中考数学二轮复习二次函数压轴题三角形相似问题

类型六三角形相似问题

1.如图，已知抛物线经过/-I,0,84,0,C0,2三点，点D与点关于x轴对称，点尸是X轴上的一个动点，设点P的坐标为加,0,过点P作X轴的垂线I交抛物线于点，交直线BD于点M.I求该抛物线所表示的二次函数的表达式；2已知点F0,；,当点尸在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？3点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得以点B,Q./为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第I题图..NB4D=

45.♦.「PM平行于歹轴，.・ZAEP=90ZPMH=ZAME=45°.设P（a,片-3一4）,贝（］M（，-a-1）,=PM+MH+PH=PM+=1+y[2PM.贝!]PM--a-1-QZ-3〃-4=-/+2Q+3=-a-I+4-

133.13,--l0,-Q，当Q=1时，PM有最大值，最大值为

4.・・△”夕〃周长的最大值=4义（1+啦）=4+4啦;•-1+J3311+7393

②存在，点G的坐标为（一2—,0）或（一§一,0）.【解法提示】设点G的坐标为⑺，0）,则N（m,/-3m-4）.

①如解图

①，若等二然m-\1-1+时，△4OCsA£GN.贝!]-;------=7,整理得〃/+加-8=

0.解彳导m\=--5---，m2-nr+3加+442-1-J33-1+J33二*时，△Z—2一（负值舍去），二点G的坐标为（一2一,0）；

②如解图

②,m-111+V39311-^393-△NGE则一;-------------=4,整理得Am2-11加-17=

0.解得加3―8-，加4=一§—-m1+3加+411+7393-1+^33（负值舍去），二点G的坐标为（一一，0）.综上所述，点G的坐标为（一2一，0）或11+J393（―§—，0）.图

①图

②第3题解图

2.如图

①，经过原点的抛物线产”2+W0与X轴交于另一点41,0,在第象限内与直线y=x交于点32,/.1求该抛物线的表达式；2在第四象限内的抛物线上有一点C,满足以B,O,C为顶点的三角形的面积为2,求点C的坐标；⑶如图

②，若点在该抛物线上,^ZMBO=ZABO，在⑵的条件下，是否存在点P,使得40005若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.第2题图

3.如图

①，抛物线y二加+云+c与X轴交于4-1,0,84,0两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C,与直线y二x+n交于B,C两点.1求抛物线的解析式；2如图

②，若点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD下方的抛物线上有一点P.

①过点P作PHJLAD于点H,忤PM平行于j轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求△巴加周长的最大值；

②在直线EP的右侧、x轴下方的抛物线上是否存在点N,过点N作NG±x轴交x轴于点G，使得以点E、N、G为顶点的三角形与△ZOC相似若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由.图必图2第3题图类型六三角形相似问题

1.解1・・•抛物线过点/-I,0,54,0,二•设抛物线的表达式为y=ax+lx-4QWO,将点C0,2代入，得-4o=2,.,抛物线的表达式为v=-+1-4二⑵点D与点关于x轴对称,由抛物线的解析式,可知点C的坐标为0,2,点的坐标为0,-

2.由点3,的坐标，可求得直线BD的表达式为y=jx-

2.•・万0,3，°，一

2.

5.DF=5131二・Qm,-2m+2m+2/Mm,-2,;QM=-gm2+1+2-；加-2=-^m2+m+4f,・,四边形MQ厂是平行四边形，:.DF-QM,即-ym2+m+4=T,二解得加=3或加二-

1.•「・当相=3或加=-1时，四边形DM/7是平行四边形；第1题解图由8,的坐标，可得5=4,0D=2\QM\\DFtODB=/QMB.・・・当以点B,Q M为顶点的三角形与△8相似时，有AQBMs^BOD和t△BQM SABOQ两种情况

①当时，z_DOB-ZMBQ=90°,则^^二^^二日二J,・,2MBQ=90°,MBP+ZPBQ=90°.・:KMPB=ZBPQ=90°,MBP+Z BMP=90°.BMP=ZPBQ.:公MBQ…BPQ.BM PBrBQ~PQ..Rm,

0.

313.，Qm,-~jnv+]+2,贝！]P8=4-加，PQ--亍层+-+

2.m14-m亍32+Q2解得加二4或加=

3.当加=4时，点P、°、〃均与点B重合，不能构成三角形，舍去,・“二3,点0的坐标为3,2；

②当时/BQM=90°,此时点与点A重合，・・・加=-1,点的坐标为-1,

0.综上所述，存在点，使得以点B,Q,/为顶点的三角形与△B相似，点的坐标

2.角生1752,在直线歹二x上，二•BQ2,z3把必，0和BQ,2分别代入广加+云中，・,・该抛物线的表达式y=2/-3x；2过点C作直线CD±x轴，交直线OB于点D,交x轴于点b,过点8作BEL CD于点E,如解图

①所示.第2题解图

①设Cc,2c2-3c,则Dc,c.「.CD=c-2c2-3c=-2C2+4C BE=2-c,OF=C BE=2-C,F f.SOBC-S^OCD+S^BCD-\OF-CD+^BE-CD=^CD-OF+BE=yx2x-2c2+4c=

2.解得C=

1.，点的坐标为1,-1;⑶存在,连接AB.OM,设MB交》轴于点N,如解图

②所示.第2题解图

②:BQ,2）.AOB=/NOB=45,在OB和△NOB中，/NOB,ZAOB=OB=OB,jABO=ZNBO,・•.△NO0NO8（ASA）,..ON=OA=yf3・・・M，于，o9-4=3-2+13由点3,N的坐标，可求得直线BN的解析式为尸%+f.r i3联立直线BN和抛物线的解析式，可得42y=2x2-3x,r_3rx=2x~S解得《（舍去），或，八..245M（,〃（g/32）.••・・c（i,-1）,.^COA=NAOB=45，且BQ,2）./.OB=2^2,OC=p,POCs丛MOB,*0C=2，乙POC=/MOB.

①当点P在第一象限时，如解图

③所示，过点〃作MGLy轴于点G,过点作PHLx轴于点H.\ZCOA=ZBOG=45°,:ZMOG=ZPOH.且NPHO二AM GO,.OM MGOG一而二丽=而=

2.・•◎MOGSAPOH,345:.MG=《,OG-^,o.\PH=^MG=TZ,216OH=\oG=

77.

264.点P的坐标为瑞，得）；•第2题解图

③②当点P在第三象限时，如解图

④所示，过点M作MGLy轴于点G,过点P作PHA.y轴于点H.,13同理，可求出PH-^MG--^,OH=^OG=T^.Z

04.,点p的坐标为（-微,-热・4533综上所述，存在点P,使得△P0C S/\M03，点P的坐标为荷，讳域-记；第2题解图

④

3.解⑴把54,0代入直线y=x+〃，得4+九=0,解得〃二-4,「・直线BC的解析式为y=x-

4.令x=0,贝!-4,0,-4,设抛物线的解析式为y二Q X+1%-4WO,把0,-4代入得-4=-4,解得=1,.・抛物线的解析式为产f-3x-4；2

①..,抛物线的解析式为y=f-3x-4,-33，抛物线的对称轴为直线x=-7777=7,0,-4,Z A1Z・点D和点C关于抛物线的对称轴对称，••设直线AD的解析式为y=kx+加左W

0.将4-1,

0、D3,-4代入，k+加=0\k--1得，解得，3k+m=-4[m=-1・.直线AD的解析式为y=-x-

1.•・直线的一次项系数人二-1••。