二次函数总结及相关典型题目

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识L定义一般地，如果是常数，awO,那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数y=ax1的性质1抛物线y=a/的顶点是坐标原点，对称轴是〉轴.2函数＞=〃/的图像与的符号关系.

①当＞0时o抛物线开口向上o顶点为其最低点；

②当＜时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y QW

0.

3.二次函数y=4/+法+的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.

4.二次函数=ax1+以+c用配方法可化成y=ax一/炉+上的形式，其中7b74ac-b2，h=K—•2a4a

5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式

①y

②＞=〃/+%；§y=a[x-/z2；@y=a[x-^2+k；©y=ax2+bx+c.

6.抛物线的三要素开口方向、对称轴、顶点.

①的符号决定抛物线的开口方向当＞0时，开口向上；当〃V时丁开口向下；《相等，抛物线的开口大小、形状相同.

②平行于y轴或重合的直线记作x=/z,特别地，y轴记作直线x=

0.

7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法/、、八”、上7人Y4ac-b2日/b Aac-b

1.21公式法y-ax+bx+c=a x-\--------H-----------------，••顶点是------,------------，＜2a42a4b对称轴是直线l二一二.2a2配方法运用配方的方法，将抛物线的解析式化为丁二小犬-疗+女的形式，得到顶点为/z,k,对称轴是直线x=/z.3运用抛物线的对称性由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

9.抛物线=〃氏2中，的作用1〃决定开口方向及开口大小，这与y=中的完全一样.28和〃共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=，/+以+的对称轴是直线b b

①〃x=——，故=0时，对称轴为y轴；

②一〉0即、〃同号时:对称轴2aab在y轴左侧；

③一0即、b异号时，对称轴在y轴右侧.a3c的大小决定抛物线y=氏2++与y轴交点的位置.当x=0时，y=c,，抛物线y=以2++与》轴有且只有一个交点°,.c

①②③c=0,抛物线经过原点；c〉0,与y轴交于正半轴；c0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则然

0.a

10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当40时%=0y轴0,0开口向上x=0y轴0,k当a0时/z,0开口向下/z,kb4ac-b22a

411.用待定系数法求二次函数的解析式1一般式丁=/+法+,已知图像上三点或三对工、y的值，通常选择一般式.2顶点式y=〃x-/z2+h已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3交点式已知图像与x轴的交点坐标

七、/,通常选用交点式=ax-xx

12.直线与抛物线的交点1y轴与抛物线=工2++得交点为0,c.2与y轴平行的直线x=/z与抛物线y=ax2+hx+c有且只有一个交点h,ah+bh+c.3抛物线与x轴的交点二次函数y=〃/+H+C的图像与X轴的两个交点的横坐标修、工2，是对应一元二次方程分2+公+=0的两个实数根.抛物线与X轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定

①有两个交点O△0抛物线与X轴相交；

②有一个交点顶点在工轴上八=0抛物线与X轴相切；

③没有交点O△O抛物线与X轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为Z,则横坐标是分2+公+=化的两个实数根.5一次函数y=kx+nk w0的图像/与二次函数y=ax1+bx+ca w0的图像G的I y—女工十几交点，由方程组12的解的数目来确定

①方程组有两组不同的解时\^y=ax+bx+c与G有两个交点；

②方程组只有一组解时/与G只有一个交点；

③方程组无解时o/与G没有交点.6抛物线与工轴两交点之间的距离若抛物线y=〃/+以+c与x轴两交点为AX],0,由于

4、%是方程a』+bx+c=O的两个根，故BX2,0,第二部分典型习题考点1:函数的三种形式

1.抛物线y=x2+2x—2的顶点坐标是A.2,-2B.1,-2C.1,-3D.-1,-

32.抛物线y=2x-32的顶点在A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上

3.抛物线=1一22+1的顶点坐标是

4.A.2,1B.-2,-1C.-2,1D.2,-1如图，抛物线y=加+c与x轴交于点-1,0,对称轴为x=l,则下列结论中正确的是A.a0B.当尤1时，y随x的增大而增大C.c0D.x=3是一元二次方程ox+Zzx+c=0的一个根抛物线y=x2+bx+c,经过A-l,0,B3,0两点，则这条抛物线的解析式为6•已知抛物线y=V+4x—

5.1直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；2用配方法将y=Y+4x—5化成=—〃2+上的形式.

7.已知二次函数y=%2+/x+c中，函数y与自变量次的部分对应值如下表:-101234Xy830-1031求该二次函数的解析式；2当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？3若A加y,8w+2,仙两点都在该函数的图象上，计算当相取何值时，凹〉为？

8.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表-2—1012Xy0—4—4081根据上表填空

①抛物线与x轴的交点坐标是和;

②抛物线经过点-3,；

③在对称轴右侧，y随％增大而；2试确定抛物线y=ax1+hx+c的解析式.解1

①抛物线与x轴的交点坐标是和;

②抛物线经过点-3,；

③在对称轴右侧，y随％增大而.2考点

2.a b、c符号问题

1、已知二次函数y=o++的图象如图所示，则下列结论正确的是A.ab0,c0B.ab0,c0C.ab0,c0D.ab0,c0第1,2题图第3题图

2.二次函数=以2++的图象如上图所示，则下列结论正确的是A.a0,b0,c0B.a0,b0,c0C.a0,b0,c0D.a0,b0,c03已知二次函数=依2+云+的图象如上图所示，则下列结论中正确的是B.c0C.b2-4ac0D.a+b+cQ

4.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则下列结论正确的是（）A.a+b+c〉0B.b-2aC.a-b+c0D.c

05.抛物线y=ax+bx+c中，b=4a,它的图象如右图，有以下结论

①c0；

②a+b+c0

③a-b+c0

（4）b2-4ac0

⑤abc〈0；其中正确的为A.

①②B.

①④C.

①②③D.

①③⑤

6.已知二次函数y=ax+bx+c,如果abc,且a+b+c=O,则它的图象可能是图所示的（）

7.二次函数yuax^+bx+c的图象如图所示，那么abc,b2—4ac,2a+b,a+b+c四个代数式中，值为正数的有（）考点3二次函数的增减性

1.二次函数y=3x2—6x+5,当xl时，y随x的增大而；当xl时，y随x的增大而；当X」时，函数有最值是O

2.已知函数y=4x2—mx+5,当x一2时,y随x的增大而增大；当x〈一2时，y随x的增大而减少；则当x=l时,y的值为o

3.已知二次函数y=x2—（m+l）x+l,当xel时，y随x的增大而增大,则m的取值范围是I

54.已知二次函数y=—彳x2+3x+-的图象上有三点A（xi,yj,B（X2,y2）,C（X3,y3）且〈〈3XI X2X3,贝U Yby2,y3的大小关系为考点:4图象平移对称问题

1.将抛物线=/先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是.

2.将抛物线y=-V向左平移个单位，再向上平移1个单位后，得到的抛物线的解析式2为・

3.将抛物线产小平移得到抛物线产/+3,则下列平移过程正确的是（）A.向上平移3个单位B.向下平移3个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位

4.抛物线y=2x2-4x关于y轴对称的抛物线的关系式为

5.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2—4x+3,则a=b=c=

6.已知抛物线=2+（攵—2）x—2（其中%0）.

（1）求该抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标（可以用含k的代数式表示）；

（2）若记该抛物线的顶点坐标为尸（九〃），直接写出同的最小值；

（3）将该抛物线先向右平移！个单位长度，再向上平移，个单位长度，随着人的变化,2k平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求这个新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）.考点5三个二次问题

1.已知二次函数丁=%£+（21—l）x—1与x轴交点的横坐标为玉、々则对于下列结论

①当x=-2时，y=l；

②当时，y；

③方程上/十（2左一l）x-1=0有/［+4”2两个不相等的实数根为、々；

④玉〈一1，X-1;

⑤々—为=一，其中所有正k2确的结论是（只需填写序号）.

2.已知二次函数丁=-（］）它的最大值为；

（2）若存在实数〃力〃使得当自变量x的取值范围是mWxWn时，函数值y的取值范围恰好是3机则m=n-・

3.已知二次函数2的图象经过点（匕-1）.求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数.

4.已知函数y=/++c（%0）,满足当时，丁=一1,且当％=0与％=4时的函数值相等.

（1）求函数=/+区+（o）的解析式并画出它的x图象（不要求列表）；x1+bx+cx0,又已知关于x的方程—2x0,

（2）若/（幻表示自变量％相对应的函数值，且/（%）=%+%有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数Z的取值范围.考点二次函数的应用

61.某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w（双）与销售单价*元）满足w=-2x+80（20〈xW40）,设销售这种手套每天的利润为y（元）.

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解

2.已知二次函数=标］2+（3—而）尸3（加0）的图象与X轴交于点（孙0）和（12,0）,且为X

2.

（1）求12的值；

（2）求代数式mX」+而X」+（3一而）玉+6而』+9的值.考点二次函数与一次函数

71.若一次函数产ax+b的图象经过第

二、

三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是（）

2.当b0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（）

3.已知直线y=-2x+b00）与x轴交于点A,与y轴交于点B；一抛物线的解析式为y=/—0+io）x+c.

（1）若该抛物线过点B,且它的顶点P在直线y=-2x+b上，试确定这条抛物线的解析式；

（2）过点B作直线BCLAB交x轴交于点C,若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y=-2x+b的解析式.考点8代数几何综合问题

1.如图，已知AABC中，BC=8,BC上的高/z=4,D为BC上一点，EFI/BC,交AB于点E,交AC于点F（EF不过A、B）,设E至ij BC的距离为R,则AD石歹的面积y关于x的函数的图象大致为（）

2.抛物线=/—2%—3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.

3.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c（aW0）的图象的顶点P的横坐标是4,TV图象交x轴于点A（m,0）和点B,且m4,那么AB的长是（）A.4+m B.mC.2m-8D.8-2m

4.某大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面1:nooo的比例图上，跨度AB=5cm,拱高0C=

0.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长，DE〃AB,如图

（1）.在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图

（2）.

（1）求出图

（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；⑵如果DE与AB的距离0M=

0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据出占

1.4,计算结果精确到1米）.

495.已知抛物线y+（—+3）尢+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.是否存在实=QX数a,使得AABC为直角三角形.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由.

6.如图，已知抛物线经过坐标原点及4一2百,0）,其顶点为正见3）,C是A3中点，点E是直线上的一个动点（点E与点不重合），点在y轴上，且EO=

（1）求此抛物线及直线的解析式；

（2）当点E运动到抛物线上时，求8D的长；3连接A，当点E运动到何处时，△AEO的面积为4，请直接写出此时£点的坐标.解:

7.已知在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A,C两点的坐标第别为A2,3,Cn,-3其中〃0,点8在x轴的正半轴上.动点尸从点出发，在四边形O48C的边上依次沿0—A—3—C的顺序向点移动，当与点重合时停止运动.设点P移动的路径的长为/,△尸的面积为5,S与/的函数近产即蹩如图2所示，其中四边形0DEF是等腰梯形.\1结合以上信息及图2填空图2中的“=；r_______________________2求3,两点的坐标及图2中尸的长；^3在图1中，当动点P恰为经过，8两点的抛物线卬山顶点时，\

①求此抛物线W的解析式；/

1、

②若点Q在直线y=-1上方的抛物线W上，坐标平扇内另有一人人满足以以P,Q,R四点为顶点的四边形是菱形，求点的坐标.解⑴8,已知抛物线丁=尤2+4克+/与x轴的一个交点为A―1,

0.1求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；2I是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9,求此抛物线的解析式；3E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在2中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4APE的周长最小若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.。