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备战年高中数学联赛之历年真题分类汇编20222015・2021专题排列组合与图论第一缉38年重庆预赛】已知阳，并且/+上+…+线
1.20216{-1,1},i=1,2,...,20210fc=1,2,...,2020,x+%
21.则有序数组的组数为.+…+%2021=-1…1%2021【答案】盍嬲C【解析】由+%2+-------1%2020之+%2+…+%2021=一1，％2021{-1J}，所以％2021=-1，%1+%2+…+%2020=0・所以在％1/2,…，％2020中有101个
1、101个一1，且随时保证%小之1+%+…+0fc=1,2,…,
2020.2即为卡特兰数高羽羽.C年浙江预赛】对于正整数九，若孙-九展开式经同类项合并，，几合并后至少有
2.[20215%+3y-15=04…项，则打的最小值为.2021【答案】44【解析】由xy-5x+3y-15九=%+3ny-5n，共有几+I2项，所以n+I22021，得nN V2021—1,则n=
44.min【年广西预赛】某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门，则、、三
3.2021A BC位学生可牟的选法有种.【答案】343【解析】每个同学有种不同的选法，由乘法原理选法总数为773=
343.年新疆预赛】将正整数中所有数码不超过的数从小到大排成一列，则第个数是
4.[202152021【答案】13205【解析】方法一:所有数码不超过的数有个,两位正整数有个,三位正整数有个，555x6=305x62=180四位正整数有5x63=1080个，共有1295个万位数为千位为共个；1,0,216万位数为千位为共个；1,1,216万位数为千位为共个;共个，1,2,2161943万位数为千位为百位是』各个，共个，一共个，还差个，百位是个位取又令％1,3,036721943+72=201562,=-1,得o—+2―…+2九=1，一—九-31所以@2+4+6+…+2n=----.2【年河南预赛】一张试卷共道单项选择题，每道选择题有三个选项、、若干名学生参加考
27.20174A BC.试，阅卷后发现:任意人都有道题目的答案各不相同，且每个学生不留空题，则参加考试的学生最多有人.31【答案】9【解析】提示:若人参加考试，则对第题,至少有人选其中两项；1017对第题，此人中至少有人选其中两项；275对第题，此人中至少有人选其中两项；354对第题，此人中至少有人选其中两项.443故此人每道题都只选两项，与题设矛盾.3所以参加考试的学生最多人.9另外，易构造出人参加考试的方案9年黑龙江预赛】抛物线与直线围成的封闭图形的面积为*则二项式
28.[2017y2=a01=1ax/\20n%+乡展开式中含项的系数是.【答案】20【解析】提示根据题意有2/；候〃=*所以=1,所以工一18的项为6口以19【年浙江预赛】在多项式％—的展开式中/的系数为.
29.201713%+21°【答案】-4128【解析】提示:一系数为27比0—3-26C^o+3-25Cfo-24C^=-
4128.0【年江苏预赛】从正边形的顶点中任取若干个，顺次相连成多边形.其中正多边形的个数为—
30.20171680【答案】3432【解析】提示正多边形的边数是的约数，不同的正边形有竿个.k1680k kH1,2K因为1680=24x3x5x7,当k取遍1680的约数,£等=1+2+4+8+161+31+51+7=
5952.由于没有“正边形”“正边形”，故所求个数为-等=125952-
16803432.所以第个数是0,123,4,5,
202113205.方法二:数码不超过5的数可以与一个六进制数建立——对应关系,2021=1X64+3X63+2X62+0X利用除取余法可得，即所以答案是6+
5.62O21io=132056,:
13205.高中数学联赛卷第试】现有张卡片，每张卡片上写有中两个不同的数，且任意两张31[2020A0110123,4,5卡片上的数不完全相同.将这张卡片放入标号为的五个盒子中，规定写有的卡片只能放在/号或10123,4,5ij j号盒子中.一种放法称为“好的”,如果号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则“好的”放法共有1种.【答案】120【解析】用亿分表示写有的卡片,易知这10张卡片恰为i；
5.考虑“好的“卡片放法.五个盒子一共放有张卡片，故号盒至少有张1013卡片.能放入号盒的卡片仅有1{1,2},{1,3},{1,4},{1,5}.情况一:这张卡片都在号盒中，此时其余每个盒中已经不可能达到张414卡片,故剩下张卡片无论怎样放都符合要求，有种好的放法.626=64情况二:这张卡片恰有张在号盒中，且其余每盒最多仅有张卡片.4312考虑在号盒，且在号盒的放法数{1,2},{1,3},{1,4}1{1,5}5N.卡片的放法有种可能，其中种是在号的某个盒中放两张，其余种则是在号盒{2,3},{2,4},{3,4}862,3,422,3,4中各放一张.若有两张在一个盒中,不妨设在号盒，则只能在号盒，这样号盒已有{2,3},{2,4},{3,4}{2,3},{2,4}2{2,5}55{1,5},万},故分别在号与号盒，即万},的放法唯一；{2{3,5},{4,5}34{2,5},{3{415}若在号盒中各一张，则号盒均至多有张卡片，仅需再使号盒中不超过张卡片，{2,3},{2,4},{3,4}2,3,42,3,4252即有张或张在号盒中，对以+废=种放法.{2,5},{3,5},{4,5}0154因此.由对称性,在情况二下有种好的放法.N=6xl+2x4=144N=56综上,好的放法共有种.64+56=120【年四川预赛】已知正四面体的四个表面上分别写有数字、、、，将四个这样的密度均匀的正四面322020123体同时投掷于桌面上,与桌面接触的四个面上的四个数的和能被整除的概率为.4【答案】:4【解析】和能被整除的情况可分为以下几种:4⑴四个面上的数字相同，共有种；42四个面上的数字为
1、
3、
2、2,共有种；3四个面上的数字为
1、
3、
1、3,共有C种；4四个面上的数字为
1、
3、
4、4,共有A种；5四个面上的数字为
2、
2、
4、4,共有C种
1、6四个面上的数字为
1、
2、4,共有A种；7四个面上的数字为
3、
3、
2、4,共有题种；综上，共有题+第=种.4+4264【年重庆预赛】有长为以九二」…的线段各三条，则由这条线段能构成不全等的三角形33202020,10093030的个数为.用数字作答.【答案】510555【解析】若〈，则104ij k410092l+VV+V=2142k.故九一定不构成三角形.2,242若，则20i;10092l+2l=2i+1V.故一定不构成三角形.2\2M2/3若0i;1009，则21+V2乙V+V
21.故一定构成三角形.2,22/⑷若04k41009Jllj2\2\2k一定构成等边三角形.综合，知构成三角形的只能是V/或等边三角形，共有1〜4个.Coio+1010=510555【年全国】将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数首位不为则34201962,0,1,9,20,1980,产生的不同的位数的个数为8【答案】498【解析】所有首位非的位数086!-5!、相邻的不同位数285!-4!、相邻的不同位数:
1982、0与
1、9均相邻的不同8位数乙・乙・故所求的位数个数为一产乙乙•乙.86!-5!-+4=
498.乙年内蒙古预赛】方程/+的非负整数解的个数为.35[2019%2+%3+%4+%5=10【答案】1135【解析】当刈=时，则非负整数解射+岛底个；0+C1+2当%]=时，则非负整数解腐+%+仁+盘个112当％时，则非负整数解量+或+量个1=22]+当%时，则非负整数解个1=34共个.1135年新疆预赛】设九为正整数.若…+九的和恰好等于一个三位数且该三位数的每个数字均相同，
36.[20191+2+则所有可能的几值为.【答案】36【解析】设化简可得当由于且是素数，故九和九+中要有一个被1+2+…+n=5,4=111X
0.111=3x3737137整除,再由…+几可知九.因此或.经计算，且1+2+1000,45n=36371+2+…+36=6661+2+…+37=703,故几=
36.【年浙江预赛】在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形
37.20191=0的数目为.【答案】39200【解析】易知/-的根在单位圆上，且两根之间弧长相等，都为篇，即将单位圆均匀分成段小1=0100100弧.首先选取任意一点为三角形的顶点，共有种取法.Z100按顺时针方向依次取顶点B和顶点C,设45弧有工段小弧，C8弧有y段小弧，/C弧有z段小弧，则△4BC为锐角三角形的等价条件为x+y+z=100x+y+z=971x y,z49[ox,y,z48f计算方程组⑴的整数解个数，记Pi={x\x+y+z=97,x49bp2=y\x+y+z=97,y49},P={z\x+y+z=97,z49},S={%,y,z|x+y+z=97,x,y,z0},3岛=玛+闷—W山n引+岛n nP\=|S|—|P1UP UP\9-\P1\+\P\CP2c^123232鬣=%-30=
1176.由于重复计算次，所以所求锐角三角形个数为产=
339200.年贵州预赛】若的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列，则最大的三位正整数
38.[2019a+bF n=【答案】959【解析】解法1:设a+bF的展开式中连续三项的二项式系数为Cr\C^^+1lfcn-l,因为2cA=魔t+魔+1=层一九+4k+14/—2=04/c+l±V8/c+9公
①=n=-----=------2由为正整数，则应为奇完全平方数，故设n8k+98k+9=2m+l2m£N,即2k=m2+m-2,代入
①式得n=m+l2-2或n=m2-
2.所以，三位正整数的最大值为n
959.解法同解法得，九即解得2:12—4k+ln+4k2—2=0,n-2k2=n+2,2k=n+Vn+
2.因为要使是最大的三位数且是整数，312=961,322=1024,n gT则所以.止匕时九±是偶数，符合要求.n+2=3y=961,n=959+2高中数学联赛卷第试】将个数、、、、、按任意次序排成一行，拼成一
13.12019A01620192019个位数首位不为则产生的不同的位数的个数为.80,8【答案】498【解析】将、、、、、的首位不为的排列的全体记为
2019201904.易知圄这里及以下，表示有限集的元素个数.=5x5!=600|X|X将A中2的后一项是0,且1的后一项是9的排列的全体记为8；中的后一项是但的后一项不是的排列的全体记为；A20,19C中的后一项是但的后一项不是的排列的全体记为A19,20D.易知固即网==4!,|B|+|Q=5!,|B|+|D|=4x4!,24,|C|=96,\D\=
72.由中排列产生的每个位数，恰对应中的个排列这样的排列中，可与互换，可与5882x2=420“2,0”19“1,9”互换类似地，由或中排列产生的每个位数，恰对应或中的个排列因此满足条件的位数的个数为C828\B\\C\+\D\|/1\BUCUD|+^+11114L用回,3||C|M|=600-18-48-36=
498.【高中数学联赛卷第试】将个数按任意次序排成一行，拼成一个位数首位
14.2019B0152,0,1,9,20198不为则产生的不同的位数的个数为.0,8【答案】95【解析】易知的所有不以为开头的排列总共有个.其中,除了和2,0,1,9,201904x4!=962,0,1,9,2092019,2,这两种排列对应同一个数其余的数互不相等因此满足条件的位数的个数为0,1,920192019,896—1=
95.【高中数学联赛卷第试】设整数心行-九的展开式中”一与孙两项的系数相等，
15.2019B014,%+214则〃的值为.【答案】51【解析】注意到％+2y[y-ln=£%品”-丁2后-1广其中项，仅出现在求和指标尸时的展开式中，其％九-项系数为黑=”-44144_14nn-ln-2n-324,而孙项仅出现在求和指标r=n-l时的展开式C丁1%・2后-1九一1中，其孙项系数为©丁1第_14♦—I71—=-ln-32nn-1九-
2.因此有如一=-l^-32nn-ln-
2.16-25-3又/%=_去所以其顶点坐标是a%+/2若顶点在第一象限，则有白〉-晟〉故0,
0.0,b
0.2a4a因此，这样的二次函数有用・q=12个.若顶点在第三象限，则有—卷—《.故.这样的二次函数有题=个.0,V0Q0,b012由加法原理知，满足条件的二次函数共有用•用+福=个.24故答案为243【年湖南预赛】|%|+百—的展开式中常数项为.
17.20182【答案】-20【解析】因为⑶+自-四一高［所以北=R砥河岛『_23=3=20故答案为-20【年广东预赛】袋中装有个红球和个白球，.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概
18.2018m nmn%率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系租+九的数组的个数为.440m,n【答案】3【解析】记“取出两个红球”为事件“取出两个白球”为事件“取出一红一白两个球”为事件则A,B,C,P4=「「「工.22茨，PB=*,PC=*Lm+n Lm+n Lm+n依题意得PQ4+P8=PC,即+=4cA所以租+n=m-n2,从而加+几为完全平方数.又由及得m n4m+n40,9m+n
40.所以或或或fzn+n=9,cm+n=16,m+n=25,cm+n=36,解之得舍去，或或或m,n=6,310,6,15,10,21,
15.故符合题意的数组有个.m,n3故答案为3【年广西预赛】把本相同的书全部分给名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互不
19.2018164相同，则不同的分配方法种数为.用数字作答【答案】
216.【解析】将分解成四个互不相同的正整数的和有种不同的方式16916=1+2+3+10,16=1+2+4+9,16=1+2+5+8,16=1+2+6+7,16=1+3+4+8,16=1+3+5+7,16=1+4+5+6,16=2+3+4+7,16=2+3+5+
6.故符合条件的不同分配方法数为
944216.【年安徽预赛】把按照顺时针螺旋方式排成行列的表格配,第一行是
20.20181,2,n2n1,123-…，例如.设在的第行第列，则2,n.T=8942018Ao ij i,j=..
765.3【答案】34,95【解析】设则的第行第列元素是14k450,Ao kk1+42^101—2i=1+4101-kk-
1.因此，在第行第列，在第行第列，在第行第列.190166190069520183495故答案为34,95【年河南预赛】将圆的一组九等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录
21.2018〈九个点的颜色，称为该圆的一个“阶色序”，当且仅当两个阶色序对应位置上的颜色至少有一个不相kk k同时，称为不同的阶色序.若某圆的任意两个阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最多可有个.k“3【答案】8【解析】阶包序”中，每个点的颜色有两种选择，故阶色序”共有种.“3322x2=8一方面，几个点可以构成几个阶色序”，故该圆中等分点的个数不多于个.“38另一方面，若几则必须包含全部个阶色序”，如按逆时针方向确定个的颜色为“红，红，红，蓝，蓝，=8,8“38蓝，红，蓝符合条件.故该圆中等分点的个数最多可有个.8【年浙江预赛】在八个数字中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.
22.20182,4,6,7,8,11,12,13【答案】36【解析】在中任取一个整数与在中任取一个整数构成既约分数，共有酸盘=种；7,11,132,4,6,8,12230在中任取两个整数也构成既约分数，共有掰中.7,11,13=6合计有种不同的既约分数.36【高中数学联赛卷第试】若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过则称其为
23.2017A011,“平稳数”平稳数的个数是.【答案】75【解析】考虑平稳数次.若氏则斫有个平稳数.0,1,ce{0,1},2若贝有个平稳数.=1,2},ce{0,1,2},2x3=6若则+有个平稳数.2sbs8,m c^[b-l b,1}7x3x3=639若氏则有个平稳数.9,m ce{8,9},2x2=4综上可知，平稳数的个数是2+6+63+4=
75.
24.[2017年天津预赛】豉+l4x一1尸的展开式中，俨的系数是.【答案】45【解析】提示«+的展开式中,％、%的系数分别为第,位,常数项为.因此,«+的展开142C114%—15式中,%4的系数是第髭-13+C式葭—12+C c式—11=
4525.[2017年河北预赛】设％+I2017=a%2017+^%2016+a x201s H----------------F@2016%+2017,那么的+02+的值为.9+-----2017【答案】22015+21007【解析】提示的+的+的+…+217=；[1+I2017+1+02017+1-I/”+1—£2017]=i[22017+2i1008l+0+0+-2i1008l-0]=-[22017+21008+21008i+21008-21008i]=i22017+44421009=22015+
2100726.【2017年江西预赛】设1+%+X2n=UQ+Cl^X+a2%+…+Qzn%71,则@2+4+6+…+021=【答案】口【解析】提示:令％=0,得=1,再令％=1,得0+Q1+2+…+a2n=324,注意到〃4,化简得九一3=―ln-348,故只能是n为奇数且〃-3二
48.解得n=
51.【年湖南预赛】从、、、、、、、八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数/%=％
16.2018-3-2-101234+必+式的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二次函数有个.20【答案】24【解析】可将二次函数分为两大类一类顶点在第一象限；另一类顶点在第三象限，然后由顶点坐标的符号分别考查.因为图象过坐标原点，所以c=
0.故二次函数可写成%=a2+汝的形式.。
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