中考数学二轮复习类比、拓展探究题图形旋转、平移和折叠

类型一图形旋转、平移和折叠引起的探究现有正方形和一个以为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板的两直角边

1.ABCD所在直线分别与直线交于点如图

①，若点与点重合，容易得至战段与BC,CD M,N.0A ON的关系.（）观察猜想I如图

②，若点在正方形的中心（即两条对角线的交点）与的数量关系,0M ON是；（）探究证明2如图

③，若点在正方形的内部（含边界），且请判断三角板移动过程中所有0OAf=ON,满足条件的点可组成什么图形，并说明理由；O（）拓展延伸3若点在正方形的外部，且请你在图

④中画出满足条件的一种情况，并就O ON,“三角板在各种情况下（含外部）移动，所有满足条件的点所组成的图形”，写出正确的结论.0（不必说明理由）H MC国

②.AB=AC./BAD=ZCAEf.AD=AE/.△BAD^^C4£SAS,..BD=EC,AACE=NABD,.NAOC+ZACO=90°,ZAOC=ZBOQ,OBQ+ZBOQ=90°z・・.NBQO=90，..ECLBD,\BM=MC,BF=FE,.\MF\\EC,MF=^EC,:CM=MB,CN=ND,.\MNWBD,MN=^BD,・・.MN=MF,MN±MF.^NMF=90°,tMNF=45，NF=SMN.

34.【解法提示】因为在△5PC中，BC的长度不变，要求的最小值，只需要求出点PSSCP到的最小值.BC如解图

③，以点为圆心，为半径作人设与交于点.A AD8AC第题解图

③2当直线PB与A相切时，＞BCP的面积最小，・・/=AE,AB=AC,^BAC=ZDAE=90°,.^BAD=ZCAE,/.△BAZ^^G4ESAS,「.NACE=ZABD,BD=EC.,:ZABD+ZAOB=90°,是的切线NAOB=A COP,OCP+ZCOP=90°4CPB=90°.VPB A,.DPz=90°.VZDPE=NAD尸=NOAE=9r〃.・四边形ADPE是矩形/AE=AD，二四边形AOPE是正方形，.二AD=AE=PD=PE=2,BD=EC=\j42-22=2\[3,.\PC=2\j3-2,PB=2+2\/3，,的最小值=\PCPB=；x2⑴-2X Q\[i+2=

4.J LSSCP解:；

3.lBE=\/2AF【解法提示】•「△ARS是等腰直角三角形，,二AC=\liAF”AB=AC,，BE=AB=\/iAF.无变化,BE=6F，理由如下2A在中Rt“5C AB=AC,z/.ZABC=ZACB=45°,.,.sinZABC=^=^.CB2在△石厂中，，Rt CNFEC=/FCE=

45..CF_\H..sinZFEC=—=—.CE2,CA CF■CB=CE又,/FCE=NACB=45，FCE-AACE=ZACB-A ACE.即/尸G4=NECB,BE_BC_啦,AF=AC=△...ACF~ABCE.；.\BE=\[2AF/长为或3A6-13+

1.【解法提示】当点在线段月上时，如题图

②，由知，尸二七尸二g,在中，£31RfBCFCF=也，BC=2也,根据勾股定理得，BF=BC2-CF2=,/.BE=BF-EF;亚，由2知，BE~AF,.・.AF=5-1当点£在线段8尸的延长线上时，如解图.在RtzCA g△ABC中,AB=AC=2,,^ABC=ZACB=45°/.sinZAi5C=—=，在RHEbC中EC CB2z=ZFCE=45°,sinZFEC=—=—,•-7^=7^,\Z.FCE=ZACB=45°,/.Z.FCB+ZACB CE2CE CBRFCR——尸，由⑴=ZFCB+ZFCE,,,ZFCA=/ECB,.^ACF-^BCE,.\—=—=\l2,..3£=42A/LXCz/jL知，b二E尸二g,在RfBCF中，CF=\H,BCS根据勾股定理得BF:日,・.BE=+也,由知=「./二综上，当即旋转至!]三BF+EF=a2A g+L B,E,F点共线时候，线段的长为g-或g+AF

11.第题解图3⑴

①证明:四边形为正方形,

4.A3CO.AB=AD,^QAD=ZEBA=90°.又・・・A£J_QO,「.NAQO+ZADQ=ZAQO+ZQAO.二..NAOQ ZQAO.在△D4Q和△A5E中，/QAD=/EBA,AD=AB,=2ZBAE,「•△ABE垩△OAQASA.；..DQ;AE

②解；1【解法提示】9GF.LAE,DQ±AE..\GF\\DQ/QF\\DG，，四边形DGFQ为平行四边GF7⑵解:AE=k1形，由

①知，乙芝噜=..O0=GF.OQ=A1理由如下如解图

①所示，过点作于点/.由折叠的性质得G GIA.AB△Ab也△EbOSAS,.^AOF=ZEOF=90°,9ZBAE+ZAFO=ZBAE+ZAEB,.\^AFO=ZAEB-:AGFIs AAEB.,寮普亲匕R£第题解图

①4⑶解如解图

②，过点作的延长线于点P PM±BC M.由折叠的性质得石=NGP ZFEP=90°.BFE=ZCEH=ZHGP.BE3设/.tanZCGP=tanZBFE=-=-,BE-3x,BF-4x.FB

4.AF=FE=5x.由⑵得，爷二,，解得AE=3\/Io,AE3在RtMBE中，由勾股定理得5x+4x2+3x2=3\/102,解得x=

1./.BE=3,BF=4EF=5,z AB=9,BC2•■t AB~

31.BC=6,EC=

3.在中,Rt^PEM tanZPEM=~~=~,EP=BC=

6.EM43y2+4y2=

62.「解得•第题解图

②

41824249.，.PM=—,EM=—,CM=EM-EC=--3=-..CP=\I CM2+PM2=”.第题图1新乡模拟在等腰直角三角形和等腰直角三角形中二

2.2019ABC ADE/BAC ZDAE=90°MB=4,A£=2,其中△ABC固定，绕点A旋转，点F、M、N分别为线段3区、的中点，连接、BC CDMN NF.问题提出如图

①，当在线段上时，则的度数为,线段和线段1AD AC NMN/MN NF的数量关系为；深入讨论如图

②，当人不在线段上时，请求出的度数及线段和线段版白徵2ACNMN/MN量关系；拓展延伸⑶如图

③，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P,贝！］△8CP面积的最小值为I田

②第题图2南阳模拟【问题发现】

3.20191如图

①，和△口尸都是等腰直角三角形，二/七/二，点与点重MBC NE4C90E A合，则线段与的数量关系为；BE AF【拓展研究】2在⑴的条件下，将△石尸绕点旋转，连接线段与尸的数量关系有无BE,AF,BE A变化？仅就图

②的情形给出证明；【问题解决】3当△口/旋转到尸三点共线时候，直接写出线段的长.AB=AC=2B.E,AFf第题图3备用图襄阳证明推断如图

①，在正方形中，点,分别在边,

4.20191A3CD£AB上，于点，点/分别在边OQJ_AE G,CD,AB GFA.AE.

①求证；DQ=AE

②推断组的值为AN类比探究如图

②，在矩形中，器2A8C为常数将矩形沿/折,kk CQG®AD使点落在边上的点处，得到四边形交于点，连接交于点A3c EFEPG,EP CDH AEGF・试探究G/与AE之间的数量关系，并说明理由；拓展应用在⑵的条件下，连接当左二］时，若而，求3CP,tanZCGP=1,GF=2的长.CPIH£IH EC图2第题图4类型一图形旋转、平移和折叠引起的探究

1.M1OM=ON；【解法提示】如解图

①过点作上于点，/于点心则0E CD E J_8c NOEN=ZOFM=90°.・点为正方形的中心，••..OE=OF,AFOE=90°,,MON=90；ZMOF=/NOE,.^OFM^OEN,；QM=ON.第题解图

①l三角板移动过程中所有满足条件的点可组成线段对角线.2AC A理由如下如解图

②，过点分别作工,垂足分别为点,八则O OEA.BC,OF CD£NOEM=ZOFN=90°.又・・・/=90，.,ZEOF=ZMON=9Q°,MOE=ZNOF,在和产中，AMOE/OEM=ZOFN•ZMOE=ZNOFf、0M=ONMOE2NOF,.・.OE=OF.XV OE±BC,OF LCD,.・・点在NC的平分线上,••・三角板移动过程中所有满足条件的点0可组成线段AC（对角线AO.第题解图

②1⑶画图如解图

③,第题解图

③1三角板移动过程中所有满足条件的点可组成直线或过点且与垂直的直线.AC C AC【解法提示】如解图

④，过点作,垂足分别为、,则0OELBC,OF±CDEF/OEM=ZOFN=90°,又•・・NMb=90，.\^EOF=9Q°=ZMONtMOE=ZNOF,在△MOE和△NO/中，/OEM=ZOFN ZMOE=ZNOFf、0M=ON沙:QMOE NOFgS,..OE=OF,XV OEA,BC,OF LCD,・•・点0在/MCF的平分线上，，三角板移动过程中所有满足条件的点可组成直线；o AC如解图

④，同理得在外角平分线上，即三角板移动过程中所有满足条件的OWOW,0/BCD点在过点且与垂直的直线上，综上所述，三角板移动过程中所有满足条件的点可组CAC0成直线或过点且与垂直的直线.AC CAC第题解图

④

12.解

（1）45，NF=\[iMN；【解法提示】如解图

①，连接尸，,作射线交于M CEBD ECH.B第题解图

①2在△氏4和△C4E中，ZBAD=ZCAE=9Q°,.AD=AE..BD=EC/ACE=ZABD,.NABD+ZADB=90°,^ADB=ZCDH,CDH+ZDCH=90°,,CHD=9,ECA-BH,\BM=MC,BF=FE,.\MF\\EC,MF=\ECz又・CN=ND,・,.MNUBD MN=~BDf

1.MN=MF,MN,LMF,/.ZWF=90°,MNF=45，NF=\l2MN.⑵如解图

②，连接,设交于点交于点MF.EC,BD ECAB O,BD ECQ.第题解图

②2AC=AB,AE=AD,^BAC=ZDAE=9Q°zCAB+/BAE=ZDAE+ZBAE,^BAD=ZCAE,在△氏4和△C4E中，。