云南省昆明市云南师范大学附属中学2023-2024学年度高二上学期第二次月考数学试题【解析版】

云南省昆明市云南师范大学附属中学学年度高2023-2024二上学期第二次月考数学试题【解析版】本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第n卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项

1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合人=卜£2,2+3%—40},3={HX=2〃,〃£Z},则A B=（）A.{0,2,4}B.{-1,1,3}C.{T,-2,0}D.{-3,—1,1}A.1B.3C.5D.

7223.已知椭圆上一+二一=i的焦点在轴上，若焦距为%则该椭圆的离心率为（）10—4V3A.B.—D.

354.经过点A（4,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线/有（条.A.B.1C.2D.

2.复数z=（l+〃i）（3-i）的虚部是实部的2倍，则实数二（）

5./+/A1，，是“直线以+勿+2=0与圆/+/=1相交,，的（A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1—UUT

6.已知空间三点A（l,0,3）,3（—1,1,4）,C（2,-l,3）,若AP//BC，且则点P的坐标为（）A.（4-2,2）B.（-2,2,4）当=0时，直线过原点，斜率为强=2,故方程为2x—y=；1—0当QWO时，直线的斜率三心二1,故直线方程为y-2=工-1,即％-y+i=o,故c错误；对D设直线/的倾斜角为，则tana=3=-VL—1又因为0cr180,故a=120,故D正确，故选ABD.

11.AC【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求得，+2=2,再利用乘力”法及基本不等式计算可得.【详解】解a0,b0,两直线6一2x+y-l=0,/:x+2/y+l=0,Z1/,22・•・〃-2+2=0,即i+2b=2,所以If1292h2a2之，当且仅当即Q=h=:2\a b时取等号,故选AC.

12.ACD【分析】对四个选项一一判断对于A利用椭圆的对称性，判断出尸为椭圆的短轴时,7TPQK周长最小.即可判断；对于B判断出从而四边形「后尸2不可能是矩形.Q即可判断；对于C设px,y,直接计算出%•%=-

77.即可判断；对于D.由△P02的面积为S=；|o尸旧-切.即可判断.【详解】由PO=OQ,可知P,关于原点对称.对于A.根据椭圆的对称性，|尸|+|尸局+|Q周=|尸+|尸局+|尸用=|尸+8,当PQ为椭圆的短轴时，归|有最小值6,所以P与周长的最小值为

14.故A正确；对于B.因为tan/耳AO=£=也，所以,1b34TT7T则/44工不，故椭圆上不存在点P,使得/片户工=不又四边形斗2尸2是平行四边形，所以四边形「耳鸟不可能是矩形.故B不正确.对于C由题意得34,0,设px,y,则―苍―y,91--所以〃,k二y7二y-I16人

9.故C正确;PB QBx-4一九一4x2-16x2-1616对于D.设工的面积为5=3修力-为.所以当PQ为椭圆的短轴时，必-%|二6最大,所以S=|O尸旧-引〈白＞/7乂6=3万.故D正确.乙乙故选ACD.

13.1【分析】利用奇函数的定义可求答案.【详解】因为/x=a・erer,故到=49—e,因为〃尤为奇函数，故〃一x=—/x,a・e—=一,・/一内，整理得到tz-lex-e-x=0,解得Q=

1.故答案为

114.2x+y-4=0【分析】依题知斜率和点，写出点斜式方程，最后化为一般方程.【详解】因为直线2x+y-2=的斜率是攵二一2,且直线/与2x+y-2=0平行，，直线/的斜率也为—2,故直线/的方程是y-2=-2x-1,整理得2x+y-4=

0.故答案为2x+y-4=

015.9x+y-5=【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.{\1【详解】P在椭圆内，过点P的直线与椭圆必ZL相交于A,8两点,设3c3%,且弦AB被点P平分，故直线A3的斜率存在，221+年=1,二+石=1,两式相减得，99正+…=0,,21二匹f9x-x}2直线A8的方程为9x+y—5=

0.故答案为9x+y—5=0【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.

16.[2,18]【分析】由题意，问题转化为半圆上的点到定直线的距离的5倍，进而求出结果.【详解】如图，曲线y=2为圆f+y+22=4的上半圆，圆心40,-2,半径为2,32,-2,|3%-分+4|表示点%,y到直线3x-4y+4=0距离的5倍.17由点到直线的距离公式得|=三＞2,所以直线3x-4y+4=与圆相离,|3x-4y+4|最大值为5|AD|—2=2|3x—4y+4|最小值为5忸C|=18则13%-4y+41的取值范围为[2,18],

17.⑴B/215^16【分析】1由余弦定理化简已知式即可得出答案；2由余弦定理求出〃的值，再由三角形的面积公式即可得出答案.【详解】1因为ZcosA—acos3=Q+c,由余弦定理得=a+c,2bc2ac即Cl~+/一——ag,0所以cosB=-------------=—一2ac27r所以八g.『2由余弦定理得a2-V-C2-25=-ac,则Q+C=25+〃c,H21Q+C=——，解得〃C=——,24121V321G—X X•

2421618.l%=

0.00523人⑶需要进一步整改，理由见解析【分析】1由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求得答案；2由频率分布直方图求出评分在［40,

50、［50,

60、［60,70的市民人数可得答案;3由频率分布直方图求出平均分后比较可得答案.【详解】1依题意得2%+015+.02+025+.03*1=1,得x=

0.005；2由频率分布直方图知，评分在［40,50的市民人数为100x

0.005x10=5；评分在［50,60的市民人数为100x

0.015x10=15；评分在［60,70的市民人数100*

0.0210=20,故应选取评分在［50,6的市民人数为$+20x8=3；3由频率分布直方图可得满意程度平均分为45x

0.05+55x

0.15+65x

0.2+75x

0.3+85x

0.25+95x

0.05=72,72则满意指数=而=

0.

720.8,故该市“创卫”工作需要进一步整改.

19.lx+l2+y-22=4⑵x-y+l=或x+7y-23=

0.【分析】1待定系数法求圆的方程即可；2设/y-3=Zx-2,根据题意得到弦长，再结合垂径定理和点线距离公式可求女的值,从而得到直线/的方程.【详解】1由题意，设圆心C〃M+3,由于圆与X轴相切.半径/二|+3|,所以设圆C方程为X—〃2+y—a—32=々+32又圆过点”—3,2,・・・_3一+2--3/=

①+322解得〃=一1・・.圆C方程为1+厅+⑶-2尸=

4.2由圆C方程易知直线/的斜率存在，故设/尸3=©x-2,即一+3—2攵=0,设至U/的距离为止则1=^+1ABC为直角三角形，・・.|AB|=2/，.・.2,4_/=2=2=血，.113kI=o n722-6攵-1=0=＞攵=1或攵=-V^2+l-故直线/得方程为x—y+l=0或％+7y—23=

0.

32.⑴“【分析】1根据独立事件的乘法公式即可得到方程，解出即可;2利用独立事件的乘法公式和互斥事件的加法公式即可得到答案.【详解】1记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”2-3，则PA=『PAPC=,PBPC=w15分别为事件A,B,C,13即口一PA][1-PC]=—,PBPC=-,34所以尸8=,PC=w，4534所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为“2有3个家庭回答正确的概率为2342A=PABC=PAPBPC=-x-x-=-,C.（4,一2,2）或（—2,2,4）D.（-42—2）或（2,—2,4）/rJT jr

7.已知函数，（x）=sin^x+-在工=兀时有最大值，且在区间0,—上单调递增,IL18_则

①的最大值是（）11-13-19AA.--B.-C.—D.—

66668.如图，某同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条Q45的P处钻一个小孔，可以容纳笔尖，A,8各在一条槽内移动，可以放松移动以保证Q4与尸8的长度不变，当A,8各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆E已知|P4|=3|A4，且P在右顶点时，8恰好在点，则£的离心率为（）A.-B.-C.B D.且2454

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分）

9.某机床生产一种零件，在8天中每天生产的次品数分别为2,6,8,3,3,4,6,8,关于该组数据，下列说法正确的是（）A.中位数为3B.极差为6C.第40百分位数为4D.方差为

4.

7510.下列说法正确的是（）A.直线期ina+y+2=0的倾斜角的取值范围是用＞苧JB.点（0,2）关于直线y=x+l的对称点为（1,1）C.过点（1,2）,且在两坐标轴上截距互为相反数的直线/的方程为x-y+l=0D.直线/的方向向量为卜1,6）,则该直线的倾斜角为

12011.已知＞力＞0,两直线4（a—2）x+y—l=04x+2勿+1=0且则下列说法正确的是（）12912A.ci+2b-2B.a+2Z=1C.—i—的最小值为一D.—i—的最小a b2a b值为

912.已知为坐标原点，椭圆C土+2L=i的左、右焦点分别为片、F2,椭圆的上顶169点和右顶点分别为A、5,点P、都在上，且尸O=OQ,则下列说法正确的是（）A.尸乙周长的最小值为14B.四边形尸耳鸟可能是矩形9C.直线总，Q8的斜率之积为定值16D.尸鸟的面积最大值为3近第II卷（非选择题，共90分）注意事项第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知函数/（x）=〃・e、—e-是奇函数，则=.

14.若直线/过点4L2）且与2x+y-2=平行，则直线/的一般方程为./11\

215.已知椭圆乙+工2=1,过点尸的直线与椭圆相交于A,B两点，且弦48被9122）点尸平分，则直线A8的方程为.

16.点（乂点在曲线y=，4一J-2上,则I3x—4y+4|的取值范围为.

四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.在ABC中，设A3,所对的边分别为，反c,且满足ZcosA-acosB=Q+c.

（1）求角8；

（2）若Z=5,“+c=,求一ABC的面积.

18.某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数=满意方氏均分）不低于

0.8,“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改,为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]六组,得到如图所示的频率分布直方图.⑴求直方图中X的值；⑵为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在［50,60的市民人数；⑶假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由.

19.已知圆C过点M—3,2,圆心在直线x—y+3=0上，且圆与x轴相切.⑴求圆C的标准方程；2过点P2,3的直线/与圆相交于A、8两点，若A3C为直角三角形，求直线/的方程.

20.与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及学生安全教育，某社区举办学生安全知识竞赛活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是彳，甲、丙两个家庭都回答错13误的概率是百.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是5,各家庭是否回答正确互不影JLw/*-z响，1求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率2求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率JT

21.如图甲，在直角梯形ABCQ中，AD8,/区4=—,45=3C=2,AO=4,石是AO的2中点，是AC与HE的交点.将.ABE沿3E折起到ARE.的位置，如图乙.甲乙⑴证明8,平面

4.；⑵若二面角\-BE^C为直二面角，求直线4与平面A.BC所成角的正弦值.

2222.已知椭圆C=+二=1Ca b0上任意一点P到两个焦点的距离之和为8,a b~且离心率为

1.2⑴求椭圆的标准方程；⑵过点加2,1作直线/交椭圆于A,3两点，点”为线段的中点，求直线/的方程.

1.c【分析】解一元二次不等式化简集合4再利用交集的定义求解即得.【详解】由不等式f+3x—4W0,得（x+4）（x—1）0,解得TWxVl,因此A={l,0,—l,—2,—3,Y},而B={x|x=2〃,〃wZ},所以AcB={-4,-2,0}.故选C

2.D【分析】根据复数代数形式的乘法化简复数z,再根据虚部与实部的关系得到方程，解得即可.【详解】因为z=（l+叫（3—i）=（3+a）+（3〃—l）i,又z的虚部是实部的2倍，・・.3a—1=2（3+），解得Q=

7.故选D.

3.B【分析】根据椭圆的焦点在y轴上，焦距为4,结合〃力,c之间的关系以及离心率公式可得答案.【详解】由题得，—410—，0,B|J7r10,由焦£巨为4得/_4_10_/=4,解得,=9,2_可得椭圆方程为一+工=1,所以石，天=5-1=4,5所以离心率为故选B.

4.C【分析】讨论直线在两坐标轴上的截距是否为0,结合直线的截距式方程求解，即可得答案.【详解】若直线经过原点，则在坐标轴上的截距均为0,符合题意，4若截距均不为0,则设直线方程为2+，=150）,将A（4,3）代入得3+2=1,，=7,a a aa此时直线方程为5+5=1,符合题意；77即经过点A（4,3）,并且在两坐标轴上的截距相等的直线/有2条故选C.

5.B【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，结合四种条件的定义可得答案.2【详解】直线+勿+2=与圆Y+），=1相交＜102+」＞4,yjcr+b-显然，+从〉］推不出Q2+b2＞4,而Q2+A2＞4可推出故是必要不充分条件.故选B.

6.C【分析】设夕点坐标，由AP//3C可解出P坐标，再用空间向量模长公式即可.UUU UUU【详解】设P（x,y,z）,则AP=（x—l,y,z—3）,3C=（3,—2,—1）,x—1=34x=3A+1UUUUUU因为AP//8C，所以AP=430=34—24-4，＜y=-2A，v y~-22,z—3=—Z z=-A+3uuy1—i---------------------------_4所以P34+L—24—/1+3,又AP=W,J3；l2+—2/L『+—解得4=1或4=一1,所以P（4,—2,2）或（一2,2,4）,故选:C

7.C【分析】先根据最值可得刃=!+2ZK£Z,结合单调性可得答案.6（7EA ITJT【详解】/（%）在工=兀时取得最大值，即sin口兀+三=1,可得

①兀+7=彳+2亿ZEZ,\）32所以0=—+2A,keZ,6因为要求的最大值，所以这里可只考虑口＞的情况，又因为/（x）在I,白|上单调递增，所以等+＜］，解得0＜刃工3,1o J18321313当左=1时，所以

①的最大值为丫，66故选C.

8.D【分析】设|A5|=X,x0,根据已知结合图形，得出4,，然后求出C,即可得出答案.【详解】由题意知Q4与心的长度不变，已知|P4|=3|AB|,设x0,则附=3%,当A滑动到位置处时，P点在上顶点或下顶点，则短半轴长b=3x；又由已知可得，当P在右顶点时，3恰好在点，则长半轴长〃=4%.所以，C=J.42=4%故离心率为e=£=@=

1.a4x4故选D.

9.BCD【分析】根据中位数、极差、百分位数、方差的概念及求解方法可得答案.4+6【详解】将这组数据从小到大排列为2,3,3,4,6,6,8,8,所以中位数为=2=5,故A错误;2极差为8-2=6,故B正确；因为数据共有8个，所以8x40%=

3.2,所以第40百分位数是4,故C正确；设平均数为方差为$2,则无=\2+3+3+4+6+6+8+8=5,8$2=X[2—52+3—52+3-52+4-52+6-524-6-52+8-52+8-52]=

4.75,故D正确，故选BCD.

10.ABD【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可.【详解】对A直线人ina+y+2=0的倾斜角为凡则tan，=—sin£1—1,1],因为046九，所以[仁]口]■，兀，故A正确；

13、0—1对B点0,2和1,1的中点在直线y=x+l上，且连线的斜率为常=-1,可得与直线y=x+l垂直，所以点,2关于直线y=x+l的对称点为1,1,故B正确；对C设直线与x轴交点为,0,则与轴交点为0,-〃，。