和.注意到，不等式是轮换对称的.不妨设a=max{a,b,c].则a+b—c0,c+a—b
0.1当b+c-aMO时，结论显然成立.2当b+c—a0时，々a=y+z,b=z+x,c=x+y.111则％=5b+c—a,y=-c+a—b,z=-a+b—c.于是，x、y、z
0.不等式
①变为2%+y+z8盯z£击o E三女式示注意到,y+z¥yz.则正鼻二衰.类似地，告工，告三三.zx xyz+xz x+yz从而，原不等式成立.
24.【2016年辽宁预赛】若lga+lgb+lgc=0,证明:1V+白+■；
2.匕+D DD a+11C+1【答案】见解析【解析】当=b=c=l时，有热+急C+1由于Iga+lgb+匈c=0,故a、由c0,且abc=l,不妨设cWagb.c a,1,c将c看作常数，令/屹=热+券+ac-----=------------1-----------1-------ac+1c+1a+1c+11C l-cl-ca2注意到，fa=a+l2ac+l2l+a2i+ac2当a、b、c不全相等时，则0c1,a于是/Q在区间上单调递增.匕+2c故1+喜=/0/a Jamax二匕+1l+c人、2ble2bln1令gb=-----1----=------1----.“匕+匕+l l+c11+/72注意到，g=温i一高=卓黑券°又bl,于是gb为增函数.由gblim gb=2,知1/a
2.b-+
825.【2016年河南预赛】已知实数x、y满足2%+3y=4%+9y.试求U=8%+27y的取值范围【答案】1,2]【解析】令=2%,b=3y.Q则已知条件化为a+b=小+/Q、b0,由平面aOb中的图像知t=a+b E1,2].又又=二+炉-庐==故223+U=8%+27y=3+/=a+b3—3aba+b=t3-3---t=--t3+-t2222记/⑴=一评+|严.则当te1,2]时，/t=-112+3t=—|tt—
20.于是，ft在区间L2]上单调递增.易得,当t e1,2]时，ft e1,2].综上，/=8%+27丫的取值范围是1,2].
26.【2015年全国】如实数、b、c满足2@+4匕=2%4a+2b=4C,求c的最小值.Q【答案】log3—2【解析】将
2、2\2c分别记为％、y、z.则》、y、z
0.故％+y2=z,x2+y=z2,=^z2—y=%2=z—y22=z2+2y2z+y
4.y4+y、1211=z=——=-2y H-----1-2y2y4,y，、勾与短1〜32113-x32y2-----------=——.y y4\4当2y2=；，即y=壶时，Zmin=平・此时,相应的％min=f，符合要求.4由于C=log Z,故C的最小值为log2（¥）=log3-|.
2227.[2015年全国】设…，厮（九二2）的实数.证明可以选取为电，…£{1，一1}，使得（£21%）2+（£=1，%）2工5+1）（221碎）・【答案】见解析【解析】首先,由的,Q2/,%1的对称性，可设之2之…之gn・此外，若将的,2,…,即中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的（£之1%）2不减，则问题中的不等式左边的QX1七）2不减，而右边的2二Q不变，并且这一改变不影响々=±1的选取•因此，可进一步设的a2a
0.n先证明一个引理.引理设的a•-a
0.则02二一li5的.2n证明注意到，ata lin-
1.f+1于是，当几=2mm eZ+时，2Mti%=2岂a1—a-2i No,nW一iy-1at-an^—2t a2i-a2i+l1；Q]i=l当几=2m+lm6Z+时，2MTi ai=221%-1一a2i+a n0,Qt=Qi一2；二（如一%+i）工1・回到原题.由柯西不等式及引理知n nW%2+［分一11四］2,这就证明了结论.i=l i=l
28.【2015年天津预赛】设/%=%+，VI证明对任意的％6今斗有yV//%V%.【答案】见解析【解析】证明因为当％60,1时，由广⑺=［一爰V0,所以/%在区间0刀上严格单调递减.于是,有2—企=/1/%/y=y.对任意的％e表1,//%x「11=—I-----z----------2v20x%+1-V2*A*Q2A/2X3—6x2+3A/2X-
10.令gx=2V2x3-6x2+3V2x—1对任意的有2故g%g俘==//%七
29.【2015年安徽预赛】设正实数a、gx=3A/2V2X—
10.【答案】见解析【解析】对任意a e0,1,由均值不等式得I1I1a2+-=a2—4a+4a+-y aAN Va2—4a+4=2—a.类似地，对于任意be0,1,W^2+；2-b.故la2+-+lb2+72-a+2-b=
3.ynnl=12ianl=1a
2.
130.【2015年北京预赛】满足系数p、q为整数，且根为无理数的、©的二次三项式,+px+q称为无理二次三项式.求所有无理二次三项式中根的绝对值之和的最小值.【答案】V5【解析】设/q为无理二次三项式，4q为其判别式.D=p2-+px+注意到,即一a ykil2+12/2由无理二次三项式的定义，知为非负整数，但不为完全平方数.特别地，D H,=0,1,
4.又4q三p2mod4,则H2,
3.p2-于是，D
5.由式
①得|的|+\a\V
5.2事实上，最小值遥是可以达到的.-14-Vs|的|+\a\==V
5.2如p=1,q=—1时，/+%—1为无理二次三项式，其根的,此时,2=alna-blnb1Ina+1Inb+1;a-b
31.【2015年辽宁预赛】设实数a、b、4满足0V a瓦0424L证明:2[Aa+1—Xb]ln[Aa+1—Xb]Xalna+1—Xblnb.【答案】1见解析；2见解析【解析】1设/%=x—6/nx+1—xlnx—blnb.由f%=Inx+1+1—g—Inx—1=1且/b=0,知对于0x b,有:/%=x—6Inx+1-xlnx-blnb0因此，对于任意的0ab,均有lna+l因此，加强后的不等式对任意九2成立.
3.【2017年辽宁预赛】已知％+y=1,问:当实数％、y为何值时/+ly3+1取得最大值.【答案】％=竽,y=萼.【解析】设〃=%3+ly3+1=xy3+%+y[x+y2—3xy]+1,由已知％+y=1可得a=xy3—3xy+2,令£=xy,则七=xy=xl—%=—x2+%；故〃=t3—3t+2,t-.44由于〃=3t2—3,则当t—1时”0;当一1t工时”
0.4因此,a在t=一1时取得最大值.即%y=-l,x+y=
1.解得％=竽,y=竽.
4.2017年山东预赛】实数%,y e1,+8,且孙-2%-y+1=，求+y2的最小值.【答案】152【解析】因为%y-2x-y+1=0,所以y=二+2,代入得|/+y2=|%2+三+2,人JL乙乙\yV JL/令f%=#++2则尸=3%+2+2止点]=3%-序=3y=3[%—2+2][X—2+1]^—4%—2—6X—23%^—3%24-3%—1x-l3X-13•令gx=3x3—3x2+3%—1,则“%=9x2—6%+30,即y=gx在1,+8上单调递增，又gl=6,所以g%0在1,+8上恒成立.所以y=/%在1,2上单调递减，在2,+8上单调递增，所以[/%Lnin=f2=
15.
5.【2017年福建预赛】设的,的、
3、
4、是5个正实数可以相等.证明:一定存在4个互不相同的下标使得热/|.a\na-b\nb类似地，\nb+
1.a-b2对于0%1,设gx=xalna+1—xb\nb-[xa+1—x6]ln[xa+1-x6].则g%=alna-b\nb—a—b—a—bln[xa+1—x6]a-b2gfM=-
0.xa+l-x/二a-b—ln[xa+1—xb]—ij,因此,gQ在区间［0,1］内为减函数.由于g0=gi=0,且g0o,gio,则由函数图像知g%00%
1.
32.【2015年江苏预赛】设多项式/%=/++b%+ca、b、c€R.若对于任意的非负实数x、y,有/汽+y之/%+/y求a、b、c所满足的条件.【答案】a|V9F,c0,bER乙【解析】对任意的％、y0由/%+y/%+/y=3%2y+3xy2-c-2axy.取％=y=0,代入上式得c
0.不妨设％0,y
0.则3%2y+3xy2+—c3^/3x2y-3xy2-c=-3xyV9cf当且仅当％o=y=-正时，等号成立.0故一3%oy眄F-2ax y=a2|V9c.Z-fo o当c0时，对任意的％、y0,3%2y+3xy2—c—2axy.即/%+yfx+fy综上，a、b、c满足的条件为2|怀，c0,beR.Q
33.［2015年江苏预赛】求所有的正整数n,使得对于任意正实数a、b、c满足a+b+c=l,有abcS71+bn+cn i九3+2【答案】见解析【解析】1当ri3H寸，取=-,b=c=-.36则+b71+cn=*2t+/+专高，故九之3不满足题意32当几=1时，abcan+bn+cn=abca+b+c\；\3/3J故n=l满足题意.3当n=2时，原不等式也成立.令％=ab+be=ca.于是，a+炉+=1—2%由ab+be+ca23abc+b+cn3abcx2=abca2+b2+c21%21—2x1171x+%+1—2x\31z=0%V三=-x2l-2%-l-------------------------=-T233\3/3411今abca2+b2+c2-x2l-2%—J J
34.【2015高中数学联赛第01试】若实数m4c满足2+4b=2，,461+2b=4，，求c的最小值.【答案】log3—|2【解析】将2,222c分别记为1，y,z,则x,yz
0.9由条件知％+y2=z,x2+y=z2,故z2—y=%2=z—y22=z2—2y2z+y
4.因此，结合平均值不等式可得z=弊=:2y2+*工》:3312y|也.y y勺」y y2y24\44当2y2=，即丫=盍时，z的最小值为:海此时相应的x值为萼，符合要求.由于C=log2Z故C的最小值为10g2（3迄）=1嗝3-|.9【答案】证明见解析【解析】不妨设的个24a3444劭，考虑以下5个分数黑卢,致生、竺它们都属于区间0刀.@2a4a5a3a5把区间0刀分成两个区间0，]和G，1],由抽屉原理知，区间0，]或C，1]中一定有一个区间至少包含⑴中的3个数记这3个数依次为见仇c.将
①中的5个数依次围成一个圆圈，则1中任意三个数中都有两个数是相邻的点与最是相邻的.即a、b、c中至少有两个数是相邻的.假设与b相邻刈a—b|V去Q另一方面,由
①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中,任意相邻两个分数的分子、分母的4个下标互不相同.于是b对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求.因此，结论成立.
6.[2017年四川预赛】设为实数，若对任意的实数%,y,z,有a%y+yz+zxM^x2+y2+z恒成立，其中M=Jx2+xy+y2•y/y2+yz+z2+-Jy2+yz+z2-Vz2+zx+x2+Vz2+zx+x2•+y
2.求Q的最大值和s的最小值.【答案】a的最大值是3,/的最小值是
3.【解析】取x=y=z=l,有3a4943/,则a43邛》
3.1解法一先证”23%y+yz+z%对任意的实数％、y、z成立.因为y]x2+xy+y2•yjy2+yz+z2」，=J[Q++2Z++M|%+他+剃+”%+3Z+g+沙211=xz+-xy+-yz+yz,9所以y2M^xz+Jxy+|yz++yz+zx xy+yz+zx=3xy+yz+zx=2xy+%2+y2+z22xy+yz+zx+解法二注意到/+则xy+y2^x+y2,Q OQM-|x+y|•|y+z|+-|y+z|•|z+x|+-|z+x|•|x+y|444333-xy+yz+z%+y2+-yz+zx+xy+z2+-zx++yz+%239=-%2+y2++yz+z2+-xy zx39xy+yz+zx-xy+yz+zx+-44-=3xy+yz+zx2解法一再证M3/+y2+对任意的实数成立.z2________________2_______________2_______________2因为盯+ZX++y2++yz+M MJ*++y2+Jy2+yz+Z2+Vz2X2=2x2z2+xy zx3%2+y2+2z解法二注意到x2+xy+y2+y2+yz+z2故例+xy+y2・Jy2+yz+Z24x24-y2+z24-2xy+yz+zx4x2+y24-z2+2x2+y24-z2=3x2+y2+z
2.结合
1、2可知,a的最大值是3,/的最小值是
3.「“2u
227.[2017年陕西预赛】设a、b、c为正实数,且满足a+bb+cc+a=1,求证:品+』+就标＞12【答案】略【解析】由柯西不等式，得心+捍+号N在La+b+c2故只需证明:3+VaF+V^c+Vca1+y/bc3+7ab+7bc+\lca1+Vca1+vaZ先证明:a+b+c|.事实上，由均值不等式及已知，得a+b+c=1[a+b+b+c+c+a]1-3ya+bb+cc+a=32再证明:VHF+Vbc+Vca2事实上，由赫尔德不等式、均值不等式及已知，得+4bc+Vca3=\l4ab-b~a+Vb-4bc--c+\la-c-Vca^VaF+b+a^b+4bc+ca+c+Vca+a+b b+等+c c+a+台a+bb+cc+a=o o所以+4bc+Vca于是a+b+c211=7,3+VaF+VFc+Vca-3+-22即
①式成立.故原不等式成立.
8.【2017年安徽预赛】设招yE[0,l],求f%,y=廛+廛的取值范围.\1+%71+y【答案】[1,2]【解析】当％丫时，由于鸿，鸿e[0,1],因此2f®y之冷+鸿之鸿+鸿=会
21.，l+x21+y2°/l+xz1+y21+x2l+xz1+x2当％y时,显然有/%y佟名之1,且有％+%Ty+y-1,Al1•十几由此lw/%y=J1+3+/l-^〃+『+h-上飞2,勺q qy+y-1弋x+x-1y+yT y+y-1上述最后一个不等式利用了结论当04t41时,“+t+上一t
2.最后由fl,l=1JO O=2可知的取值范围是[L2].,
9.[2017年江苏预赛】已知％,y eR,且％2+y2=2,|x|W|y|.求二丫.的最小值,+%；2【答案】1【解析】因为％+y2=2,所以％+
4.2y2+%-y2=所以、、工+、/j2+12=1[%+y,+x-y2]；1+12=
1.」J，\J、/%+y2x-y24Lx+y2%_y2L\4当第=加,=时，:+=1・71Cr+y2x-y2所以』7+』的最小值为L x+yz x-yY
10.【2017年新疆预赛】已知正数％、y、z满足％+y+z=
1.求证:对任意正整数上有#+y72+z九之后■.【答案】证明见解析【解析】由九维均值不等式，可得xn+H---------卜々271nlxn.A=nx-\3nJ3n3n\3n-1Jn-1y71+而M之小.Gy-1=政.不二,oJzn+冢餐N n*•倨…=心•+.三式相加得％71+yn+zn+3n-1-nx+y+z-o ooxn+yn+zn贵.
11.【2017年新疆预赛】⑴对于任意的a,b〉\a bJa+Z742设%L%,%30,且上+-+-=
1.求证:小+-+冷+与+土人包
2.2h+x x x x x+x xxx+xxxx+x xr231332123121322【答案】证明见解析【解析】⑴由于为＞0,根据均值不等式有2帅工标+坟=2＜噤=£+5=4工之+5+2=誓+⑵将原式变形，并运用⑴可得原式=\X x+x/\%1%2+%3，1%2%3+%1^312=1+―^++-^―1%l+%2%2+%3X3+X r/41+]三+v+焉+云+云+1+;
12.【2017年内蒙古预赛】已知a,b,c,均为正实数，求证:2，bc+ca+ab4百b+cc+aa+b.【答案】证明见解析【解析】因为a,b,c均为正实数,所以有Q+b227^瓦b+c22A/^,a+c22VHE.故b+cc+aa+b8abe.因此9匕+cc+aa+b8abc+8b+cc+aa+b,所以8Q+b+cbc+ca+ab9b+cc+aa+b.又因为a+b+c23be+ca+ab,所以64x3be+ca+ab381[/+cc+aa+b]
2.故+ca+abV3•飞b+cc+aa+b.
13.【2016年陕西预赛】记》，表示轮换对称和•设、从c为正实数，且满足c=l.对任意整数稔2,证明:，脸^-卷【答案】见解析【解析】不妨设abc.W!j y/b+cy/c+b\Ja+b,由切比雪夫不等式得£a=儡小衍F£儡.又由幕平均不等式得aW7云2的+0=庐故加式即2鼎=2鼎2a=；|由尸海.由已知及均值不等式得£a3标=
3.故可为之壶•
14.【2016年山东预赛】证明sin-+sin--sin-n6Z.n n nn+【答案】见解析【解析】原不等式等价于证明2sini tani|nGZ.++定义函数/%=2sinx+tanx—3x0%
1.只需证明fx
0.显然，/0=0,且1/%=2cos%H----------3coszx一2COS3X-3COS2X+1cos2x定义函数gx=2cos3%-3cos2%+1,90=
0.贝lgx=-6cos2x-sinx+6cosx-sin%=6cosx-sinxl—cosx0=g%
0.于是，单调递增.故即所证不等式成立
15.[2016年安徽预赛】证明对任意实数a、b、c,均有Va2+ab+b2+y/a2+ac+c2y/3a2+a+b+c2,并求等号成立的充分必要条件.【答案】见解析【解析】贝+|/|=\a2+ab+b2+y/a2+ac+c2,b+c\232a+——]+-b+c2z/4J4a2ab+c+b+2+c2+避=,3/2+Q+C
2.据三角不等式知|a|+|0||a+0|，即得所要证的不等式.式
①等号成立的充分必要条件为a与S平等且方向相同.注意到，〃a BQ+c—Q+b0ab—c=
0.当a=时，式
①等号成立=be
0.当b=c时，式
①等号恒成立.综上，式
①等号成立的充分必要条件为b=或=0且be
0.
16.【2016年新疆预赛】已知？之1%为=2,£匕%=q,且%0i=12…，叫p、q为常数求2二%*的最小值.。
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