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中考照告总复习费科代赖韩令第一*,宴松基础知识点
一、实数的分类、有理数任何一个有理数总可以写成的形式，其中、是互质的整数，这是有理q1K pq数的重要特征、无理数初中遇到的无理数有三种开不尽的方根，如血、；特定意义的2V4……数，如、等Ji sin45°、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论3
二、实数中的几个概念、相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数1
（1）实数a的相反数是-a；
（2）a和b互为相反数=a+b=O、倒数2
（1）实数a（aWO）的倒数是
（2）a和b互为倒数O次;=1；
（3）注意0没有倒a数、绝对值3
（1）一个数a的绝对值有以下三种情况
（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离
（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认,再去掉绝对值符号、次方根4n
（1）平方根，算术平方根设a2O,称±八叫a的平方根，、份叫a的算术平方根
（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根
（3）立方根%叫实数a的立方根
（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根
三、实数与数轴、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴原点、正方向、单位长度是1数轴的三要素、数轴上的点和实数的对应关系数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都2解法代入消远法和加减消元法解的个数有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解
（2）三元一次方程组解法代入消元法和加减消元法、二元二次方程组4
（1）定义由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组
（2）解法消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组考点与命题趋向分析例题
一、一元二次方程的解法例、解下列方程1
（1）-U+3）12=2；
（2）2/+3x=l；
（3）4（x+3）2=25（x-2）2分析
（1）用直接开方法解；
（2）用公式法；
（3）用因式分解法解略［规律总结］如果一元二次方程形如（X+m）2=〃（〃之0）,就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式例、解下列方程2
（1）x~—ci（3x—2+/）=0为未知数）；
（2）x2+2,cix—8〜=0分析
（1）先化为一般形式，再用公式法解；
（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解解:略［规律总结］对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负
二、分式方程的解法例、解下列方程31—，X+1Xx~+2分析
（1）用去分母的方法；
（2）用换元法解略［规律总结］一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解
三、根的判别式及根与系数的关系例
4、已知关于x的方程〃—1/+2/+〃+3=0有两个相等的实数根，求p的值分析由题意可得△=,把各系数代入△=中就可求出但要先化为一般形式p,解:略［规律总结］对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为例、己知、是方程一行的两个根，求下列各式的值5a bI x—1=0a2+b2；ah12—+-分析先算出和的值，再代入把变形后的式子就可求出解a+b ab12［规律总结］此类题目都是先算出两根之和和两根之积，再把要求的式子变形成含有两根之和和两根之积的形式，再代入计算但要注意检验一下方程是否有解例、求作一个一元二次方程，使它的两个根分别比方程/一工一=的两个根小653分析先出求原方程的两根之和玉+%和两根之积再代入求出玉一和x/23+%-2玉-的值，所求的方程也就容易写出来3%-3解略［规律总结］此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单
三、方程组例、解下列方程组7x+y-2z=\2x+3y=3；22x-y-z=5I x-2y=5x+y+3z=4分析用加减消元法消较简单；应该先用加减消元法消去变成二元一次方程组，较易求1x2y,解解:略［规律总结］加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数x+y=l3x2-xy-4y2-3x+4y=012Ay=12x2+y2=25例、解下列方程组8分析1可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；2要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解解略［规律总结］对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解代檄耶今第W卡:孙方程（粒）斛密用题知识点
一、列方程（组）解应用题的一般步骤1＞审题、设未知数；
2、找出相等关系，列方程（组）；
3、解方程（组）；
4、检验，作答；5
二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；、工程问题1
（1）基本工作量的关系工作量二工作效率X工作时间
（2）常见的等量关系甲的工作量+乙的工作量二甲、乙合作的工作总量
（3）注意工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题、行程问题2
（1）基本量之间的关系路程二速度X时间
（2）常见等量关系相遇问题甲走的路程+乙走的路程二全路程追及问题（设甲速度快）同时不同地甲的时间二乙的时间；甲走的路程-乙走的路程二原来甲、乙相距路程同地不同时•甲的时间二乙的时间-时间差；甲的路程二乙的路程、水中航行问题3顺流速度二船在静水中的速度+水流速度；逆流速度二船在静水中的速度-水流速度、增长率问题:4常见等量关系:增长后的量=原来的量+增长的量;增长的量=原来的量（增长率）;X1+、数字问题5基本量之间的关系三位数二个位上的数+十位上的数百位上的数X10+X100
三、列方程解应用题的常用方法、译式法就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代1数之间的内在联系找出等量关系、线示法就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在2联系，找出等量关系、列表法就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系
3、图示法就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观,这种方4法能帮助我们更好地理解题意例题例、甲、乙两组工人合作完成一项工程，合作天后，甲组另有任务，由乙组再单独15工作天就可完成，若单独完成这项工程乙组比甲组多用天，求甲、乙两组单独完成这项工程12各需几天？分析设工作总量为设甲组单独完成工程需要天，则乙组完成工程需要天，等量关1,x x+2系是甲组天的工作量+乙组天的工作量;工作总量56解略例、某部队奉命派甲连跑步前往千米外的地，小时分后，因任务需要，又增派乙连29A145乘车前往支援，已知乙连比甲连每小时快千米，恰好在全程的工处追上甲283连求乙连的行进速度及追上甲连的时间分析:设乙连的速度为千米/小时，追上甲连的时间为小时，则甲连的速度为v tv-287千米/小时，这时乙连行了小时，其等量关系为甲走的路程二乙走的路程Q+—=34解略例、某工厂原计划在规定期限内生产通讯设备台支援抗洪，由于改进了操作技术；每36天生产的台数比原计划多结果提前天完成任务，求改进操作技术后每天生产通讯设备多50%,2少台？-改进技术后所用时间天=2解略例、某商厦今年一月份销售额为万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降460以后经加强管理，又使月销售额上升，到四月份销售额增加到万元，求
三、四月份平均10%,96每月增长的百分率是多少？分析设
三、四月份平均每月增长率为二月份的销售额为万元，三月份的销x%,601-10%售额为二月份的倍，四月份的销售额又是三月份的倍，所以四月份的销售额为二月份的l+x1+x倍，等量关系为四月份销售额为万元l+x2=96解略税后利息二100X
2.25%-100X
2.25%x20%=100x
2.25%1-20%已知某储户存下一笔一年期定期储蓄到期纳税后得到利息是元，问该储户存入了多少本450金？例、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增62040加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降低成本措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价元，1商场平均每天可多售出件若商场平均每天要盈利元，每件衬衫应降价多少元？21200分析设每件衬衫应该降价元，则每件衬衫的利润为元，平均每天的销售量为x40-x2+2x件，由关系式总利润=每件的利润售出商品的叫量，可列出方程X解略代破拆台第JL#.，系篝式4系等或叙知识点
一、不等式与不等式的性质、不等式表示不等关系的式子（表示不等关系的常用符号W,,）I、不等式的性质2（I）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如ab,c为实数=a+cb+c
（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如ab,c（）=ac bc
（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如ab,cVOnac bc.注在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错、任意两个实数的大小关系（三种）3a,b
（1）a-b（）0ab
（2）a-b=0=a=b
（3）a-bVOOaVb
4、
（1）ab0«yfay[h
（2）ab（）o a2h2
二、不等式（组）的解、解集、解不等式、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解1不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）
2.
三、不等式（组）的类型及解法、一元一次不等式1
（1）概念含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式
（2）解法与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变、一元一次不等式组2概念含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式1组解法先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分2注求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便例题方法1利用不等式的基本性质、判断正误11若ab,c为实数，则7c2；若〉//,则2Qi ab分析在中，若则二方在中，因为”,,,所以1c=0,cro,2否则应有=儿故22ab解略［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时•，要对字母进行讨论方法2特殊值法例、若那么下列各式成立的是2aVbVO,、
一一、
一、一A Bab0C^1D1ab bh分析使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法解根据的条件，可取代入检验，易知所以选baVb0a=-2,b=-l,q1,D［规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案方法3类比法例、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来3x x—1—118-2x+24x-2；21--——2--——23分析解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合并同类项，把系数化成需要注意的是，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要1,改变方向解略［规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识方法4数形结合法2x+810-4x-3例
4、求不等式组L+16X+7的非负整数解123分析要求一个不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集，再从解集中找出其中的非负整数解解略方法5逆向思考法例、己知关于的不等式的解集是求的值5X a—2x10—x3,a分析:因为关于的不等式的解集为与原不等式的不等号同向,所以有x x3,a-20,即原不等式的解集为吐且，吐@=解此方程求出的值a-2a-23a解略［规律总结］此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思考法来解代薇耶今第会幸图侬知识点
一、平面直角坐标系、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系在平面直角坐标系内1的点和有序实数对之间建立了一一对应的关系、不同位置点的坐标的特征2各象限内点的坐标有如下特征1点P x,y在第一象限=x0,y0；点P x,y在第二象限OxVO,y0；点P x,y在第三象限OxVO,y0；点在第四象限P x,y=x,y0o坐标轴上的点有如下特征2点在轴上为为任意实数P x,y xOy0,x点在轴上为为任意实数P x,y yOx0,y.点坐标的几何意义3P x,y1点P x,y到x轴的距离是|y|；2点P x,y到y袖的距离是|x|；点到原点的距离是3P x,y Ji+,2关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征
4.1点P a,b关于x轴的对称点是8a,-b；点关于轴的对称点是力；2P a,b x8-3点P a,b关于原点的对称点是8—，—/力；
二、函数的概念、常量和变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做1常量、函数一般地，设在某一变化过程中有两个变量和如果对于的每一个值,都有唯2x y,x y一的值与它对应，那么就说是自变量，是的函数x y x自变量取值范围的确是1
①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数
②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为的实数0
③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数注意在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义函数值给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值2函数的表示方法
①解析法；
②列表法；
③图像法3由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是
①列表；
②描点；
③连线4
三、几种特殊的函数、一次函数1直线位置与的关系k,b直线向上的方向与轴的正方向所形成的夹角为锐角；1k0x直线向上的方向与轴的正方向所形成的夹角为钝角；2kVO x直线与轴交点在轴的上方；3b y x直线过原点；4b=0直线与轴交点在轴的下方；5bVO yx、二次函数2开口向上40=决定抛物线的开口方向《1a开口向下40=抛物线位置与的关系a,b,c决定抛物线与轴交点的位置6c y图像与轴交点在轴上方；图像过原点；图像与轴交点在轴卜.方；c0=yxc=0=c0=yx决定抛物线对称轴的位置同号，对称轴在轴左侧；对称轴是轴；7a,b a,b yb=0,y a,b异号对称轴在轴右侧；y、反比例函数
3、正比例函数与反比例函数的对照表4例题例、正比例函数图象与反比例函数图象都经过点已知点到轴的距离是到轴1P m,4,P x y的距离倍.2⑴求点P的坐标.；⑵求正比例函数、反比例函数的解析式分析由点到轴的距离是到轴的距离倍可知易求出点的坐标,再利用待P xy221nli=4,P定系数法可求出这正、反比例函数的解析式解略例、已知是常数，且与成正比例.求证是的一次函数.2a,b y+b x+a yx分析应写出与成正比例的表达式，然后判断所得结果是否符合一次函数定义.y+b x+a证明:由己知，有其中y+b=kx+a,kWO.整理，得y=kx+ka—b.
①因为且是常数，故是的一次函数式.k^O ka—b y=kx+ka—b x例、填空如果直线方程中,且则此直线经过第象限.3ax+by+c=0a0,b0bc0,分析先把化为一处工一£.因为所以@〉幺〈又hh hbax+by+c=0aVO,b0,0,—0,bec cCl c即一故一一.相当于在一次函数中，此bbb b0,VO,0y=kx+l k=——0,1=——0,直线与轴的交点一£在轴上方.且此直线的向上方向与轴正方向所成角是钝by0,x x角，所以此直线过第
一、
二、四象限.例、把反比例函数二与二次函数画在同一个坐标系里，正确的是x4y y=kx2kW0答选这两个函数式中的的正、负号应相同图D.k13—
110.例、画出二次函数的图象，根据图象回答下列问题5y=x-6x+7当时的值是多少？1x=T,1,3y当时，对应的值是多少？2y=2x当时，随值的增大的值怎样变化？3x3xy当的值由增加时，对应的值增加多少？4x31y分析要画出这个二次函数的图象，首先用配方法把变形为确定抛物y=x-6x+7y=x-32-2,线的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后列表、描点、画图.解图象略.例、拖拉机开始工作时，油箱有油升，如果每小时耗油升.6456
（1）求油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式；
（2）画出函数的图象.答
（1）Q=45-6t.
（2）图象略.注意这是实际问题，图象只能由自变量t的取值范围OWtW决定是一条线段，而不是直线.代册弗今第七*:统计初步知识点
一、总体和样本在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量
二、反映数据集中趋势的特征数、平均数1-1
（1）玉，工）,X3，3，工〃的平均数，X=—（七+々+•••+工〃）n
（2）加权平均数如果n个数据中，为出现工次，£出现八次，……，与出现人次（这里力+力+…+力=〃），则,/+%力+…+人）n7=1
（3）平均数的简化计算当一组数据七，々，占，…，与中各数据的数值较大，并且都与常数接近时，设aX）-a,x-a,x-«,•••,-a的平均数为£则x=+〃
23、中位数将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的2中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数、众数在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数一组数据的众数可能3不止一个
三、反映数据波动大小的特征数、方差1
（1）展，12，13,…，无“的方差，S=―!-------------=------------------------------n可以用数轴上的唯一的点来表示实数和数轴上的点是一一对应的关系
四、实数大小的比较、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大
12、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小
五、实数的运算、加法1（i）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；
（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值可使用加法交换律、结合律、减法2减去一个数等于加上这个数的相反数、乘法3
（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘8n个实数相乘，有一个因数为0,积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负
（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律、除法4
（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数除以任何数都等于不能做被除数900,、乘方与开方乘方与开方互为逆运算
5、实数的运算顺序乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，力□、减是一级运算，如果6没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算无论何种运算，都要注意先定符号后运算
六、有效数字和科学记数法
1、科学记数法设N0,则N=aXl（r（其中iWaVlO,n为整数）、有效数字一个近似数，从左边第一个不是（）的数，到精确到的数位为止，所有的数字，2叫做这个数的有效数字精确度的形式有两种
（1）精确到那一位；
（2）保留几个有效数字例题例、已知实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，且同同1a b化简同一,+卜一4-4分析从数轴上、两点的位置可以看到且网a b a0,b0所以可得:数时用这个公式要比较方便）
（3）记王，工2，％3,…，x〃的方差为s，设a为常数，X]-a,x-a,x一凡…，Z一a23的方差为则、S,S2=S2注当看,工2，七，…，”〃各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便
2、标准差方差（S）的算术平方根叫做标准差（S）o注通常由方差求标准差
四、频率分布、有关概念1
（1）分组将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在10（）个以内时，通常分成组5—12
（2）频数每个小组内的数据的个数叫做该组的频数各个小组的频数之和等于数据总数n
（3）频率每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为lo
（4）频率分布表将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表
（5）频率分布直方图将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距每个小长方形的面积等于该组的频率所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于lo样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量的比例的大小，总体分布反映总n体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率2分布直方图，其步骤是
（1）计算最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）决定分点；
（4）列领率分布表；
（5）绘频率分布直方图例题例
1、某养鱼户搞池塘养鱼，放养鳍鱼苗2000（）尾，其成活率为7（）%,随意捞出1（）尾鱼，称得每尾的重量如下（单位千克）、、、、、、、、、
0.
80.
91.
21.
30.
81.I
1.
01.
20.
80.9根据样本平均数估计这塘鱼的总产量是多少千克？分析先算出样本的平均数，以样本平均数乘以再乘以20000,70%解略［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较大且都在某一数上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常a采用加权平均数公式来计算例、一次科技知识竞赛，两次学生成绩统计如下2已经算得两个组的人均分都是分，请根据你所学过的统计知识进一步判断这两个组成绩8谁优谁次，并说明理由解甲组成绩的众数分，乙组成绩的众数为分，从众数比较看，甲组成绩好些197算得甲乙2S2=172,S2=256所以甲组成绩较乙组波动要小甲、乙两组成绩的中位数都是分，甲组成绩在中位数以上的有人，乙组成绩在中38033位数以上的有人，从这一角度看甲组的成绩总体要好26从成绩统计表看，甲组成绩高于分的人数为人，乙组成绩高于分的人数为480208024人，所以，乙组成绩集中在高分段的人数多，同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人，从这一角度看，乙组的成绩较好［规律总结］明确方差或标准差是衡量一组数据的波动的大小的，恰当选用方差的三个计算公式，应抓住三个公式的特征，根据题中数据的特点选用计算公式例、到从某学校人中抽出名男生，取得他们的身高单位数据如下3360050cm,
18118117917717717717617517517517517417417417417317317317317217217217217217117117117017169169168167167167166166166166166165165165163163162161160158157、计算频率，并画出频率分布直方图
1、上指出身高在哪一组内的男学生人数所占的比最大
2.请估计这些初三男学生身高在以下的约有多少人？人
3166.5cm3000x
0.08+
0.22=900［规律总结］要掌握获得一组数据的频率分布的五大步骤，掌握整理数据的步骤和方法会对数据进行合理的分组瓜何郡今第一*『钱世、角、眼爱我、不行钱知识点
一、直线直线是儿何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”
二、直线的性质经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点
三、射线、射线的定义直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线1射线的特征“向一方无限延伸，它有一个端点”
2.
四、线段、线段的定义直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点
1、线段的性质公理所有连接两点的线中，线段最短2
五、线段的中点、定义如图一中，点把线段分成两条相等的线段，点叫做线段图一的111B ACB11AC中点、表示法2・♦.AB=BC4BC・••点B为AC的中点e图1或丁AB=-MAC2・••点B为AC的中点，或・・，AC=2AB,・••点B为AC的中点反之也成立,・,点B为AC的中点，・・.AB=BC或,・•点B为AC的中点，・・・AB二-AC2或点为的中点，B ACAAC=2BC
六、角、角的两种定义一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角要弄清定义1中的两个重点
①角是由两条射线组成的图形；
②这两条射线必须有一个公共端点另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角角的平分线定义一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射
2.线叫做这个角的平分线表示法有三种如图1—211ZAOC=ZBOC22NA0B=2NA0C=2ZC0B33ZAOC=ZCOB=-ZAOB2
七、角的度量度量角的大小，可用“度”作为度量单位把一个圆周分成等份，每一360份叫做一度的角度分；分秒1=61=60
八、角的分类:锐角小于直角的角叫做锐角1直角平角的一半叫做直角2钝角大于直角而小于平角的角3平角把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线4时，所成的角叫做平角
（5）周角把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角
（6）周角、平角、直角的关系是1周角=2平角=4直角=360°
九、相关的角、对顶角一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角
1、互为补角如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角
2、互为余角如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角
3、邻补角有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角4注意互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系
十、角的性质、对顶角相等
1、同角或等角的余角相等
2、同角或等角的补角相等3
十一、相交线、斜线两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线它们的交点叫1做斜足、两条直线互相垂直当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条2直线互相垂直、垂线当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫3做垂足、垂线的性质4
（1）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直
（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短简单说垂线段最短
十二、距离、两点的距离连结两点的线段的长度叫做两点的距离
1、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离
2、两条平行线的距离两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂3线段的长度，叫做两条平行线的距离说明点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的
十三、平行线、定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线
1、平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
2、平行公理的推论如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平3行说明也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行、平行线的判定4
（1）同位角相等，两直线平行
（2）内错角相等，两直线平行
（3）同旁内角互补，两直线平行、平行线的性质5
（1）两直线平行，同位角相等
（2）两直线平行，内错角相等
（3）两直线平行，同旁内角互补说明要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在己知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补6注意当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补例题:方法1利用特殊“点:”和线段的长例、己知如图一是线段的中点，是线段［思路分析］由是中点，113,C AB D CBD CB已知可求出再由点是中点可求出长，用减减去可求DB CB,C AB ABABDB AD解略［规律总结］利用线段的特殊点如“中点”“比例点”求线段的长的方法是较为简便的解法方法2如何辨别角的个数与线段条数例、如图在线段上共有个点、、、、ABC DE21—4AE5A BC DE怎样才数出所有线段，*~~*一-----------------0一图一［思路分析］本问题如不认真审题会误以为有点恰有1444个空就是4条线段即AB、BC、CD、ED；而如果从一个端点出发、再找出另一个端点确定线段，就会发现有条线段:10即、、、、、、、、、共条AB ACAD AEBC BDBE CDCE DE10［规律总结］此类型题如果做到不重不漏，最好方法是先从一个端点出发,再找出另一个端点确定线段例、如图一指出图形中直315线上方角的个数（不含平角）AB［思路分析］此题有些同学不认真分析误认为就个角，其4实共有个角即、、、、、9NAOC NAODNAOE NCODNCOE、、、共个角NCOB NDOENDOB NEOB9［规律总结］从一个顶点引出多条射线时.为了确定角的个数，一般按边顺序分类统计，避免既不重复又不遗漏方法3用代数法求角度例、己知一个锐角的余角，是这个锐角的补角的,，求这个角46［思路分析］本题涉及到的角是锐角同它的余角及补角根据互为余角，互为补角的概念，考虑它们在数量上有什么关系？设锐角为x,则它的余角为90-x,它的补角为18（）-x,这就可以列o方程了解略［规律总结］有关余角、补角的问题，一般都用代数方法先设未知数，再依题意列出方程，求出结果方法4添加辅助线平移角例
5、己知如图1—6,AB〃ED求证NB+NBCD+ND=360°［思路分析］我们知道只有周角是等于,而图中又出现了与360°相关的以为顶点的周角，若能把、移到与相邻NBCD CNB NDNBCD且以为顶点的位置，即可把、和三个角组成一分周角，则C/B NBCD/D可推出结论证时略规律总结］此题虽是三种证法但思想是一样的，都是通过加辅助线，平移角达到目的,这种处理方法在几何中常常用到第二本:三自形知识点
一、关于三角形的一些概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角、三角形的角平分线1三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）、三角形的中线2三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）三角形的高
4.三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）注意三角形的中线和角平分线都在三角形内如图、、都是么的角平分线，它们都在内2—1,AD BECF ABCaABC如图、、都是的中线，它们都在内2—2,AD BECF aABC4ABC而图说明高线不一定在内，2—3,aABC图2—3—
（1）图2—3—
（2）图2—3—
（3）图中二条符线都在△内，2—3—1,j ABC图中高线在内，而高线与是三角形的边；2—3—2,CD AABCAC BC图中高线在内，而高线、在外2—3—3,BE AABC AD CFaABC
三、三角形三条边的关系三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角三角形接边相等关系来分类「不等边三角形三角形三角扬底边和腰不相等的等腰三角形等边等腰三角扬三角形用集合表示，见图2—4推论三角形两边的差小于第三边不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边例如三条线段长分别为人因为所以这三条线段，不能作为三角形的三边5,6,15+6V12,
三、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于180°由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得如已知的两个角为,则由定理可以知道，aABC/A=90°,ZB=40°NC=180°-90°-40°=50°三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角推论1直角三角形的两个锐角互余三角形按角分类用集合表示，见图三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角例如图中2—6Z1Z3；Z1=Z3+Z4Z5Z3+Z8；N5=N3+N7+N8；Z2Z8；N2=N7+/8；Z4Z9；N4=N9+N10等等
四、全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等形两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角全等用符号“会”表示△ABC^^ABC、表示A和A、，B和B,,C和C是对应点全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等如图2-7,AABC^AA BKC,则有A、B、C的对应点A、、B\C；AB、BC、CA的对应边是、AB BC\CA\的对应角是、ZA,ZB,NC NAZB\ZCo・・・AB=AB,BC=BC,CA=CA;ZA=ZA,Z B=NB,ZC=ZC
五、全等三角形的判定、边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”1或“SAS”）注意一定要是两边夹角，而不能是边边角、角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角2“或“ASA”）、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边域3“AAS”）
4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）由边边边公理可知，三角形的重要性质三角形的稳定性除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等、直角三角形全等的判定斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角5三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）
六、角的平分线定理、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等1定理、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上2由定理、可知角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合12可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题,那么另一个叫它的逆命题如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理例如“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理一个定理不一定有逆定理，例如定理“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗
七、基本作图限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网—最基本、最常用的尺规作图.通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段
1、作一个角等于己知角作法是使三角形全等（SSS）,从而得到对应角相等；
2、平分己知角作法仍是使三角形全等（SSS）.从而得到对应角相等
3、经过一点作已知直线的垂线
（1）若点在已知直线上，可.看作是平分已知角平角；
（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做已知点C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于、两点，再以、为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于点，连A BA BD结即为所求垂线CD、作线段的垂直平分线4线段的垂直平分线也叫中垂线做法的实质仍是全等三角形（SSS）也可以用这个方法作线段的中点
八、作图题举例重要解决求作三角形的问题、己知两边一夹角，求作三角形
1、己知底边上的高，求作等腰三角形.2
九、等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°例如等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n
十、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等（简写成“等角对等动推论1三个角都相等的三角形是等边三角形推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半
十一、线段的垂直平分线定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上就是说线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合
十二、轴对称和轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴两个图形关于直线对称也叫轴对称定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交那么交点在对称轴上逆定理如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴例如等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形
十三、勾股定理勾股定理直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方a2+b2=ca bc勾股定理的逆定理如果三角形的三边长、、有下面关系a2+b2=c2a bc那么这个三角形是直角三角形例题例
1、已知AB、CD相交于点0,AC〃DB,0C=0D,E.F为上两点，且求证AB AE=BF.CE=DF分析要证CE=DF,可证△ACE^^BDF,但由已知条件直接证不出全等，这时由已知条件可先证出△AOCgA BOD,得出AC=BD,从而证出4ACE丝△BDF.证明略例、己知如图，、是上两点,且2AB=CD,BC=DA,E FAC二求证AE CFBF=DE分析观察图形，BF和DE分别在4CFB和4AED（或AABF和△CDE）中，由己知条件不能直接证明这两个三角形全等这时可由已知条件先证明△ABCgZXCDA,由此得N1=N2,从而证出△CFB0Z\AED证明:略例、已知是三角形的外角，3NCAE ABCZ1=Z2,AD#BC求证二AB AC证明略例、已知如图平分于于求证43-89,0E ZAOB,ECJOA C,EDJ0BD.
（1）OC=OD；
（2）0E垂直平分CD.分析证明第
（1）题时，利用“等角的余角相等”可得到NOEC=ZOED,再利用角平分线的性质定理得到这样处理，可避免证明两个三角形OC=OD.全等.证明略瓜仰郡台第三本8边形知识点
一、多边形解原式——ci++一人+—/7例
2、若〃=—2-3,Z=--\c=--3,比较a、b、C的大小444「丫43分析a=—一—1；h=———1且/0；c0；所以容易得出3⑷abCo解:略例、若小一与互为相反数，求的值32|k+2|a+b分析由绝对值非负特性，可知,一斗之又由题意可知0,|Z+2]0,,_2|+|〃+[=0所以只能是即所以a-2=0,b+2=0,a=2,b=-2,a+b=0解略:与d互为倒数，m的绝对值是1,求---------------cd+n的例、己知与互为相反数，4a bcm值解原式=0—1+1=0例
5、计算18,994X
0.125P解原式网=1=
80.125I1994=11------------e H€61原式=—+—g--222，+—e——1\7\e〃e11=e-=122e代檄斯今第二*代*基础知识点
一、代数式、多边形由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形
1、多边形的边组成多边形的各条线段叫做多边形的边
2、多边形的顶点多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点
3、多边形的对角线连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线
4、多边形的周长多边形各边的长度和叫做多边形的周长
5、凸多边形把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所6得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形说明一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形、多边形的角多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角
7、多边形的外角多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外8角注意多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角
9、n边形的对角线共有,鹿（鹿-3）条2说明利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数
10、多边形内角和定理n边形内角和等于（n-2）180°、多边形内角和定理的推论边形的外角和等于11n360°说明多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法
二、平行四边形、平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
12、平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等
3、平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等、平行四边形性质定理推论夹在平行线间的平行线段相等
425、平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分
6、平行四边形判定定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
7、平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
8、平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形
9、平行四边形判定定理4两组对角分别相等的四边形是平行四边形说明
（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法
（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法
三、矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为时，其它的边、角位置也都随之变化因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的90°、矩形有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）
12、矩形性质定理1矩形的四个角都是直角
5.矩形性质定理2矩形的对角线相等
4、矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形说明因为四边形的内角和等于36（）度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角
5、矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形说明要判定四边形是矩形的方法是法一先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）法二先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）法三只需证出三个角都是直角（这是判定定理2）
四、菱形菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形、菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
12、菱形的性质I菱形的四条边相等
3、菱形的性质2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
4、菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形
5、菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形说明要判定四边形是菱形的方法是法一先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等（这就是定义证明）法二先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直（这是判定定理2）法三只需证出四边都相等（这是判定定理1）
（五）正方形正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形、正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
12、正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等
3、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角、正方形判定定理互两条对角线互相垂直的矩形是正方形
45、正方形判定定理2两条对角线相等的菱形是正方形注意要判定四边形是正方形的方法有方法一第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形（这是用定义证明）方法二第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形（这是判定定理1）方法三第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形（这是判定定理2）
六、梯形、梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
1、梯形的底梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫2做下底）、梯形的腰梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
3、梯形的高梯形有两底的距离叫做梯形的高
4、直角梯形一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形
5、等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形
67、等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个角相等
8、等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等、等腰梯形的判定定理在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形
9110、等腰梯形的判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形研究等腰梯形常用的方法有化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点
七、中位线、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线1说明三角形的中位线与三角形的中线不同、梯形的中位线连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线
2、三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
3、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半4
八、多边形的面积说明多边形的面积常用的求法有
（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法如图作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条3—1,对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加
（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法叫做割补法
（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法注意两个图形全等，它们的面积相等等底等高的三角面积相等一个图形的面积等于它的各部分面积的和例题例、如图求的度数和141-2,NB+NC+ND例、一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的内角和是多少度245分析用多边形外角和公式就可以求解例、已知如图在中，于于343-1,3BCD AE_LBC E,AF1DC F,ZEAF=60°,BE=2cm,求内角的度数与边长DF=3cmo OABCD例、如图在中，对角线、交于点，过分别交、于点、445-4,ABCD ACBD0EF0BCADE且求证四边形是矩形F,AEJLBC,AECF例
5、如图48-3,己知在梯形ABCD中，AB〃CD,M、N分别为CD、AB的中点，且MN±ABO求证梯形是等腰梯形ABCD图48-3例、己知如图梯形中，求证649-2,ABCD AB±BC,DE=EC AE=EBo几何都令第四本:依依形知识点
一、比例线段、比选用同一长度单位量得两条线段、的长度分别是、那么就说这两条线段1a bm n,的比是ab=mn（或@=）bn
2、比的前项，比的后项两条线段的比a b中a叫做比的前项，b叫做比的后项说明求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度、比例两个比相等的式子叫做比例，如色=£3bd
4、比例外项在比例@=£（或ab=cd）中a、d叫做比例外项bd5^比例内项在比例色=£•（或ab=cd）中b、c叫做比例内项hd
6、第四比例项在比例@=£（或ab=cd）中，d叫a、b、c的第四比例项bd、比例中项如果比例中两个比例内项相等，即比例为（或时，我ba70=2a:b=b:c们把叫做和的比例中项b ad、比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这8四条线段叫做成比例线段，简称比例线段
9、比例的基本性质如果ab=cd那么ad=bc逆命题也成立，即如果ad=bc,那么a b=cd
10、比例的基本性质推论:如果a b=b d那么b・ad,逆定理是如果b二ad那么a b=b说明两个论是比积相等的式子叫做等积式比例的基本性质及推例式与等积式互化的理co论依据人一“工.ac人c+dt
11、合比性质如果一=—,那么-------------=-----------bdbdnc m
12.等比性质如果上=*=3=匕，（〃++・..+〃2/0）,那么bdna+c-\----\-m_ab+d-\---nbF说明应用等比性质解题时常采用设已知条件为,这种方法思路单一，方法简单不易出k错、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中13项，叫做把这条线段黄金分割说明把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段上截取AB这条线段的苴」倍得到点则点就是的黄金分割点C,C AB2
二、平行线分线段成比例、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直1线上截得的线段也相等格式如果直线LI〃L2〃L3，AB=BC,那么AIBI=B）CI，如图4一1说明由此定理可知推论和推论12推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰格式如果梯形ABCD,AD〃BC,AE=EB,EF〃AD,那么DF=FC推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边格式，如果中，是的中点，那么如图aABC DAB DE/7BC,AE=EC,4—
3、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例2说明平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应
6.线段成比例说明1平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达如图4—4说明2图4-4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在、三角形一边的平行线的判定定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）4所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边、三角形一边的平行线的判定定理平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，5所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例、线段的内分点在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段6的内分点、线段的外分点在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点7说明外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段
三、相似三角形、相似三角形两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形1说明证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边、相似比相似三角形对应边的比叫做相似比（或叫做相似系数）2k,、相似三角形的基本定理平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相3交，所构成的三角形与原三角形相似说明这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础、三角形相似的判定定理4
（1）判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似可简单说成两角对应相等，两三角形相似
（2）判定定理2如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（3）判定定理3如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成三边对应成比例，两三角形相似
（4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似说明以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似第一顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似第二腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似第三有一个锐角相等的两个直角三角形相似第四直角三角形被斜边.上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似第五如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形.相似、相似三角形的性质5
（1）相似三角形性质1相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比
（2）相似三角形性质2相似三角形周长的比等于相似比说明以上两个性质简单记为相似三角形对应线段的比等于相似比
（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方说明两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质、介绍有特点的两个三角形6
（1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形
（2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4一6
（3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形说明具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积如图4—7若△ACDs/^ABC,则AC2=AD・AB例题abbc a+b——=——=一■求------例、己知.b-c的值.12354,分析已知等比条件时常有以下几种求值方法1设比值为k；比例的基本性质；2方程的思想，用其中一个字母表示其他字母.3解由得即.设2354,a:b=2:3,b:c=5:4,a:b:c=10:15:12则a=10kz b=15k,c=12k,a+b:b-c=25:
3.例2已知如图5—126a,在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线交于点，过作EF〃112--------------------1=BC,分别交AB,DC于E,F.求证1OE=OF;2BC石尸；3若MN为梯形中位线，求证AF〃分析MC.利用比例证明两线段相等的方法.1ac
①若d1,a=c或b=d或a=b,则b=d或a=c或c=d；a_b
②若，一，则只适用于线段，对实数不成立；a=ba_ca_c
③若dd dd,则,a=a,b=b,c=c d=d.f利用平行线证明比例式及换中间比的方法.2112111------------一证明ADBCEF时，可将其转化为1=-4—=3“ah类型后:c”cc1—I—=1
①化为b直接求出各比值，或可用中间比求出各比值再相加，证明比值的和为1；
②直接通分或移项转化为证明四条线段成比例.可用分析法证明第题，并延长两腰将梯形问题转化为三角形问题.43延长BA,CD交于S,AF〃MC，AF〃MC成立.用运动的观点将问题进行推广.5若直线平行移动后不过点分别交于如图与是EF0,AB,BD,AC,CD E,01,02,F,5-126bz01F02F否相等？为什么？其它常用的推广问题的方法有类比、从特殊到一般等6例已知如图在△中，为中点，于为中35—127,ABC AB=AC,D BCDE J_AC E,F DE点，交于交于求证分析BE ADN,AF BEM.AF±BE.分解基本图形探求解题思路.1总结利用相似三角形的性质证明两角相等，进一步证明两直线位置2关系平行、垂直等ADDE的方法，利用得至CFA ADEsA DCElj OC图5-127ADDF结合中点定义得到BCCE，结合N3=NC,得至|JABECSAAFD,因此N1=N
2.进一步可得至ljAF1BE.总结证明四条线段成比例的常用方法
①比例的定义；
②平行线分线段成比例定理；
③三3角形相似的预备定理；
④直接利用相似三角形的性质
⑤利用中间比等量代换；
⑥利用面积关系.例已知如图中，于于于45—128,RtAABC ZACB=90°,CD_LAB D,DE_LAC E,DF±BC F.求证1CD3=AAE•BF•AB；2BC2AC2=CE:EA;3BC3:AC3=BF:AE.分析掌握基本图形于中的常用结c“RtA ABC,ZC=90°,CD_LAB D”论./Kr
①勾股定理AC2+BC2=AB
2.E/
②面积公式AC•BC=AB•CD.
③三个比例中项AC2=AD・AB,BC2=BD・BA,CD2=DA・DB.ADAD5728心图
⑤—访证明第题1*.*CD2=AD・BD,CD4=AD2・BD2=AE・AC・BF・BC=AE-BF AC・BC=AE・BF•AB*CD.第⑵题BC2_BD・BA_BD BDDFCEVAC2AD•ABAD利用△BDF-A DAE,证得AO EAAE,命题得证.t第题:3BCBD・ABBD・・・AC2~AD•AB-To,BC，_BD_BF・BCBC_BF.・.AC7-AD2~AE^AC，:.AC7-第斛直鲁三角影知识点
一、锐角三角函数在直角三角形中，是直角，如图ABC NC5—
1、正弦把锐角的对边与斜边的比叫做的正弦，记作1A/A sinA=0c
2、余弦把锐角A的邻边与斜边的比叫做NA的余弦，记作COSA=
2、正切把锐角的对边与邻边的比叫做的正切，记作b3A NAtanA=@、余切把锐角的邻边与对边的比叫做的余切，记作a4A NAcotA=说明由定义可以看出或写成----------------tanA•cotA=l tan A=cotA
5、锐角三角函数锐角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的锐角三角函数A NA说明锐角三角函数都不能取负值0sinA1；0cosA；I、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的6余弦值等于它的余角的正弦值即sinA=cos90°—A=cosB；cosA=sin90°-A=sinB、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的7余切值等于它的余角的正切值即tan A=cot90°—A=cotB；cotA=tan90°—A=tanB说明式中的90°—A=B、三角函数值的变化规律8当角度在°-间变化时，正弦值正切值随着角度的增大或减小而增大或190减小当角度在间变化时，余弦值余切值随着角度的增大或减小而减小或增20°—90°大、同角三角函数关系公式9]s inA1sin2A+cos2B=1；2tan A=--------------------；3tanA=---------------cotAcosA一些特殊角的三角函数值
10.
二、解直角三角形由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形若直角三角形中，,那么、、中除外，其余个元素之ABC ZC=90°A BC,a,b,c NC=90°5间有关系1a2+b2=c2；2ZA+ZB=90°；/-、.b.a.b4a3smA=—；cos!=—；tanA=—；cotA=—c cba所以，只要知道其中的个元素至少有一个是边，就可以求出其余个未知数23例如中，,且RtZ^ABC ZC=90°NA=3°,a=5,则由—=sin A=sin30°=—^c=10c
2、代数式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式单独一个数或1者一个字母也是代数式、代数式的值用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值
2、代数式的分类3
二、整式的有关概念及运算、概念1
（1）单项式像X、
7、这种数与字母的积叫做单项式单独一个数或字母也是单项式单项式的次数一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数单项式的系数单项式中的数字因数叫单项式的系数
（2）多项式几个单项式的和叫做多项式多项式的项多项式中每一个单项式都叫多项式的项一个多项式含有几项，就叫几项式多项式的次数多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数不含字母的项叫常数项升（降）塞排列把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幕排列
（3）同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项、运算2
（1）整式的加减合并同类项把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变去括号法则括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里的各项都变号添括号法则括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“-”号,括到括号里的各项都变号整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项
（2）整式的乘除幕的运算法则其中、都是正整数m n同底数基相乘〃=〃+〃；同底数幕相除优；〃=一“；幕的乘方（amy=加〃积的乘方（ab）n=anbno单项式乘以单项式用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加单项除单项式把系数，同底数累分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加乘法公式平方差公式（+3（一勿=22；完全平方公式（+加〃，（a-h）2=a2-2ab+b22=/+2+
三、因式分解、因式分解概念把一个多项式化成儿个整式的积的形式，叫因式分解
1、常用的因式分解方法2
（1）提取公因式法ma+mb+me=m（a+/+c）
（2）运用公式法平方差公式a2-h2=（a+b\a-b）；完全平方公式a2±2ah+h2=（a±b）2
（3）十字相乘法x24-（«+b）x+tzZ=（x+a）（x4-b）
（4）分组分解法将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解
（5）运用求根公式法若〃/+/犬+=0（4,0）的两个根是范、尢2，则有、因式分解的一般步骤3
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；
（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法
（4）最后考虑用分组分解法
四、分式A、分式定义形如一的式子叫分式，其中、是整式，且中含有字母1A BBB
（1）分式无意义B=（）时，分式无意义；BWO时，分式有意义
（2）分式的值为0A=0,BW0时，分式的值等于0
（3）分式的约分把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式
（4）最简分式一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式
（5）通分把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分
（6）最简公分母各分式的分母所有因式的最高次幕的积
（7）有理式整式和分式统称有理式、分式的基本性质2
（1）4=4曳（M是的整式）；
（2）4=是-0的整式）BB,M BB-T-M
（3）分式的变号法则分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变、分式的运算3
（1）力口、减同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减,先把它们通分成同分母的分式再相加减
（2）乘先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母
（3）除除以一个分式等于乘上它的倒数式
（4）乘方分式的乘方就是把分子、分母分别乘方
五、二次根式
1、二次根式的概念式子JZm20）叫做二次根式
（1）最简二次根式被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式
（2）同类二次根式化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式
（3）分母有理化把分母中的根号化去叫做分母有理化
（4）有理化因式把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有石与右；a4b+c4d与a4b-c4d、二次根式的性质21右—=aa0；2=\a\=a一°；C7^=4a-4b-a0a20,b20；4,/;
0、运算3
（1）二次根式的加减将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式
（2）二次根式的乘法4ci-4b=/ab（a20,b20）孝书心…二次根式的除法:3二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式例题
一、因式分解、提公因式法1例
1、24^2x-y+6b2y-x分析先提公因式，后用平方差公式解略［规律总结］因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解、十字相乘法2例
2、1%4—5x2—36；2x+y〜—4x+y—12分析可看成是/和的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解x+y解略［规律总结］应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法、分组分解法3例
3、X+2X2—%—2分析先分组，第一项和第二项一组，第
三、第四项一组，后提取，再公式解:略［规律总结］对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题、求根公式法4例
4、x2+5x+5解略
二、式的运算巧用公式例、计算一——2-a-b511+2分析运用平方差公式因式分解，a-b使分式运算简单化解略［规律总结］抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确、化简求值2例
6、先化简，再求值5x2-（3x2+5x2）+（4y2+Ixy）,其中x=-ly=l-亚解略［规律总结］一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则、分式的计算3例
7、化简幺3+（*-—〃—3）一一263a2—9分析一一可看成一^--3一3解略［规律总结］分式计算过程中
（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；
（2）注意负号、根式计算4例、已知最简二次根式回工和万拓是同类二次根式，求的值87b分析根据同类二次根式定义可得2b+l=7-bo解略［规律总结］二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容代教都今第三*:方程府方程做基础知识点
一、方程有关概念、方程含有未知数的等式叫做方程
1、方程的解使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方2程的解也叫做方程的根、解方程求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程
3、方程的增根在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根4
二、一元方程、一元一次方程1
（1）一元一次方程的标准形式ax+b=O（其中x是未知数，a、b是已知数，a=0）
（2）一玩一次方程的最简形式ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，aWO）
（3）解一元一次方程的一般步骤去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为Io
（4）一元一次方程有唯一的一个解、一元二次方程2
（1）一元二次方程的一般形式ax1+bx+c=O（其中x是未知数，a、b、c是己知数，a WO）
（2）一元二次方程的解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法
（3）一元二次方程解法的选择顺序是先特殊后一般，如果没有要求，一般不用配方法
（4）一元二次方程的根的判别式△=〃—当时方程有两个不相等的实数根；A0当△=（）时O方程有两个相等的实数根；当△（）时0方程没有实数根，无解；当△时方程有两个实数根20O
（5）一元二次方程根与系数的关系,b若占是一元二次方程的两个根，那么一一，X1,or+/x+c=0Xj+=acM=-a
（6）以两个数再为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2一（七+x）x+xx=02y2
三、分式方程
（1）定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程
（2）分式方程的解法一般解法去分母法，方程两边都乘以最简公分母特殊方法换元法
（3）检验方法一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为（）的就是原方程的根；使得最简公分母为的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的0未知数的值代入原方程检验
四、方程组、方程组的解方程组中各方程的公共解叫做方程组的解
1、解方程组求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组
2、一次方程组3
（1）二元一次方程组a.x-^-b.y=ct一般形式〈（4，2,4，乩，|,2不全为（））ax+by=c222222_
（2）简化计算公式S2-X2（为,%2，*3,…，与为较小的整。
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