函数专题复习1-函数概念.定义域.奇偶性.解析式

函数专题复习1函数概念、定义域、奇偶性、解析式

一、基础知识、基本方法、常见题型归纳两个函数能称为同一函数的充要条件是

1.求函数定义域的常用方法1使函数解析式有意义具体有2实际问题有意义3若已知/x的定义域为[,切,函数的定义域由不等式〃gx〈〃解出即可解答函数问题时注意定义域优先原则，特别是求单调性

2.判断奇偶性先看对称，再验证f-x尸；fx±f-x=Q图像法奇函数的图象关于对称；偶函数的图象关于对称可借助图象解不等式,判断函数图象形状等，若/X为偶函数，则/-X=/%=/|X I./0=0是/均为奇函数条件，能由£-1m1推出/是偶函数吗？

3.函数解析式的求法

1、换元法；2待定系数法注意别忘记给出新函数定义域；

3、借助函数的性质奇偶性、周期性、对称性等法；

4、利用方程的思想的方法；

二、课堂练习与典型例题加*号的题目对基础中等以下的同学不做要求

1.下面有关函数y=fx的图象与直线x=1的交点情况说法正确的一项是A没有交点B有且只有一个交点C至多有一个交点D至少有一个交点

2.下列两个函数表示同一函数的是x—lA f x=1与g x=_\B f x=x与g xX^-xC f x=x2—2x+2与g，=J—21+2D f x=2x・l与g x=2x+l,x£Z

3、2008江西文若函数y=.fx的定义域是2],则函数gx=£2^的定义ln2x-lA.-,+oo B.-,4]c.-4D・5JA A域是4*.若函数fx,gx分别是R上的奇函数、偶函数，且满足了%—gx=,则有A./2/3g0B.g0f3/2C./2g0v/3D.g0f2/35*.设函数/x是定义在R上的偶函数，若当x£[0,+8时单调递减，且/2-4-/20则实数a的取值范围是6,设奇函数fx的定义域为[-5,5].若当x e[0,5]时，一/A的图象如右图，则不等式/A0的解是—;

7.1已知fVx+1=x+2Vx,求，x的解析式2已知函数fx是一次函数，且满足关系式3fx+1—2/x—1=2x+17,求Fx的解析式8*上海文22本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分，计18故bx在0,为减函数，在,+8为增函数,于是函数bx在0,+8上的最小值是Fa=b/=//—g%=

0.故当%0时,有/x—gx与0,即当％0时,/x^gx函数=的定义域为加，抵幻=1111+工的定义域为，则McN=V1-xA、{xxl}B、{xxvl}C、［x-1x1}D°

21.本题满分14分设函数/x=px-4-21nx,且/e=一2,其中e是自x e然对数的底数.1求p与9的关系；2若.fx在其定义域内为单调函数，求〃的取值范围；3设gx=一,若在［1,e］上至少存在一点4,使得/x0gXo成立，求实数p的X取值范围.

21.解:1由题意得/e=〃e—幺—21ne=qe—―

③当p0时，/zx=px2-2x+p,其图像为开口向下的抛物线，对称轴为x=-^0,+oo,只要/z00,即〃0时，用%40在0,+00恒成立，故p0适合题意.综上所述，p的取值范围为〃21或〃W

③当pNlU寸，由2知/幻在［l,e］上是增函数，/1=02,又gx在［1,4上是减x3-x2,xl,

18.已知函数/x=[inx,x\.⑴求函数/x的单调减区除2若不等式企+c对一切xwR恒成立，求c的取值范围,7当x1时Jx=3x2-2七令『30,可得0x v2当xl时JX=L^x

0.X所以函数/x的单调减区间为o,|.X3_%2r,x41,2设gx=/xr=lnx-x,xL当x1时,gx=3,一2x-1=3x+lx-l,令gx0,可得x-2或x1,即x v

3.3可得为函数gx的单调增区间,令gx v0,可得-gx L当X1时,gx=I一1二一工工,X X为函数gx的单调减区间.故当x1时，%

0.于是函数gx的单调增区间为11\3J，单调减区间为--+O0\3可得,用为函数gx的单调减区间,又函数gx在x=l处连续，一要使不等式fx4x+c对一切x eR恒成立,即gx«c对一切x GR恒成立,1115所以函数gQ的最大值为■・・・・———廿.279327,又gx W—•之—.22727「

5、故c的取值范围为卫,+

00.127；19,1

①当0时，函数/x的单调递增区间为-辰F,0及屈F，

②当0al时，函数“幻的单调递增区间为—,0及电xo,

③当时，函数/x的单调递增区间为y，-Jaa-七及/-1,+°°・2由题设及1中

③知向二»=而且al,解得a=3,已知二次函数/x=61X2+xGR,a7^

0.1求证当0时，函数/x是下凸函数.2如果x£[0,1]时，|/x|W1,试求实数的范围.o

11、设

3、=

0.03=10-2,则------------的值为.%y2注意对于⑴中F x与fA本质上一样.函数y=|x-3|-|x+l|的最大值是4,最小值是若函数/幻=+笈+2〃常数a,Z£R是偶函数，且它的值域为-oo,4],则该函数的解析式/x-2X2+

4.已知函数/X=/一1x在1,2]是增函数，gx=x—五在0,1为减函数.n1求/%、gx的表达式;2求证当x0时，方程/x=gx+2有唯一解；3当/一1时，若于x22bx-----------^在工£0,1]内恒成立，求Z的取值范围.解1・・・/幻=2%—二依题意广〉0工£1,2],=2，,・・・

42.1分又・・・gx=l——%,依题意gx0x£0,1,=a2五,「.〃

22.2分2讨x「.a=2,3分/x=，-21n x,gx=%一2五,5分2由1可知，原方程为X—2In x=x—2+2,即x—2In x—x+2—2=

0.设/zx=x2-2]nx-x+2y[x一2,由/zx=2x----------------1+—j=,设分令h\x0,/.x0,Vx-l2xVx+2x+4x+20,,x

1.7分令//%,.,・%0,解得0V%

1.8分即/zx在x=l处有一个最小值0,即当x0且XW1时，/zx〉0,・・・/ix=0只有一个解.即当G0时,方程/x=gx+2有唯一解.10分3/%=2x—2=2x+lx-l,.当工$J］时/x为减函数，其最小值为

1.12分X X012令y=2bx—-则V=2〃+二,・・・〃—1,x E刀・..V0在0,1］恒成立.・•・函数丁=2—二在%£0,1］为增函数，其最大值为2b—1,13分\b-\依题意4，解得—1匕

1.为所求范围.14分2Z-

1111.全国卷H已知心0,函数fx=%2-2ax/1当X为何值时，fx取得最小值？证明你的结论；2设fx在［T,1］上是单调函数，求a的取值范围.解I对函数/%求导数得-⑴=Y+2x—2以—2〃令/x=0,得［1+21—］0=0从而入2+21—工一2〃二解得X］=ci-1—Ja~+1,%2=a—1+JQ2+1当X变化时，/X、/瓮的变化如下表00递增极大值递减极小值递增•・・/X在工=七处取得极大值，在工=%处取得极小值当时，X］V—1,123,/%在为，々上为减函数，在工2，+°上为增函数而当x0时/%=xx-2aex0,当x=0时,fx=0所以当x=〃一l+J〃2+i时,/幻取得最小值II当20时，/x在［—1,1］上为单调函数的充要条件是々21即a—1+J/+1N1,解得43于是/5在［-1,1］上为单调函数的充要条件是〃2343即的取值范围是［1+oo若直线y=2a与函数y=|oM|Q0,且“W1的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______/x=a-------------

21、本小题满分14分设函数.2+1I求证:无论为何实数,了⑶总是增函数;H确定a值,如行为奇函数；III当了*为奇函数时，求/W的值域

22、本小题满分14分.★★★★★已知函数y=/x是定义在R上的周期函数，周期7=5,函数yjx一xWl是奇函数，又知产/U在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时丁函数取得最小值，最小值为一

5.⑴证明:-1刀4=0;2试求=/x,［1,4］的解析式；3试求产/⑴在［4,9］上的解析式.⑴证明:产/3是以5为周期的周期函数，.\/4寸4—54—1,又产/⑴一1WxWl是奇函数，，川=—#—1=一旭,，川+/4=

0.2解:当—［1,4］时,由题意,可设/U=ax—22—5〃W0,由|1/4=0得1—22——5+Q4——22—5=0,解得G=2,・\/X=2X——22—51WxW

4.3解•・・y=/a—lWxWl是奇函数，・・述0=—/-0,.・・火0=0,又可0W］忘1是一次函数，.•.可设/尤二质04工41「・\/1=21—22—5=—3,又71=4・1二储・・6一

3.・・・当0W%W1时，«r=—3x,当一1时，人工=—3%，当4〈尤W6时，-1Wx—5寸x—5二—3x—5=—3x+15,当6V%W9时，1Vx—5W4y九4x—5=2［%—5—2］2~5=2x1c f-3x4-154x6—72—

5..\/x=^〔2x-7尸-56x9函数y=/x是定义域为R的奇函数，且对任意的均有/X+4=/X成立，当了£0,2］时，/x=-x2+2x+l.1当xc［—2,2］时，求函数y=/%的表达式2当x£［4%-2,4%+2］次£Z时，求函数y=/x的表达式；33求不等式/%士的解集.

20、本题14分设函数=1〃力为实数，尸x°［~/M x1若/T=0且对任意实数x均有了%R0成立，求产%表达式；2在1的条件下，当工«-3,3］时，g%=/%-质是单调函数，求实数Z的取值范围；3设加0,〃且/篦+心0,〃0且/%为偶函数,求证Fm+Fn

0.

19、解1当x=0时，V/0=-/0,.\/0=

0.——1分当x£2,0时，一x£0,2］,fx=-f-x=--x2-2x+1=x2+2x-1+2x-1,x£[-2,0所以/x=0,x=0----------4分-+2x+1,X G

0.2]X.2由/x+4=/x，知/x为周期函数，且周期T=

4.——5分当工£[4左一2,4攵,攵£2时，x-4k E-2,0,/./x=f x—4A=九一4Z2+2x—4%—

1.当x£4匕4攵+2]左£Z时，％—4攵£0,2/./x=f x—4k=—%—4%2+2工一4攵+

1.故当x[4攵一2,依+2]止Z时，/x的表达式为x-4左2+2x-4k-1,%£[4左一2,4女f x=0,x=4%-------9分c[-2x00x2333或彳3—10当[-2,2]时，由fx一得492—x+2x+1一2+2-12X X2解得1—YIxl+YI.--------------12分—x—4%2+2%—4女+1,x£4太4攵+2]・.・/x是以4为周期的周期函数，3V

2.fx-的解集为{用4攵222+1———x4Z+l+——}.-----------------------------------------------------------------------------------14分

20、解:1•・•/-1=0,.h=a+l.…・・・1分由/x20恒成立，知△=〃-4Q=Q+12-4Q=Q-120,/.a=\.......3分从而/%=/+2x4-

1.・

8.......8分3•••/x是偶函数，，f-x=fx,得b=

0.14分/agx,当N W/且X eDg分对定义域是/.、2的函数y=fX、y=gx，规定函数〃3=/⑴，当xe/且X右上o gx,当X£/且1若函数〃x=L，gx=K写出函数/ZX的解析式；2求问题1中函数/lX的值域；3若gx=/九+a,其中是常数，且°£［04］,请设计一个定义域为R的函数y=/x,及一个a的值，使得〃x=COS©，并予以证明

三、课后巩固练习

1.若函数y=x+lx—a为偶函数，贝|J a=A.-2B.-1C.1D.

22.下列图形中，不能表示函数图像的是A.B.C.D.

3.2008福建文、理函数/x=/+sinx+lX£R,若/=2,则/—的值为A.3B.0C.-1D.-

24.设函数/九是定义在［-1,1］上的奇函数，若当［0,1］时单调递减，且〃2a+//A.[-2,0]C.OJ D[0,2]则实数a的取值范围是775*./x=/+x,数机xeR,当—0寸，/msin9+/l—m0恒成立，则实的取值范围是B.—oo,0C.一*一D.—oo,l

6.2008上海设函数/九是定义在R上的奇函数，若当x£0,+8时，A.0,1/G=lgx,则满足fx0的x的取值范围是一・

7.函数y=74-的定义域是:兀一

38./%是定义域为R的奇函数，当xvO时，“x=%2—3%,则/尤=.解答题

9.已知函数人幻和gx的图象关于原点对称，且“x=f+2x.I求函数gx的解析式；II解不等式gxM/x—|x—1|；HI*若Zzx=gx—2式幻+1在［―1,1］上是增函数，求实数4的取值范围.

10.08韶关二模已函数/%是定义在［-1,1］上的奇函数，在［0,1］上/x=2X+lnx+l-lI求函数的解析式;并判断了x在[-1』上的单调性不要求证明II解不等式/2x+l+/l—1220课堂练习与例题解答—2,052,5]例

7.解1设才=G+11,则«=/一1,/.X—t—1212+2才-1=1—1才三1/./X=X2—1X1=3ax+3a+2b⑶设F x=ax+b则3fx+1—2fx—1+2a—2b=ax-\-b+5a=2x-\-17a—2,b—

7.fx=2x+78*解1*=-2x+3x-2x e[l,+oo x-2x£-8,17]2当x2l时,hx=-2X+3X-2=-2X2+7X-6=-2X——2+—

48.•.hxW—;8当xl时,hx-l,71・•・当x=1时,hx取得最大值是§.713令fx=sinx+cosx,a=—j[兀则gx=fx+a=sinx+—+cosx+—=cosx-sinx,于是hx=fx-fx+a=sinx+cosx cosx-sinx=cos2x.另解令fx=l+亚sinx,a二兀，gx=fx+a=1+V2sinx+兀=1-sinx,于是hx=fx-fx+a=1+V2sinx1-V2sinx=cos2x.x2X G-00,1u t+oo3解1/ZX=〈x-\1X=1X12当X W1时,hx=-------=X—1H------F

2.x-1x-1若x1,则/zx4,其中等号当％=2时成立,若x1,则/ix4,其中等号当户0时成立,・•・函数力的值域―⑼u⑴［4,yJI3［解法一］令/%=sin2x+cos2x,a=—,4JI JI则gx-f1+a=sin2x H——+cos2x d——=cos2x-sin2x,44于是Zzx=/x•f{x+a=sin2x+cos2xcos2x-sin2x=cos4x［解法二］令/%=1+后sin2x,a=,则gx=/%+a=l+后sin2%+g=l-sin2%,于是/%=/%•fx+a=1+V^sin2xl-V^sin2x=1-2sin122%=cos4%.［解1/、•TC兀法一］令j x=sin x+cos%,=不，贝ij gx=/x+a=sinx+—+cosx+—=cosx-sinx.222于是hx=fx•f{x+a=cosx+sin xcosx-sin x=cos2x.［解法二］令/x=1+V2sinx,6Z=7i,则gx=f{x+a=1+V^sinx+»=1-V2sinx,于是〃x=fx•fx+a=1+V2sinxl-v2sinx=l-2sin2x=cos2x-x

209.・解I设函数y=/x的图象上任一点%,%关于原点的对称点为「》,A±£,=o・・•点%,%在函数y=/x的图象上.—y——2x,即y=—x^+2x,故gx=—+2x.II由gx之了九一|%-11可得:2x2-|x-l|022-+1|0当x时，X X，此时不等式无解119当xl时，2x2-x+l0—IW XW—,因止匕，原不等式的解集为［-1,-］.22III/zx——1++21—Ax+

1.

①当4=-l时，hx=4x+l在［T,1］上是增函数，2=-l1-A

②当1时，对称轴的方程为％二——1+41-2i当Xv—1时，——-1,解得;l—11+21-4CBBBDx2-3x,x0-6-1,0U1,FW70,2J2,33,48fx=x=-x%=-y1-2ii当4—1时，——21时，解得一IvaVO1+2综上

09、解⑴设—14x00,则OV—xl/-x=Tx+lnl-x-1=—+lnl-x-12A又了X是奇函数，所以/—%=—/X,/X=-/-%=

2、1止埼解数一1元02・・二•/Q2嵬也6吊/箍由驳崎目知得:f2x-1/x2-l2x-lx2-}0%2等价于”2x-l〈lo—夜WxW后解得0xl,所以{x|0xl}-1X2-110^1函数专题复习2o函数周期、单调性与最值

一、基础知识、基本方法、常见题型归纳

1.周期函数的定义“函数/%满足Vx,fx=［f ci+x〃〉0,则/x是周期为a的周期函数”;Z KZ其中G E也是其周期易得

①函数/x满足/x+〃=—/%,贝ij/%的周期为—；

②若/X+〃=〃0恒成立，则7=2；

③*类比三角函数图像”/九你能根据y=/x图像有两条对称轴x==ba w3，得y=/x必是周期函数且周期为—，如果知道一个对称中心和一个对称轴呢？

2.证明或求函数单调区间的常用方法是

1.法，即任取不%口寸有了区一于g〉0,则称［a,b］是fx的减区间；等价于为一％.0］X-x

22.法，£〃,母时，有,则称〃/是fx增区间,或不等式广⑺0,得出的X的取值区间是fX增区间

3.也可以直接应用常见函数的单调性求出单调区间或求最值初中和高中教材介绍过的

3.函数最值或参数范围

①直接利用常见函数如二次、指数、对数、三角函数等的值域或单调性直接求；

②如果变量取正值时，往往先考虑借助基本不等式求之，要注意取到最值时，自变量是否在允许的范围内,特别是分子、分母中一个一次和一个二次式的大多都可以化归到此类型，有时为保证取正，须分类讨论；

③一般情况借助导数知识，特别是在一个闭区间［Q,加上的最值，可按教材上的方法按导数知识列表求之其实实质还是利用单调性；不少题目直接利用单调性更简单

4.求参数范围的问题往往可以转化为求函数在已知范围内的最大最小值问题，如果能分离出参数，往往可使问题简化；恒成立问题也可直接化归为求最值问题

二、课堂练习与典型例题_

1.已知定义在R上的偶函数/x在0,+8上的解析式为/x=lnx—x,则在下列区间中使/X递减的区间是提醒由图象易知奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反心€且看+々a心+/a x+X]

2.已知函数」=-x-x,xr盯、R.A.01］B.［-1••4C.一00-1］D.［-1•••1］0,则的值A、一定大于零B、一定小于零C、等于零D、正负都有可能3x+2a,x0是R上的减函数，那么的取值范围为3*已知函数/x=B.0,1D.0a\x

04..设/%是定义在R上的以3为周期的奇函数，若〃1〉1,〃2=—二，则的取值a+1范围是.

5.已知方程cos2光+2sinx+a=0有实根，则a的范围是6*.在区间［1/2,2］上函数fx=x2+px+q与gx=2x+l/x在同一点取得相同的最小值，那么fx在区间［1/2,2］上的最大值是

7.08海南已知m£R,直线/mx-zn2+ly=4%和圆Cx2+-8x+4^+16=0o求直线/斜率的取值范围；

8.定义在［-1,1］上的奇函数满足1=1,且当a+bwO时,有以业©o.a+b1求证/%是［—1，1］上的增函数.2若+2a机+1对所有恒成立，求/役的取值范围.p

19.*设0犹尸一+一是R上的偶函数，1求a的值；2证明火处在0,+8上是增函

三、巩固练习

1.若函数/X=4/一履—8在［5,8］上是单调函数，则左的取值范围是A.-oo,40]B.[40,64]C.-oo40][64,+oo D.[64,+oo

92.2008全国I卷理设奇函数/x在0,+oo上为增函数，且/1=0,则不等式/x―/x0的解集为xA.-1,0L+ooC.—00,—11,+ooB.-oo,-l0,

13.若函数=X的值域是己,引,D.-1,00,

14.设若函数产炉+QX,%£R有大于零的极值点，则则函数Fx=fx+—的值域是1fx D.a——e5101A.[1,3]C.[一r,—]D.[3,^]231A.—1B.a—1C.—

5.函数y=/x的一个单调递增区间是―1,1,那么函数y=/x+l的一个单调递增区间是A0,2B[—2,0]C[0,2]D—2,

06.函数对于任意实数工满足条件〃X+2=G、，若/0=—5,则f\x〃/5=----------------------

7.函数y=a10,Q w1的图象恒过定点A,若点A在直线nvc+ny-l=0mn

028.设函数/%=2--------------------------

2、+1上，则mn的最大值为I求证无论4为何实数，/X总是增函数;II确定值，使/X为奇函数；III当/x为奇函数时，求/%在[-2,2]上的值域”、x2+2x+a、ri

9./x=---------------------,xe[l,+oo ox1当〃=，时，求函数/X的最小值2若对任意工£[1,+8,/0恒成立，试求实数的取值范围.10*已知定义在正实数集上的函数以，gx=3/lnx+〃，其中

0.设两曲线y=/X,y=gQ有公共点，且在该点处的切线相同./用表示人，并求人的最大值；〃求证/x,gx x093课堂练习与典型例题答案1-3BBD,4-1“

一、5o[---3],6*x=l时最小，轴为%=一^=1,〃=_2应=4,“2=4最大n7An77解直线/的方程可化为y=-^—x—--mr+1m+11m所以网当且仅当m=1时等号成立.所以，斜率上的取值范围是nr+1直线/的斜率攵因为|〃产5/+1,

8.1任取I”％且一1项%L令〃=x「b=-X],由已知得“2+‘0X-X]2因“可是奇函数，有即/%，匹，所以/%是[-1,1]上的增函数•2因〃％是[—1,1]上的增函数.所以fx的最大值为fl=l,若/x工疗+2«m+l对所有xe[-l,l],恒成立,只须1m2+2a2+1对一切〃€[一1,1]恒成立设以Q=根2+2〃机+1,£[-1,1],求0在[-覃]的最小值，因它是一次函数单调,除m=0验证所以只须考虑端点值，即FT1,得收—22°,解得帆=0或加22[9⑴1[m2+2m08*解;依题意，对一切x£R,有x,即£L+上_=_L+〃F.整理，得〃一_L/__L=a exaex aex因此，有a——=0,即/=1,又6/0,.\ci=L a2证法一定义法设X|V]2,L T贝iJ/UD-/U2=e*-ex-+-^-----------^-=/2—e*Xe*eX2eXx X1由xi0,X20,%2xi,/.ex~~Xy—10」—e~+20,・；/Ui一%2V0,即ri A%2・•・/x在0,+8上是增函数证法二导数法由凡r=炭+£—得/⑴二炉一e二6二•e2A—1当x£0,+8州寸,e”0+8上是增函数.此时/x0,所以人犬在[0,四一1〉课后练习1-5CDBAD,6o5,7-

48.1用导数易得证，2由〃0=0,n a=1,再验证/-%=-/%333根据12得值域为[—工口

1179.解:1/%=%+—+2,=£口,+◎,/%=1——7°，幻在[1，+8增fl=-2x2r2最小注意用不等式求时，找不到等号成立的条件2因xe[l,+oo fx=一+2+”0,可化为9xX2+x+a0在X G[1,+00上恒成立，即左端的最小值大于0即可，因左端抛物线对称轴为工=-工，所以二次函数2[1,+OO上递增，只须l+l+a〉O,得a〉-210*解I设丁=/%与y=冢％、0在公共点为K处的切线相同.Q2••幻=%+2,gfx=------------,由题意Xo=g[，/九o=g%o.X—x1+2%=3〃21nx+/7,

92.八36r/I或工0=-3]舍去.2由x+2〃=----得x=a0+2=*%X Q即有b=—a2+2a2-3a2\na=-a2-3a2Ina.22令/2«=9——3/ln£Q〉0,则/f«=2/l—3hW.于是当1—3hU〉0,即0，/时，hft0；当，1—31n，0,即，〉/时，〃«v

0.\_\故以在0,为增函数，在,+8为减函数,\7/_L32于是Z/Q在0,+8的最大值为〃=—/.I J2II设/x=/x-gx=L12+2以一321nx,E L,/、C32X—〃X+3/

八、贝Ijbx=x+2a----------=-------------------^

0.。