全等三角形问题中常见的辅助线的作法7页）

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种1）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.2）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.3）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.4）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”特殊方法在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.

一、倍长中线（线段）造全等例L已知如图3所示，AD为aABC的中线，求证AB+AO2AD分析要证AB+AO2AD,由图形想至UAB+BDAD,AC+CDAD,所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2AD,但它的左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去证明延长AD至E,使DE=AD,连接BE,CEo切、3//\图例

3、如图，ZXABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证/-----\----/c AD平分\J/ZBAE.因为所以BD=DC=AC,AC=1/2BC J图一3因为是中点，所以E DCEC=1/2DC=1/2AC所以ZACE=ZBCA,S△BCA/\ACE所以NABC=NCAE因为所以DC=AC,NADC=NDACZADC=ZABC+ZBAD所以所以ZABC+Z BAD=Z DAE+ZCAE NBAD=NDAE即AD平分NBAE应用:

二、截长补短例L已知如图1所示，AD为AABC的中线，且N1=N2,N3=N4求证BE+CFEFo分析要证BE+CFEF，可利用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF,EF移到同一个三角形中，而由已知N1=N2,N3=N4,可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN,FN,EF移到同个三角形中证明在DN上截取DN=DB,连接NE,NF延长FD到G，使DG二FD,再连结EG,BG

1、如图，AABC中，AB=2AC,AD平分ZBAC,且AD=BD,求证CD1AC证明取中点连接AB E,DEVAD=BD即【等腰三角形三线合一】•••DELAB,NAED=90VAB=2ACAAE=AC【平分】XVZEAD=ZCAD AD NBACAD=AD也•••/AED/ACD SASQAZC=ZAED=90A CD±AC

2、如图，AC〃BD,EA,EB分别平分NCAB,NDBA,CD过点E,求证；AB=AC+BD在上取点，使得AB NAN=AC为公共边，所以三角形全等三ZCAE=ZEAN,AE CAE角形EAN所以NANE=NACE又平行AC BD所以NACE+NBDE=180而NANE+NENB=180所以NENB=NBDEZNBE=ZEBN为公共边，所以三角形全等三角形BE EBNEBD所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD

3、如图，已知在.ABC内，ZBAC=60\ZC=40°,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,ABQ分别是N84C,NA3C的角平分线求证BQ+AQ=AB+BP证明做辅助线与相交与PMIIBQ,QC M（首先算清各角的度数）\QZAPB=180°—ZBAP—ZABP=180°—30°—80°=70°V（位_aZAPM=180°—ZAPB—ZMPC=180°—70°—ZQBC角相等）P=180°—70°—40°=70°\H|]\.\ZAPB=ZAPM\j又是的角平分线，TAP BACcAZBAP=ZMAP是公共边AP△（角边角）•••ABP^ZkAMP Z.AB=AM,BP=MP在△中，MPC ZMCP=ZMPC=40°AMP=MC.-.AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC在△中QBCZQBC=QCB=40°2*.BQ=QC3**BQ+AQ=AQ+QC=AC，BQ+AQ=AB+BP

4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BOBA,AD=CD,BD平分NABC,/）求证ZA+ZC=180°/_________延长作的延长线，作BA,DF_LBA DELBCVZ1=Z2（角分线上的点到角的两边距离相等）ADE=DF，在与中RtADFA RtADEC{AD=DC,DF=DE}（）Z.RtADFA^RtADEC HLAZ3=ZC因为N4+N3=

180.•.Z4+ZC=180°即NA+NC=

18025、如图在aABC中，ABAC,Z1=Z2,P为AD上任意一点，求证;AB-ACPB-PC延长AC至E,使AE=AB,连结PE.然后证明一下会得至」备用（角边角证很容易吧）AABP AEPI PB=PE〜△中，PCE ECPE-PC/VEC=AE-AC,AE=AB，EC=AB-AC又PB=PE..PE-PC=PB-PC•••AB-ACPB-PC

三、平移变换例1AD为AABC的角平分线，直线MNJ_AD于A.E为MN上一点，ZkABC周长记为5,△EBC周长记为外.求证与以.例2如图，在AABC的边上取两点D、E,且BD二CE求证AB+AOAD+AE.

四、借助角平分线造全等

1、如图，已知在AABC中，ZB=60°,Z^ABC的角平分线AD,CE相交于点0,求证0E=0D1在上取点使AC F,AF=AE•「是角的平分线AD AE/A°\•••NEAO=NFAE/V AO=AO/\•••三角形AEO与AFO全等两边夹角相等L iBAEO=FO,ZAOE=ZAOF是的平分线•••CE NC，NDCO=NFCOVZB=60°/.ZA+ZC=180-60=120°度ZCOD=ZCAO+ZOCA=ZA/2+ZC/2=60A ZOCF=180-ZAOF-ZCOD=180-60-60=60°AZOCF=ZCODV OC=OC•••三角形与全等两边夹角相等OCD CFOACF=CD.-.AC=AF+CF=AE+CD即AE+CD二AC

2、如图，AABC中，AD平分NBAC,DGJLBC且平分BC,DEJ_AB于E,DFJ_AC于F.1说明BE=CF的理由；2如果AB=Q,AC=b,求AE、BE的长.证明连接BD,CD于且平分DGLBC GBC所以为垂直平分线GD BC垂直平分线上的点到线段两端点距离相等BD=CD角平分线上的点到角两边距离相等平分于的延长,ADNBAC,DE_LAB E,DFJ_AC于F所以DE=DF在中RTABED,RTACFDDE=DFBD=CDRTABED^RTACFDHLBE=CF应用

五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求NEAF的度数.将三角形绕点顺时针旋转度，至三角形ADF A90ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形全等于AEF AEG所以NEAF=NGAE=NBAE+NGAB=NBAE+NDAF又Z EAF+ZBAE+Z DAF=90所以NEAF=45度例2D为等腰放AA5c斜边AB的中点，DM±DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F1当NMDN绕点D转动时，求证DE二DF2若AB=2,求四边形DECF的面积垂足为P,做垂足为做DQ_LAC,QDPJ_BC,且为等腰为中点,4ABC RTAABC•••D•••DP=DQ=i%BC=i%AC又旋转•••/FDQ=NPDE ZDQF=ZDPE=90°△.-.DQF^ADPE.-.SADQF=SADPE又〈四边形四边形S DECF=S DFCP+SADPE四边形四边形2AS DECF=S DFCP+SADQF=^BC*^AC=%AC定值AC=BC=•••四边形面积不会改变DECF例3如图，AA8C是边长为3的等边三角形，ABDC是等腰三角形，且NBDC=120°,以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则AA7W/V的周长为；我简单说一下过点做的延长线D DELAB然后证明DMN^DME（注意实际上是旋转后得来的）4DBE4DCN。