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一题多解专题类型二特殊图形的边或角不确定
1.如图，在矩形A8CQ中，AB=15,AD=12，点/为边3C上一点，以0b为折痕,将△口/沿着DF折叠，点C恰好落在边AB上的点石处，点G为线段BA延长线上一动点，连接DG,当△QEG为以DE为腰的等腰三角形时，线段AG的长为.
2.如图，△45C为直角三角形，NC=90，AC=3,=4,点，E分别为AC,A3的中点，点M是边CB上一动点，连接MD,ME作关于DE所在直线对称的,DM交AB于点N,当△4ON为等腰三角形时，EN的长为.
3.如图，在放“3C中，/=90，AC=6,8C=8,翻折NA,使点A落在线段上的点D处，折痕为EF.若△DFB与△ACB相似，则线段CD的长为.
4.如图，在直角坐标系中，点A2,0,点仅0,1,过点4的直线/垂直于线段AB,点P是直线I上一动点，过点P作PCA.X轴，垂足为点C，把AAC尸沿AP翻折180，使点C落在点D处，若△%s△尸3A时，则满足此条件的点P的坐标为
5.（2019郑州模拟）如图,在矩形A3CD中,AB:BC=3:5，点E是对角线上一动点（不与点B,D重合）,将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A,B的对应点G,F分别在直线4与8上，当AOE尸为直角三角形时，CN:8N的值为.
6.如图，矩形ABCD中，43=4,AQ=6,点£为中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP,将△APE沿PE折叠得到△「/石，连接CE.CF,当△日才为直角三角形时，AP的长为.
7.（2019濮阳模拟）如图,在心△A3中,ZC=90°,BC=2小,AC=2，点是的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△瓦定翻折到△夕DE的位置，BD交AB于点E若为直角三角形，则AE的长为.
8.如图，在短左中，乙钻=45，BC=3,将NC折叠，使点的对应点落在A3上,折痕为EF,若是直角三角形，则CE二第8题图9-如图，在△ABC中/ACB=90，2小，N3=30，点是AB边上的动点，将△BCD沿着CD翻折得到△EC，CE与A3交于点F,当BD的长度为时，DEF是直角三角形.第9题图
10.如图，在△A8C中，=AC=8,3C=4,将NACB折叠，使点落在顶角平分线AD上的点处，折痕分别交AC,BC边于点E,尸，连接30,当ABFO为直角三角形时，△8尸的周长为.第10题图类型二特殊图形的边或角不确定答案
1.9或6【解析】•・•四边形A5C是矩形，・,.ND4石=90，DC=AB=15,.\ADAG二
90.由折叠可知DC=DE=
15.1DE=DG^J.DE=15，:,DG=
15.在RtMSG中，AG二yjDG1-AD2=yll52-122=9；gQE=GE时,=AE=NDE-AD二个困-122=9，二AG二GE-AE=15-9=6；综上所述，AG=9AG=
6.t
2.1或挤［解析］由题意得，AB=5,•.点D,E分别是AC,AB的中点,AD=CD=3=5,AE=BE=%B二|,DEWBC，,NADE=90,当点M与点8重合时，如解图
①,连接AM,点M与点B关于DE所在直线对称，则ME=BE=AE,四边形为矩形,在RHAOM中AM=BC=4,DM1=y/AD2+AMf2=A/|2+42=\ADWBM1,/.△,z3既嗤,艮哈^=|=T/-DN=^DM=^^-AD，:无论点M；-AND BNM处于何处，DNAD,故可分AN=AD,AN=ND两种情况讨论
①如解图
②，当AN=AD;53,EN=AE-AN=]-]=1；
②如解图
③，当AN=N时，过点N作于点尸，则』；］AF=DFFN\\DE,NE E图
①图
②图
③第2题解图
3.3或,【解析】在RtAABC中,根据勾股定理得AB=^AC2+BC2=10,根据翻折的性质可得/二A/i^,DF=AF=x,则BF=10-x,
①如解图
①，当△DFBs/\CAB时，二15DF BFx I-%15DF BDDFBC4C\=BA，即钎F，解得A彳，又瓦=前■-BD=^^=~r=5CD=BC-△BD=8-5=3；
②如解图
②,当FDBSACAB时，..裁=箓，即烹=~~，解得％=岑,30DF BDDF AB7X
50506、、=—,.\BD=--7—=Y,，CD=BC-BD=8-亍=不综上所述，线段CDArA CD/\O///图
①图
②第3题解图的长为3或
44.44或0,-4【解析】•.•点A2,0,点30,1,・,・直线AB的解析式为y=-5+
1.丁直线I过点rA2,0,且
1.LAB，，直线I的解析式为y=2x-4,N3A0+ZPAC=90°PC±x轴，二N%C+ZAPC;=90°.^BAO=ZAPC.V ZAOB=ZPCA,.^AOB^^zPCA,--^7=4^，贝U整=羽二4,设AC=相，贝!]PC=2m.^PCA^PDA,.\AC=AD,PC Cx/i iCz/ziCz/=尸£.,第=噌=暴如解图@,当△必DS/XPBA时，则瑞=詈,则器=詈=31AB~I2+22=邓,.\AP-2小，.二疗+2m2=2邓,「.m=±
2.当相=2时,PC-4,OC-OA+¥AC=4,P点的坐标为4,4；当根二-2时，如解图
②PC=4,OC=0,P点的坐标为0,f-4；综上所述，P点的坐标为4,4或0,-
4.第4题解图
5.178或817【解析】设A3=3Z,BC=5k,分两种情况
①如解图
①所示，当//七二90时，△石尸为直角三角形,.2CDF+ZCFD=ZEFN+ZCFD=90°，二NCDF二ZEFN由折叠可得，EF=EB,ZEFN=A EBNZCDF=/CBD,又「ZDCF=ZBCDtCD CF3k CF9916=90°/.△DCF-△BCD,・・7^=77i，即=,・・CF=£k，二BF=BC-CF=5k-~^k=^k,Cn C£zK KJ J J J JIo9817[78BN=FN-~^BF=7k,，CN=CF+FN=^k+~^k=~rk.CN:BN=~rk:^k=17*8；
②如解图乙J JJJJJ
②所示，当NE0F=9O时-QE尸为直角三角形“CDF+ZCDB=ZCBD+/CDB=90，CDF=ZCBD,又,/DCF=ZBCD=90°.^DCF-^BCD，二段二票，即言二等，二Cn C£7JK3rK91IQ1717a g8CF=^k.\BN=FN=^BF=^k+5k=-^k,.\CN=FN-CF=yk-^k=^k,:.CN:BN=z17k:彳攵=817综上所述，CN:BN的值为178或
817.一图
①图
②第5题解图
6.1或日【解析】
①如解图
①，当NC尸E=90时，AECF是直角三角形，由折叠可得，NPFE=NA=90°,AE=FE=DE,^CFP=180°即点P,F,C在一条直线上，在Rtz\CE=CE△CDE和RtCFE中」,/.RtACO£^Rt△CFEHL..CF=CD=4^AP=FP=xfED=EF则BP=4-x,CP=x+4，在RtMC尸中，BP2+BC2=PC2,BP4-x2+62=x+42,解得了g9=4,即AP=^；
②如解图
②，当NCE尸二90时，尸是直角三角形，过点尸作FH1AB于点H,作/QJ_AO于点，则NbQE=ZD=90°，又/FEQ+/CED=/ECD+ZCED•=
96.・/FEQ=4ECD.・AFEQs工ECD.,詈=器=径,即华二华二,，解得尸Q二£,1399QE=^.\AQ=HF=^,AH=^.i§AP=FP=x,则”P=《-x,.・在Rt^PFH中，HP2+HF2=PF,即4-x2+|2=x2,解得x=1,即AP=
1.综上所述，AP的长为1或*图
①图
②第6题解图
7.3或导【解析】*/Z C=90°,BC=2-^3,AC=2,.,.tanB=^=^^=^...zB
30.・•.A3=2AC=
4.V点D是BC的中点，沿DE所在直线把△£翻折到△夕的位置,交于点b，・..DB=OC=小,EB=EB,4DBE=N8=30°.设AE=x,贝!]BE=4-xfB F33£3=4-%,当ZAFBr=90时，在RtABDF中，cosB=^7,..BF=小cos30°=y...EF=y-4・x=元■.在RuEEb中J.•NEBF=30，...EB=2EF,即4-x=2x-.,解得冗=3,此时A石为3；若NA跟尸=90时，如解图，作于点H,连接AD,\DC=DBf,AD=AD,.^ADB^Rt^ADC.^AB=AC=2,V ZABfE=ZABF+ZEBrF=90°+30°=120°，.二4EBH=60，在RtMH9中,B H=/E=34-X,£二小3”=坐4-X,AH=BfH+ABf=4-x+2,在RtMEH中，EH2+AH2=AE1,/.^4-x2+[^4-x+2]2=x2,解彳导x=141414Y,此时AE为名综上所述，AE的长为3或/第7题解图
8.］或3也-3［解析】由折叠的性质可知DE=CE・・•ABDE是直角三角形，乙钻C=45°，，分以下两种情况
①如解图
①，当NDEB=90时，NBDE=45°,.BE=DE..CE=i355c=5；
②如解图
②，当NBZ）E=90时,NDEB=451,BD=DE,BE;也DE..，BE=pCE.3・•巾CE+CE=
3..CE=3^2-
3.综上所述，CE的长为万或3瓶-
3.图
①图
②第8题解图
9.3-5或2【角星析】在ZVIBC中,/ACB=90BC=2小^5=30°,AC=BC^nB=2V3xtan30°=2,AB=4,CE=CB=2小，DE=DB,NCDB=NCQE.分两种情况讨论
①如解图
①,当NMF=90时,Z.EFD=60°,ZAFC=60°,又NA=60，「.△ACF是等边三角形・・•・CF=AC=
2.JEF=2y[3-
2.DE=EF sinZEFD=（2小-2）sin60°=3-
5...DB=DE=3-小；
②如解图
②，当/正二90z时，NE尸=60，设，贝！JNCOB=ZCDE=60+a,X ZADC+ZCDB=180°,/.CT+60+a=180°解得a=60°,.*.ZADC=z为等边三角形..AD=AC=
2..BD=AB-AD=4-2=
2.^±^fi^,3的值为3-5或
2.图
①图
②第9题解图
10.4+2w或4+175【解析】•••NO3ANA3Cv90，「.NOB尸不能是直角，故可分N8R9为直角和NBO尸为直角两种情况进行讨论・TAB=AC,AO平分NBAC,ADB二90，BD=CD4C=
2.
①若/BFO=9则此时点尸与点重合，如解图
①.由折叠的性质可知，=5F=2,在RXBFO中，BO=\I BF2+OF2=2姬，此时△M的周长为4+2也.^若/30/二90，如解图
②.ZODF=ZBOF=9Q0,4DFO;ZOFB,.ODF~DF OFBOF..,9=丽・・・.产=DFBF,设OF=x由折叠的性质可知CF=x,pll|DF=2-x,BF=44-----4f8/-x,/.x2=2-x4-x,解得x=彳，即OF=Q...BF=由勾股定理，得BO-A/BF2-OF-，二止匕时△5R9的周长为4综上所述，ABFO的周长为4+2巾或4+
173.图
①图
②第10题解图。
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