中考数学综合题集锦完善版15页

近三斗中考核号除含您集锦

一、知识网络梳理数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型.近几年的中考压轴题多以数学综合题的形式出现.解数学综合题一般可分为认真审题、理解题意，探求解题思路，正确解答三个步骤.解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法.数学思想是解数学综合题的灵魂，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键.题型1方程型综合题这类题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程组、解不等式组、函数等知识.其基本形式有求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明.题型2函数型综合题函数型综合题主要有几何与函数相结合型、坐标与几何方程与函数相结合型综合问题,历来是各地中考试题中的热点题型.主要是以函数为主线，建立函数的图象及性质、方程的有关理论的综合.解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化.例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等.函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力和较好的区分度，因此是各地中考的热点题型，压轴题的主要来源，并且长盛不衰，年年有新花样.题型3几何型综合题几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力.

1.几何型综合题，常用相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现.

2.几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧的长度的计算，角、角的三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等.

3.儿何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力.

4.解几何综合题应注意以下几点1注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系.2注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化.3注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线添法.4注意灵活地运用数学的思想和方法.解决几何型综合题的关键是把代数知识与几何图形的性质以及计算与证明有机融合起来，进行分析、推理，从而达到解决问题的目的.

二、知识运用举例例1安徽省六安市已知关x的一元二次方程V+3x-相=0有实数根.1求相的取值范围2若两实数根分别为％和%，且才+后=11求相的值.分析与解答本题目主要综合考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系的应用以点A、B、C的坐标分别为A2,0,B-4,0,C0,一

4.2由题意，丝二生，而AO=2,OC=4,AD^2~m,故OG=4—2加，AO OC又匹二变，EF=DG,得BE=4—2m,DE=3m,BO OC*e•SDEFG=DG-DE=4—2/n3m=12m—6/n20m

2.⑶•.•SQEFG=12m一6〃220加2,•••根=1时，矩形的面积最大，且最大面积是

6.当矩形面积最大时，其顶点为1,0,Gl,-2,F-2,-2,E-2,0,7979设直线尸的解析式为》=依+，易知，k=—,b=——,/.y=-x-—,3333又可求得抛物线P的解析式为y=-x2+x-4,2病令2%--=1%2+^-4,可求出x=.

1.设射线/与抛物线P相交于点M则N的横3323病坐标为-1-，过N作x轴的垂线交x轴于H,有30-1-FN_HE-3=-5+屈=~DF~~DE39点M不在抛物线尸上，即点M不与N重合时，此时々的取值范围是阵5+病且1〉.9若选择另一问题⑵・.・®=里，而AD=1,AO=2,OC=4,则G=2,AO OC又「生二色，而AB=6,CP=2,OC=4,则/G=3,AB OC/•SDEFG=DG-FG—

6.例

14.（宁波市）四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点.如图/，点P为四边形A8C对角线AC所在直线上的一点，PD=PB,PA^PC,则点尸为四边形ABC的准等距点.

（1）如图2,画出菱形A3C的一个准等距点.

（2）如图3,作出四边形ABCO的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）.

（3）如图4,在四边形ABCO中，尸是AC上的点，PA^PC,延长3尸交CO于点民延长OP交于点R且NCD/=NC8E,CE=CF.求证点尸是四边形A3CD的准等距点.

（4）试研究四边形的准等距点个数的情况（说出相应四边形的特征及准等距点的个数,不必证明）.解

（1）如图2,点尸即为所画点.（答案不唯一.点P不能画在AC中点）

（2）如图3,点尸即为所作点.（答案不唯一）

（3）连结3,在^DCF与八BCE中,/DCF=/BCE,/CDF=/CBE,Z CF=CE.；・A DCFq△BCEAAS,.CD=CB,.ZCDB=ZCBD.・/PDB=/PBD,.PD=PB,9PA牛PC・•・点尸是四边形ABCD的准等距点.4

①当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线或者对角线互相平分且不垂直时，准等距点的个数为个；

②当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分，且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1个；

③当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2个；

④四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个.例

15.南充市如图，点M4,0,以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.已知抛物线y+bx+c过点和与y轴交于点C.A1求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象.2点8,m在抛物线y=工/+云上，点尸为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+P3的最小值.3CE是过点的M的切线，点E是切点，求£所在直线的解析式.解1由已知，得A2,0,B6,0,1•/抛物线y=%厂++过点A和则19—x2~+2b+c=0,

6、19解得—x6+6b+c=0,[6c=

2.149则抛物线的解析式为y=—/——x+

2.63故C0,

2.说明抛物线的大致图象要过点A、

8、C,其开口方向、顶点和对称轴相对准确2如图

①，抛物线对称轴/是x=

4.•/Q8,m抛物线上，，m=

2.过点作QKLx轴于点K,则K8,0,QK=2,AK=6,・♦.AQ=^AK2+QK2=2Vi

0.又•:B6,0与A2,0关于对称轴/对称，3P如Q+图P

②B，的连最结小和值=CAMQ.=2A/

10.由已知，得EM=OC=

2.CE是M的切线，・•・ZDEM=90Q,则ZDEM=ZDOC.又•・•ZODC=ZEDM.故4DEM义MDOC..OD=DE,CD=MD.又在△ODE和^MDC中,ZODE=/MDC,ZDOE=ZDEO=ZDCM=ZDMC.则OE//CM.设CM所在直线的解析式为y=A+，CM过点C0,2,M4,0,4左+Z=k=--解得20,b=

2.b=

2.直线CM的解析式为y=-^x+

2.又,:直线£过原点，且OE〃CM,则OE的解析式为y^--x.2及代数式的恒等变形等.91由题意，△》，即9+4加

20.解得mN—.42由根与系数的关系，得%+9=-3,XJX2=-m.，x；+x|=x]+x22一2%々-94-2m,二9+2m=

11.m—\.例2北京市已知关于x的方程+2/_2办+〃=0有两个不相等的实数根不和元2，并且抛物线丁=/_24+1»+2々-5与x轴的两个交点分别位于点2,0的两旁.1求实数的取值范围.2当|冬|十区|=2无时，求的值.分析与解答本例以一元二次方程为背影，综合考查一元二次方程桶的判别式、桶与系数关系、分式方程的解法以及二次函数的有性质等.1一方面，关于X的方程〃+2f—2QX+Q=0有两个不相等的实数根，・•・△=―2Q2—4+20且+

20.解之，得avO且aw—

2.另一方面，抛物线y=/-2a+lx+2a-5与X轴的两个交点分别位于点2,0的两旁，且开口向上，，当％=23时y0,即4—22a+l+2a—50,解得综合以上两面，的取值范围是3八----22•••玉、马是关于X的方程+2/-2奴+Q=0的两个不相等的实数根，・•・3CLX X=—,^=—•—0,.=a+20,:・%]/=---------------v

0.•二1+222a+2+昆|=8,.X；+2|不々|+¥=8，即/.x；+x；=82Q4a（X1+x2）2—4X/2=

8.「・（---------------8解得4=—4,a2一1•经检验，二-4,%一1a+2a+2都是方程（工）2—也=8的根・・・・=一4—』舍去，.・・4=—l.+2a+22说明运用一元二次方程根的差别式时，要注意二次项系数不为零，运用一元二次方程根与系数的关系时，要注意根存在的前提，即要保证△》.例3重庆市如图2—4—18,ZB=90°,是AB上的一点，以为圆心，08为半径的圆与A3交于点E,与AC切于点D.若AD=20且AB、AE的长是关于x的方程图2-4-188x+Z=0的两个实数根.1求的半径.2求的长.分析与解答本题是一道方程与几何相结合的造型题，综合考查了切割线定理、根与系数的关系、一元二次方程的解法、勾股定理知识.1・・加是的切线，・・・42=4石・

43.又4=26，A AE^iB=

12.;AE、A8的长是方程V—81+攵=0的两个实数根，・・・人£学5=左，，攵=12,把左=12代入方程f-8x+Z=0,解得%=2,々=

6..\AE=2,AB=

6....0的半径为:AB—A£=22VCB1AB,A3经过圆心O,・・・CB切于点3,.CD=CB.在Rt^ABC中，设CO=x,由勾股定理得482+32=42,，62+x2=2G+x2,解得了=

26.JCD=

28.例

4.2007四川绵阳已知国，X2是关于x的方程x—2%—m=p—2p—m的两个实数根.1求X],X2的值；2若X1，%2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数〃2,〃满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值.解1原方程变为X2—m+2x+2根=p2—m+2p+2m,/.JT—pr—m+2x+m+2p=0,x—p x+〃—m+2x—p=0,即x—p x+/—m—2=0,x\=p,X2=m+2~p.2*/直角二角形的面积为一玉々=—pm+2—p=—p H—m+2〃1/

八、m+2/根+22「r9z X=--[p--m+2p+——-―]N/N/Im+2/8m J-9・•・当〃=----------且机＞—2时，以幻，X2为两直角边长的直角三角形的面积最大,

2、i（加+2/T12最大面积为-------------或一〃.82例

5.（07茂名市）已知函数y=/+2x+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别是玉，x,2H.xj+—c~—2c,求c及Xj9Xj的值.解令y=0,即f+2x+c=0,当方程有两个不相等的实数根时，该函数的图象与％轴有两个交点.止匕时%!+—2若为,々是一元二次方程办2+bx+cX X-c=o的两根，则x222—4c0即C

1.b cx+x=一,七/=_12由已知/.X]+x2-25%2=C2-2c，

2.-22—20=3—2c,/./=4,/.q=—2,c=2舍去.2当c=—2时，Y+21一2=0,解得％=—1+V3,X2=-\-

6.综上c=—2，%=—1+V3,%2=—1—A/3为所求.例6（天津市）已知关于x的一元二次方程/+法+=%有两个实数根玉，々，且满足%10,尤2一%〉

1.

（1）试证明c0；

（2）证明（2（2c）；

（3）对于二次函数y=/+以+c,若自变量取值为x（）,其对应的函数值为y（）,则当〈尤（）七时，试比较y（）与M的大小.解

（1）将已知的一元二次方程化为一般形式即x2+（b-1）x+c=0•/王，%是该方程的两个实数根「・x+x=-b-1,-x=c{22而玉0,々〉玉+1〉0•二c〉02x2-%]2=x2+%]2-4XX2•%—1]1••X—X1-19于是Z2—2b—即〃2—26—4c〉0・•・b22/+2c3当0/x时,有y X]1M=%；+bx°+c,Xj2+bx+c=x}]—X1=x；+b/+c—x；+bx、+c:0xX]/.x-%|0又丁x-1x%1+1,x+x2否+122{2*.*X]+々=—S—1••-S—12玉+1于是2玉+匕00xXj x+Xj+Z0由于—M0,x+Xj+b00/.x-x x+x+Z0,即y—X[〉00{01/.当0%时，有NoM例7（贵阳市）如图2—4—20,二次函数的图象与x轴交于A、3两点，与y轴交于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点

8、D.

（1）求点的坐标.

（2）求一次函数的解析式.

（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的x的取值范围.分析与解答

（1）由图2—4—20可得C（0,3）.•・•抛物线是轴对称图形，且抛物线与x轴的两个交点为A（-3,0）、B（1,0）,・•・抛物线的对称轴为x=-l,点的坐标为（一2,3）.

（2）设一次函数的解析式为y=d+b,将点D（-2,3）、B（1,0）代入解析式，可得（-2左+/=3立刀,日\.，解得左=一1力=

1.[k+h=O••・一次函数的解析式为y=r+l.

（3）当义＜-2或时，一次函数的值大于二次函数的值.说明本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等.例8（吉林省）如图2-4-21,二次函数图2-4-21y=o+灰+c〃wo的图象与x轴交于A、8两点，其中4点坐标为一1,0,点C0,

5、D1,8在抛物线上，M为抛物线的顶点.1求抛物线的解析式.2求的面积.分析与解答第1问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式.第20问，△MC5不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解.ci—Z+c=0a=-\1设抛物线的解析式为y=^+bx+c,根据题意，得c=5,解之，得＜b=

4.a+b+c=S c=5・•・所求抛物线的解析式为y=-W+41+

5.2・・・点的坐标为0,

5.，=

5.令y=0,则一%2+4%+5=0,解得力=-l,x=

5.A2B点坐标为5,

0..・・8=5,丁二一f+4x+5=一％—2『+9,・•・顶点〃坐标为2,

9.过点〃用于点N,则ON=2,MN=

9.二.S^MCB=S梆形OCMN+SMNM-S^OBC=J5+9x9x5-2-J x5x5=15说明以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点.解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解.例9湖南省娄底市已知抛物线y=-x2+O—4x+2m+4与％轴交于4西,

0、Bx,0,与y2轴交于点C,且不、当满足条件芭+2%=1求抛物线的解析式；2能否找到直线y=履+人与抛物线交于P、Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积？求出％、b所满足的条件.分析与解答1•・・△=〃-42+42机+4=机2+32＞，J对一切实数根，抛物线与x轴恒有两个交点，由根与系数的关系得％,+々=4…

①，xw=-2m+4…

②.由已知有x1+2X2=0…

③.

③一

①，得龙2=4—加,玉=-2%2=2加一

8.由

②得2m-84-tn=-2m+

4.化简，得m2-9m4-14=

0.解得平=2,网=

7.当肛—20V*,Xj——4,々=2,满足不＜/.当=7时，玉=6,々=一3,不满足不＜马，・••抛物线的解析式为丁=一/一21+

8.2如图2—4—22,设存在直线y=+b与抛物线交于点尸、Q,使y轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为q,直线与y轴交于点£|xp|=|q|，由y轴平分△CPQ的面积得点p、在y轴的两侧，即工尸=-x,；・8+九0=0,由Qy——x—2x+8%2+%+2x+〃—8=

0.又与、q是方程图2-4-21f+左+2x+b—8=0的两根，，Xp+q=—k+2=0,，k=-

2.又直线与抛物线有两个交点，，当左=-2且〃8时，直线y=Ax+b与抛物线的交点P、Q,使y轴能平分△尸的面积.故y=—2x+bb

8.说明本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线.解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化.例如二次函数与x轴有交点.可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一元二次方程的解.点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等.例10桂林市已知如图2-4-23,抛物线y=ar+/x+c经过原点0,0和A—L

5.小八，1求抛物线的解析式.2设抛物线与x轴的另一个交点为C以为直径________________,作如果过抛物线上一点P作M的切线PD切点为/:D,且与y轴的正半轴交于点为E,连结已知点£的fiSZ/坐标为0,m,求四边形EOMO的面积.用含〃z的代数式表示3延长M交”于点N,连结ON、OD,当点P图2-4-21在2的条件下运动到什么位置时，能使得S四边形EOMD=SgN请求出此时点P的坐标•分析与解答1,••抛物线过0,

0、A1,—

3、B-1,5三点，c-0a=1••・v a+b+c=-3,解得4,・••抛物线的解析式为y=f—4x.a-b+c=5c=02抛物线y=4］与x轴的另一个交点坐标为0,连结EM.・・・加的半径是2,即OM=ZM=

2.*ED、£0都是的切线，.EO=ED.:,丛EOM沿丛EDM..S四边形石OMD=2sMME=2x3OM-OE=2m、3设O点的坐标为/，先，则S四边形EOMD=2S OME=2XOM x%=2%.当S四边形EOMD二SADON时，即2m=2%，根=%，故皮〃工轴，又「石为切线，二.点的坐标为（2,3）,•点P在直线石上，故设点P的坐标为（x,2）,又在抛物线上,•••2=九2—4%.・・・%=2+/2=2—・・・・（2+痛,2）或22—痛，2）为所求m例11（上海市）如图9,在直角坐标平面内，函数y=—（x0,机是常数）的图象经过xA（L4）,B（a,b）,其中

1.过点A作x轴垂线，垂足为C,过点B作y轴垂线，垂足为D,连结A，DC,CB.

（1）若△ABO的面积为4,求点8的坐标；

（2）求证DC//AB；

（3）当AD=BC时，求直线AB的函数解析式.

（1）解•一函数y=—（x0,机是常数）图象经过A（l,4）,x.\m=

4.图尸

4、（

4、谡BD,AC交于点E,据题意，可得5点的坐标为，一,k ci）点的坐标为0,-）I a4al DB—a,AE=4——.9a1（

4、由△ABD的面积为4,即一a4——=4,2y a）（4A得a=3,・••点3的坐标为3,

一、3J

（2）证明据题意，点的坐标为（1,0）,DE=14易得EC=—,BE=a-l,aBE a-I i----==Q-AE1,DE1CE~4,BE_AEDC//AB.

（3）解.•・当AO=B时，有两种情况:

①当AD〃3C时，四边形ADC8是平行四边形，BF AF由

（2）得，——二——二〃一1,.・.Q—1=1,得a=

2.DE CE・••点8的坐标是（2,2）.设直线A3的函数解析式为y=+〃，把点A B的坐标代入,/4=%+，k=—2,得1b=

6.2=2%+・・・直线AB的函数解析式是y=-2x+

6.

②当AO与所在直线不平行时，四边形ADCB是等腰梯形,则30=AC,二a=4,・,•点8的坐标是4,

1.设直线AB的函数解析式为丁=+〃，把点A3的坐标代入,4=%+儿得《\l=4k+b.・・.直线AB的函数解析式是y=—x+

5.综上所述，所求直线AB的函数解析式是y=-2x+6或y=—x+

5.例

12.资阳如图10,已知抛物线P，=加+版+c〃70与x轴交于A、3两点点A在x轴的正半轴上，与y轴交于点C,矩形O£/G的一条边石在线段45上，顶点尸、G分别在线段8C、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下X-3-212_5_5y—40221求A、B、C三点的坐标；2若点的坐标为加，0,矩形DEFG的面积为S,求S与根的函数关系，并指出〃2的取值范围；3当矩形OEFG的面积S取最大值时，连接尸并延长至点M,使FM=k・DF,若点M不在抛物线尸上，求左的取值范围.若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述

2、3小题换为下列问题解答已知条件及第1小题与上相同，完全正确解答只能得到5分2若点的坐标为1,0,求矩形OERS的面积.图10解⑴解法一设y=ax+区+c？0,任取x,y的三组值代入，求出解析式y=g/+X_4,令y=0,求出X]=-4,/=2；令x=0,得=-4,/.A、B、三点的坐标分别是A2,0,3—4,0,C0,-

4.解法二由抛物线过点1,―3,-*可知，22抛物线P的对称轴方程为x=-1,又,:抛物线P过2,

0、-2,-4,则由抛物线的对称性可知,。