中考数学二轮复习类比、拓展探究题动点

类型三动点引起的探究在中，，口=,点为射线上任意一点，将线段绕点逆时针旋转

1.RfABC ZBAC=90°AC BC AD A得到线段,连接90AE CE.问题发现1如图

①，当点在边上不与点、重合时，请直接写出的度数；BC BC N3CE类比探究2如图

②，当点在线段的延长线上时，请问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若D BC不成立，请说明理由；拓展延伸3如图

②，在⑵的条件下，连接并延长，交的延长线于点尸，若=,请直接写出线ED AC AC=4,A6段的长.CF图2第题图1/.ZMDO=30°z・・.NBDE=30；第题解图

②4聂

34.【解法提示】

①如解图

③，当BN=；BC时，作于凡由题意=1,在Rt3而中，:,在中，AMAH=60°,AM=1,,BH=^,HM=^RtSM”BM=AN=DF=乙乙乙力+当产=巾，由2可知ZBDF=ZACB=60°,^CBM=/DBF,.,.△CBM”DBF,.,喘=喘，:东=亲,.7711I二今

②如解图

④，当二*时，同法可得.综上所述，满足条件的的长为:BF=W CF==CN CCF=4CF或

4.图

③图

④

2.如图，△ABC是等边三角形，点是边BC所在直线上一动点，连接AD,点E为LABC的外角平分线上一点，且乙二，试探究与的数量关系4660AO OE问题发现1如图

①，当点为的中点时，过点作，交于点尸，通过构造全等三角形，经过推理BC D DF//ACA3△DCE^,AD与DE的数量关系是论证，能够使问题得到解决，请直接填空:⑵类比探究如图

②，当点是线段上除外任意一点时，试探究与之间的数量关系，并写出推D BCB,CAD DE理过程；拓展延伸3当点D在线段BC的延长线上，且满足CD=3C时，若A3=2,请直接写出△AQE的面积.图2第题图2H

3.在RtA/lBC中，ZACB=90°,AB=yp,AC=2,过点B作直线m//AQ将△ABC绕点顺时针旋转得到△入点的对应点分别为、夕，射线、夕分别交直线加于点、9C484C4C P Q.问题发现如图

①，若与重合时，则的度数为；1P4NAC4类比探究如图

②，设与的交点为当为的中点时，求线段的长；249M PQ拓展延伸在旋转过程中，当点、分别在、的延长线上时，试探究四边形的面积是3PQCA CBPABQ否存在最小值？若存在，直接写出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.PABQmPB圉

①一■JWz,--¥Ifl2第题图

34.2019南阳模拟已知在△ABC中，CA=C8,0＜NACBW90，点M、N分别在边CA,CB上不与端点重合，3N=AM,射线AG〃8交BM延长线于点D,点E在直线AN±,EA=ED.⑴【观察猜想】如图

①，点在射线上，当乙时，E NA4cB=45

①线段BM与AN的数量关系是__________

②NBDE的度数是____________；【探究证明】如图

②，点在射线上，当时,判断并证明线段创/与的数量关系，2E ANNAC3=30AN求的度数；N3OE【拓展延伸】点在直线上，当乙时，,点是边上的三等分点，直线互＞与直3E AN4c3=60=3N5c线交于点请直接写出线段的长.BC F,CF/n~i类型三动点引起的探究

1.角生lZSCE=90°；【解法提示】V ZBAC=90°AB=AC..^ABC=ZACB=45°,由旋转的性质,可得LD=AE,NDAE=t沙90°,^BAC=NDAE/.NBAD=NCAE/hABD ACE；ZACE=ZABD=45°,.^BCE=ZACB+ZACE=90°.⑵⑴中的结论成立.证明由旋转的性质，可得=，,ND4E=

90..NBAC=ZDAE.即..N8AC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,ZCAE.在△A3和△ACE中,AB=AC,NBAD=ZCAE,=AE./.MBZ^MCESAS..,.NACE=/B,9ABAC=90°AB=AC,t..NB=ZACB=45°,・•・ZACE=45°,；BCE=ZACB+NACE=90⑶线段5的长为

5.【解法提示】:△ABC和△ADE都是等腰直角三角形・・・.NAC3=ZADE=/DCF=45J/CDE是△CO尸的外角，「.NAOE+ZADC=ZDCF+ZF,「.NAQC=ZF,又NC4O=ZDAF,^ACD-^ADF,.An Ap7^=77；/^AD2=AF AC,即62=4AF.\AF=9,,CF=AF-AC=

5./i/iZ-zt解

2.1AZM,ADDE]【解法提示】V AABC是等边三角形，,ZB=ZACB=NB4c=

60.又丁尸〃AC^BDF=NBFD=60〃.△BDFz是等边三角形；.DF=BD/BFD=60〃ZAFD=120°.VB£=CD.DF=CD.\9EC是外角的平分线/DCE=no°=r在与ZAFD NADB=ZADC=90°,.^ADF=ZEDC=300AFD LECDZAFD=/ECD中，1DF=DC,.^AFD^ECDASA,.AD=DE.ZADF=ZEDC日证明如下2AO=如解图

①，过点作,与交于点DDF//AC ABF.第题解图2AB=BC/B=ZACB=ZBAC=60，^DF//AC,BDF=ZBCA=60°,•・・△5尸是等边三角形BF=BD,^BFD=60°,z..AF=CD,NAFD=120°,「是外角的平分线，EC..NDCE=120°=ZAFD,・••NAQC是△AB的外角，ADC=/B+ZFAD=60°+ZFAD,.NADC=ZADE+ZEDC=60°+Z EDC,/.ZMD=ZEDC,在与中,ADCE^FAD=ZCDEAF=DC,ZAFD=ZDCE「.△AFO合△ZCEASA,；/.AD=DE小.33第题解图

②2【解法提示】当点在线段的延长线上，如解图

②，设CE与4交于点O.・・・3C=C\AC=CD,r.・CE平分NAC，二CE垂直平分A i・.AE=DE，:NAOE二60,「.△ADE是等边三角形.9AB=2,/.CD-AC-2,.OC-1,OD=AO=y13,.\DE=AD=2y/3,..OE=3，二SMOE=Jx25x3=3小.解

3.160【解法提示】由旋转可知人，AC=4C=2,,.28=90,AB=yp AC=2,.\BC=y[3,•.245=90f，二,「.二里二W，.二,二/；mW ACNABC=90COSNACB NACB=30ACA=60AC22・1M为A®的中点,^ACM=ZMAfC,由旋转可得/BAC=ZA,..NA=ZArCM,3一=2，y[

3.*.tanZPCB=tanA=,\^BQC=ZBCP=ZA,二，PBJ

3.*.tanZBQC=tanA=1・.BQ=BCX宗=2,7；.PQ=PB+BQ=3存在.【解法提不】〈四边形小，33-y[3S/XTTQ=S”CQ-Swc*=S”c°-「.四边形以最小，即S S最小，△PCQ・SPCQ=2PQX8C二,法一几何法取PQ的中点G J2PCQ=90，「CG=切2，即PQ,当最小时最小，，即与重合时最小，「疝〃二小,小，=2CG CG,PQ.,CG J_PQ CGCB,CG CGPQ n=2mi.SPCQ的最小值=3,S四边形P^BQ=3-小；法二代数法设PB-x,BQ=y,由射影定理得xy=3,.,・当PQ最小时,x+y/-e-^+y2=x2+2xy+/=x2+6+y22xy+6=12,当x二y二小时，〃二”成立，「・PQ二小十小=2小,.SPCQ的最小值=3,S四边形PABrQ=3一小.

4.解⑴

①=

②135；【解法提示】如解图

①，延长石交8c于点尸，交AC于点O.・・・C5=C4,\^ABN=ZBAM,.BN二zAM AB=BA,；.BM=AN,^ANB=ZAMB,.ANC=/BMC\EA=ED,.NEADt tf二/EDA,\AGWBC,.^EAD=ZENF,4EDA=/EFN,・/BMC=/BFE,；2MoD+/BDF=ZC+ZFOC\ZC=45°,NFOC=/MOD^MDO=45°,.^BDE=135°.t t第题解图

①4⑵如解图

②，设交尸于点aAC CB=CA,.・2ABN=ZBAM,..BN=AM AB=BAt t「.△ABA生△BAMSAS,:.BM=AN,4ANB=ZAMB,ZANC=A BMC,EA=ED,.\AEAD=ZEDA,\AG\\BC,.ZEAD=ZENF,4EDA=/EFN,.NBMC:ZBFD,..NMOO+ZBDF=ZC+ZFOC,\ZC=30°,ZFOC=/MOD,。