中考数学二轮复习二次函数压轴题等腰三角形及菱形问题

类型三等腰三角形及菱形问题

1.如图,抛物线二加+版一与轴交于点，与轴交于点连接BC.y41A-3,0,34,0y C,AC,⑴求抛物线的解析式；点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作PM±x轴，垂足2为点M,PM交BC于点Q,过点尸作PE〃AC交x轴于点£,交BC于点E

①请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值；

②试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q,使得以A.C.Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第题图I，抛物线的解析式为y=-善+1尤-3,即y=-$2+下+4;设直线AC的解析式为y=bc+2pZWO,把C0代入得A3,0,,4k=-解得台，p=44，直线AC的解析式为-亨+；y=4令对称轴与直线AC交于点，与光轴交于点E，作PHA.AD于点H,如解图

①,AQ Q当时，y=-1X1+4=W，则点1,1,LJ••CJ

3.在RtAA£E中，AD=\jAE2+DE2=[22+5=¥，Q设点尸加，贝况，PH=PE=\m\,1,J PD=E-・/PDH;ZADE,•,Rt^DPH-Rt^DAE,,8PH DP耳m|蜘,曰一彳]m[An/万二丽,即丈二，斛得根=或根二-••1014,点Q的坐标为,号或[，||.31【解法提示】设点Qt,,

①当为对角线时，四边形CQMN-$+$+40Y3CM第题解图

①44R为菱形，如解图

②，则点N和点关于y轴对称，，点M-，，-p+手+4,把点M-乙一$+/+4代入户得去+-,户+$+,解得舍去,及二,此时点坐标为,学；

②当CM-3+44=44=011为菱形的边时，四边形CNQM为菱形，如解图

③，则NQ//y轴,448444NQ=NC，二点Nt，；.NQ=一]尸+宙+一§尸+书.而CN2二-1/+44--]/+4=3+-1/+25S45774-42二学2,即CN二为「・-9+=m,解得办=0舍去，4=4/此时Q点坐标为/y|.综上所述，点Q的坐标为1,午或《/y|・第题解图

42.如图

①，在平面直角坐标系中，抛物线产-1x2+bx+c经过点A-5,0和点81,

0.⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标；⑵点P是抛物线上人D之间的一点，过点P作PE±x轴于点E,PGLy轴，交抛物线于点G,过点作GF±x轴于点F,当矩形PEFG的周长最大时，求点P的横坐标；G如图

②，连接、BD I点M在线段AB上不与B重合，作/DMN=ZDBA,MN交线段3A4AD于点N,是否存在这样点M，使得△OMN为等腰三角形？若存在，求出AN的长；若不存在，请说明理由.第题图

23.如图，已知二次函数-/+灰+以）的图象与轴交于两点（点在点的左侧）,y=00t43A8与），轴交于点且,顶点为M.C,03=0C=3（）求二次函数的解析式；1⑵点P为线段BM上的一个动点，过点尸作轴的垂线PQ,垂足为Q.x

①若=根，四边形ACPQ的面积为,求关于加的函数解析式，并写出m的取值范围；0S S

②探索线段BM上存在点N,使△NMC为等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.

4.如图，以为对称轴的抛物线加+法+的图象与由交于点，点伙-,与轴交于点c•A1,0y，作直线C0,4AC⑴求抛物线的解析式；点P在抛物线的对称轴上，且到直线和轴的距离相等,设点P的纵坐标为m,求m2AC x的值；⑶点在轴上且位于点上方，点在直线上，点为第一象限内抛物线上一点，M yN AC若以点Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出点Q的坐标.G KM备用图类型三等腰三角形及菱形问题1■解⑴将点分别代入广加+区4-3,0,34,0-4,9a-3b-4=0,故抛物线的解析式为y=¥-%-4;⑵

①如解图，过点尸作FGLPQ于点G,第题解图I则尸G〃，轴.由仇4,0,C0,-4得△OBC为等腰直角三角形,OBC=NQbG=45，.\GQ=FG=^FQ.\PE\\AC,/.Zl=Z

2.,「轴，FGIIx/.Z2=Z3,/.zl=Z

3.FGP=ZAOC=90°,.FGPiAOC,FG GPGPFGnn「茄灰，即丁二丁，•■-GP=1FG=g号FQ=邛1FQ,..QP=GQ+GP=乎尸+平FQ=乎FQ,FQ=^^QP.-|m2+|/7i+4,.\QM=MB=4-m,PM=\PMA-x轴，点的横坐标为m/MBQP=45°,

111499..QP=PM-QM--w〃厂++4-4-〃2=-+qm,.QF=^~^QP=-^m2乎〃$+^p-0m4-.+^m=-m・・・Qb有最大值,4y[27・•・当相=-行一二2时，/有最大值;-半2x

②存在.点Q的坐标为透坐，上^-域41,-

3.【解法提示1设直线BC的解析式为y=kx+贴将WO,B4,0,CO,代入y=kx-4攵+=[40,解得k=1/=-4,・・.直线BC的解析式为y=x-4,\PM±x轴，点尸的横/=-4坐标为m，，点Q的坐标为加，加-点在第四象限,.m0,m-

4.140/.0m4//4-3,0,z0,-4,Qm,m-

4..AC2=[0--3]2+-4-02=25CQ2=m-02+[m-4--4]2=2m2,AQ2z=[m--3]2+m-42=2m2-2m+25,要使以A,C,Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，

①当AC=时，即AC2=CQ2,••.25=2m2,解得g二耳^,m=-可3舍去，「点2Q的坐标为^-4；

②当AC-AQ时，即AC2=AQ

2.-.25=2m2-2加+25,解得m=0舍去，侬t3=1,.••点Q的坐标为1,-3；

③、25当AQ=CQ时，即AQ2=CQ2,/2m2-2m+25=2/n2,解得m=万■舍去.综上所述，点Q5的坐标为工乎，或-41,-

3.

2.解⑴将点、A-5,031,代入抛物线解析式得,0r16[-专-5b+c=0,解得420-774-Z7+c=0,1620・・抛物线解析式为＞=-•Iy一红-墨+岑=-7=_，+22+4,.,顶点D的坐标为-；2,4⑵令点P的坐标为-余-墨+x,y-5x-2,又;抛物线对称轴为x=-2,，矢巨形PEFG的周长为2PE+PG=,

41620、“c、826832+果+4=

17.252-/-毛+勺+4-2-x=-gxz--gx--g=+a-+E-5x-

2.817-彳v--90,-5v2,1717即当二时，周长有最大值，此时点P的横坐标为-；x-3y⑶存在.丁点D为抛物线顶点，故=，根据题意可知，＞DMN为等腰三角形时,有如4下种情况3

①当时，4DMN=ZADM.DN=DMN=/DBA=ZDAB,ADM=/DAB,DM AD5=-A BA根据点、B、坐标可得A BO=AO=5,A8=6,25・4DMN=/DBA=/DAB=ZADM,••,QDBAsdNMD.ND DM25=

36.■.ND=^-AD=^.贝［J AN=AD-DN=5-=；VZ Vz

②当时，则有/DNM,由

①可知/DBA:/DAB,0M=MN NMDN=NOMN=\^DAB+/ANM+ZAMN=4AMN+/DMN+ZBMD=，180°,180ANM=ZB MD,,QANM沙BMD,.\AM=BD=5,,\AN=BM=AB-AM=6-5=i；

③显然中，和DM相等时，”点与B点重合，点与点重合，不符合题ON NA意.综上所述，存在△＞加为等腰三角形，此时，的长是票或£AN

1.

3.解⑴丁点分别是抛物线与轴，轴的交点，0B=0C=3,8,C xy・.B3,0,C03,zb=20=-9+3/+c.・将点B、C的坐标分别代入二次函数尸-x2+公+c得，解得，3=c c-3x.V.・•二次函数的解析式为y=-/+2%+3；⑵

①=-P+2X+3=-a-12+4,则顶点M1,4,・・,点A,B关于直线x=1对称，33,0,・•・A-1,

0.设直线MB的解析式为y-kx^r〃攵W0,\4=k+n[k=-2则有解得左+〃，[n=6,[0=3，直线MB的解析式为y=-2x+

6.・・/_1_%轴,OQ=m,.点P的坐标为加•1-2m+

6..・・点P为线段BM上的一个动点，/PQ+CO.OQ*1x3+:2m+6+3-/n=--e-5=SR^AOC+S四边形PQO=,AO・C+m

3..,.1点的坐标为弓，号或乙磐或3N1,4-2,

2.【解法提示】由于N是直线BM上一点，由知，直线BM的解析式为尸-因此设点22x+6,Nx,-2x+6且1XW3,由勾股定理可得CM2=1-02+4-32=2CN2=^+-2x+3广，加解z=x-1产+-2x+2产，根据题意可知△NMC为等腰三角形时，有如下3种情况

①当CM=CN时，f+-2x+32=2，解得XIJ,X2=1舍去，此时点M段,与；

②当CM=MN时，％-Ip+-解得,x=l-理舍去，此时点2%+2/=2,xi=12N1,4-可驾；

③当CN=MN时，f+-2x+32=x-12+-2x+2户，解得x=2,*-Z此时点,综上所述，点的坐标为或驾驾或M2,2N g,31+,4-2,

2.

4.解⑴丁点与点关于直线对称，A3-1,0・・•点43,0,设抛物线解析式为a[xy=+lx-3,4把代入得〃，解得〃=0,4X1X-3=4-Q,+9-2。