函数专题复习4-导数与函数零点

函数专题3-导数及应用、函数零点

一、基础知识、基本方法、常见题型归纳/%+-/%

1.导数的概念fx在点X0处的导数记作V=f*0=lim-Ax1几种常用函数的导数公式如下Ox=OxC二0C为常数；乂〃后Q；e、=er；成=-；熟记xsiax9=cosx；cosx-；炉/=,log x-6/2两个函数四则运算的导数〃+□-II+/;wv=ufv+uv；乜=u w0V

2.导数的几何物理意义k=Px表示过曲线尸fx上的点Px0,fx的切线的斜率瞬时变化率V=『t表示瞬时速度a=/t表示加速度利用导数求曲线y=f x的切线常见的题型有1过已知点P x0,yo求切线先判断点P是否在曲线上

①若点P在曲线上，则曲线的斜率k=，然后直接用点斜式写出切线方程为

②若点P不在曲线上，则应先设出切点Q xi,y利用切点既在曲线上，又在切线上先得y尸fx……1,k=7玉,则切线方程为y—必=/七一玉.因点P在切线上，得凡一切=/七与一七・・・

2.由12可求出切点Q xi,yi,得切线方程2已知切线斜率如求切线的关键仍然是求出切点，具体做法是

3.导数的应用

1.利用导数判断函数的单调性已知y=/x

①分析y=/x的定义域;

②求导数V=

③解不等式或列表，解集在定义域内的部分为增区间

④解不等式尸x0,解集在定义域内的部分为减区间如果恒有尸x=0,fx为常数

2.求可导函数极值的步骤

①求导数/X；

②求方程/x=0的根注意要舍去；

③检验尸x在方程=0根的左右的符号，如果这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数y=fx在这个根处取得极小值；最好列表求解极大值一定大于极小值吗？注意导数存在的条件下，极值点的导数值一定为0,反之导数为0的点一定是极值点吗？

3.求可导函数最大值与最小值的步骤

①求y=fx在［a,b］内的极值；

②将y=fx在各极值点的极值与f a,f b比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值最好列表/%0能推出了幻为增函数,但反之不一定如函数/X=/在-GO,+OO上单调递增，但尸520,•••广x0是/处为增函数的充分不必要条件/X为增函数，一定可以推出广X20,但反之不一定

4.1零点存在性定理如果函数y=/x在区间［,句上的图象是连续不断的一条曲线,并且有//30,那么函数y=/%在区间,份内有零点即存在/,使得/c=0,这个c也就是方程的根，也是函数零点判断零点个数常借助函数单调性

2.二分法及步骤对于在区间他，切上连续不断，且满足/〃/30的函数y=.fx,通过♦不断地把函数/x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.了解/%=/,gx=ax,/zx=kg〃x,当al时，三个函数增长速度的快慢借助图像

二、课堂练习与典型例题

1.对于R上可导的任意函数f x,若满足x-1ff x0,则必有A、f0+f22f1B、f0+f22f1C、f0+f22f1D、f0+f22f

12.设/⑴为可导函数，且lim/⑴一=_］,则过曲线尸⑴上点1,/⑴处切线的斜率为2xA.2B.-\CA D.-23若函数y=/x在区间出力］上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是A.若/〃/力0,不存在实数C£Q,力使得/=0;B.若/〃/〃0,存在且只存在一个实数使得/c=0；C.若//30,有可能存在实数£力使得/c=0；D.若/〃/〃0,有可能不存在实数£,力使得/C=0;

4.2008安徽文设函数/x=2x+,—lx0,则/xXA.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数

5.2008广州二模文、理已知二次函数/X的图象如图1所示,则其导函数/X的图象大致形状是佟1y yA6*若函数y=/（x）在r〉0上可导，且满足不等式+0恒成立，又知常巍、b满足b0则下列不等式一定成立的是7（）（）（）（）（）（））A.bf aaf bB.af aaf hC.bf aaf hD.af{a}hf\h7函数f（x）=ln x+2x—6的零点个数是零点在区间上（端点填最接近整数）

8.曲线y=』/+3上在点尸（2,4）处的切线方程是*曲线y=3+±则过点尸（2,4）的切线方程是

9.（全国卷III）用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

10.已知aZO,函数f（x）二（）x1—2ax+l e

1.当a=0时，求曲线f（x）在点x=l处的切线方程；2）求函数f（x）的单调区间;3）设f（x）在（-1,1）上是单调函数，求a的取值范围；

三、课后练习

1.（2008辽宁文、理）设P为曲线C y=d+2x+3上的点，且曲线在点P处切线TT倾斜角的取值范围为0,-,则点P横坐标的取值范围为（）_4_-111「1「1一rA.—1,---B.[—1,0C.[0,1D.—,

12.已知/（x）=xlnx+,则下列关系正确的是（）A.r（x）=l+ex B.r⑴〉八2）c./（I）/

（2）D./）=l+e

3.函数y=xcosx-sinx在下面的哪个区间上是增函数（）A.—,——B.（肛2万）C.—,——D.

（2）,3万）；；U

21224.若丁=以与y=——在（0,48）上都是减函数，对函数单调性描述正确的是XA.在（-8,+0）上是增函数B.在（0KQ）上是增函数C.在（-oo,+0）上是减函数D.在（-8,0）上是增函数，在（0,+8）上是减函数

5.抛物线y=x2到直线x—y—2=0之间的最短距离为（）7QA.V2B.-V2C.2A/2D.-V

2876.过原点作曲线y=炭的切线，则切点的坐标为,切线的斜率为

7.2008江苏直线y=,x+Z是曲线y=lnxx0的一条切线，则实数b=.

8.fx=x2,gx=2X,hx=log x,当4,+00时，三个函数增长速度比2较，增长最快的函数是,函数y=/x-gx在R上零点个数是fXo-k-fXo9*.若函数fx在x=xo处可导且f‘xo=4,则］im kf04k

10.函数fx=+ax+bx+@2在x=1时有极值10,则实数a=；b=1106广东卷设函数/%=-%3+3工+2分别在不々处取得极小值、极大值平面上点43的坐标分别为七西、x,fx,该平面上动点尸满足B4・PB=4,点是点P关于直线22y=2x—4的对称点.I求点A、B的坐标；II求动点Q的轨迹方程.

12.已知函数/x=xx—cl在x=2处有极大值，求c的值

13.若实数0,/x=-2ax3-ax2+12ax+l,gx=2ax2+31当1=1,时，令/zx=/x-gx,求函数/zx的极值2若在区间0,+8上至少存在一点使得/Xo〉gx0成立，求实数a的取值范围

9.解设容器的高为x,容器的体积为V,1分则V二90-2x48-2x x,0V245分=4X3-276X24-4320X丁V=12x2-552x+4320……7分由V=12X2-552X+4320=0W xi=10,x=36Vx10时,V,0,210x36时，V,0,x36时，V0,所以，当x=10,V有极大值V10=1960…10分又V0=0,V24=0,…II分所以当x=10,V有最大值V10=

196010.1a=0,切线为4ex-y-2e=02f\x=x2-2a-2x+l-2aex=0,届=-l,x=l-2a2avl,增区间口,—1,1—2dy,减区间—1,1—2a,1,增区间-00,1—20,—1,y,减区间1—2氏—1；a=l在R上增2由2得单调减时只须满足11—=单调增时，1,在-1,y增,满足，a=l在R上增，也满足所以a的范围是或a

8.gx=211解I令f\x=-x3+3x+2=-3x2+3=0解得X=1如=-1；当x—1时,/x vO,当—1v%v1时，九0,当X1时,frx0o所以，函数在x=-l处取得极小值，在x=l取得极大值，故X]=—1,工2=1,/—1=0,/1=4所以，点A、B的坐标为4—1,,51,4II设p{m,n，Qx,y,PA^PB=—1—m—n•1—m,4—n=m2—1+n2-4〃=4,kpQ=」,所以=--o又PQ的中点在y=2x—4上，所以2x-m2Z±^f^l^_A消去机，〃得x—82++22=9o=22I2东莞摸底考试第题，自己看答案

13.0919天津文设函数其中@2008/eRI当=—W时，讨论函数,fx的单调性；II若函数/X仅在x=0处有极值，求〃的取值范围；III若对于任意的a£[—2,2],不等式/xWl在[—1,1]上恒成立，求Z的取值范围.

29.本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.满分14分.为使/x仅在x=0处有极值，必须4/+3℃+4》0恒成立，即有八=92—64W

0.Q Q解此不等式，得一一WaW—.这时，/0二匕是唯一极值.因此满足条件的的取值范围是-一,一.133」山解由条件〃£[—2,2]可知△=94—640,从而4/+3以+40恒成立.当x0时，/xv0；当x〉0时，/x

0.因此函数/X在[-1,1]上的最大值是/⑴与/-I两者中的较大者.为使对任意的Q£[—2,2],不等式/xWl在[—1,1]上恒成立，当且仅当y⑴1,即下-2-51/-11,、2+1在Q£[-2,2]上恒成立.所以hW-4,因此满足条件的人的取值范围是一8,_q.2008广州一模文设、g%是R上的可导函数，/%、/%分别为/%、g x的导函数，且/xgx+/xgx0,则当寸，有C A.fxgbfbgx}B.fxgafagxC./xgx/Z^Z D./%gx/aga设函数/%=2人-5x+b“g%=〃入+X+6Q0,〃W1,若gxl与段gx对,于任意实数x恒成立，则实数匕的取值范围是A.b\2B.b\2C./W15D.b\

59.点尸在曲线产r—%+|上移动，设点尸处切线的倾斜角为，则a的范围是1—2a—3ci2—43=^161[1-26Z-36Z2-2^z]o[-4-3],即—2—2a—3江西已知函数尸矿x的图象如右图所示其中rx是函数/x的导函数，下面四个图象中y=/x的图象大致是C

11.全国卷H已知a20,函数fx=x2-2axe”1当X为何值时，fx取得最小值？证明你的结论；2设£6在［-1,1］上是单调函数，求a的取值范围.解I对函数/%求导数得rx=，+2x—2ax—21令/%=0,得［/+2］—q工—2a］ex=0从而x2+21—ax—2a=Q解得X—ci—1—Ja2+L%2=a—l+Ja2+1当工变化时,/%/X的变化如下表00十递增极大值递减极小值递增・•・/X在X=见处取得极大值，在X=Z处取得极小值当420时，x—l,x30,/x在为,工2上为减函数，在z，40上为增函数i2而当x0时/x=xx-2aex0,当x=0时，/%=0所以当x=—1时，/x取得最小值II当20时，/x在[一U]上为单调函数的充要条件是々1即a—i+b+i*解得43于是人处在卜1，1]上为单调函数的充要条件是2巳4即的取值范围是6,+8已知函数x=liix,gx=—ax

1470.I若b=2,且〃x=/x—gx存在单调递减区间，求〃的取值范围；II设函数火好的图象Ci与函数gx图象C2交于点P、Q,过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C”C2于点M、N,证明Ci在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.解I b=2Ht,hx=]nx--ax2-2x,…、1八ax+2x-l贝J hx=---cix-2-----------------------.X X因为函数人⑴存在单调递减区间，所以/幻0有解.又因为x〉0时，贝lj af+2x-10有x0的解.

①当a0时,y=ax1+2x—1为开口向上的抛物线，6zx2+2x—10总有x0的解；

②当a0H寸，y=a^+2x-1为开口向下的抛物线，而7x2+2x-10总有x0的解;则△=4+4〃0,且方程af+Zx—1=0至少有一正根.此时,—

140.综上所述，〃的取值范围为一1,0U0,+

8.II证法一设点P、Q的坐标分别是为手，如y2，0%i%

2.

1.2Ci在点M处的切线斜率为占X X]+/，则点M、N的横坐标为x=~+Z,2C2在点N处的切线斜率为=+6…=/+々+斜2X\+x22X=2假设G在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k尸k

2.即------=J———+b,贝1JXI+%2=y~y\=In%-In Xj.222^-1_所以ln±=-——.设，=三，则卜，=也二^/〉

1.0X]1工2%]1+%1H---七令-«=111/_^^,，＞

1.则/，=!——工二D1+t-2+1产因为11时，r\t0,所以在［1,+8上单调递增.故r«rl=O.则hU空这与

①矛盾，假设不成立.1+t故Ci在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.

3.如果圆柱轴截面的周长为定值4,则圆柱体积的最大值为816816兀K兀KA・B・C.D・2727993函数fx=x+ax+bx+a2在x=l时有极值10,则实数a=；b=已知函数fx=x3+bx2+ax+d的图象过点P0,2,且在点M-l,f-1处的切线方程为6x-y+7=

0.1求函数y=fx的解析式；2求函数y=fx的单调区间.5已知函数y=/x=gx1求函数y=/x的图像在元=’处的切线方程；2求y=/x的最大值；e3设实数a0,求函数/%=4%在［a,2司上的最小值解1V=/x=3——若/⑴在1,+00上是单调递减函数，则须V0,即31,这样的实数a不存在.故/%在「收上不可能是单调递减函数.若/x在限+动上是单调递增函数，则由于x£L+oo,故3X

223.从而0aW

3.2方法

1、可知/龙在［,+0上只能为单调增函数.若l^x/x,则F%0/1/%=与00矛盾，若1w/%X0,则I/V%0//,即/fx矛盾，故只有/%=%成立.0014分设Q0,函数fx=x3—QX在［1,+00上是单调函数.1求实数〃的取值范围；2设fx1,且//%=/,求证/%=八31对于任意工£尺，函数/x表示—尤+3,4x+3中的较大者，则/X2的最小值是_______________________4r*2-7已知函数/x=--------------,XG[0,1]O2-x1求/x的单调区间和值域；2设aNl,函数gx=%3一3%一2七工£[0,1],若对任意王£[0J,总存在/c[0,l]，使得g%o=/a成立，求a的取值范围解1对函数/%求导/%=—4,+16—7=_2A127,令2-2-%2八%=0，1711得工=一或工=一当工£0,—时，/X是减函数；当X£-,l口寸，/X是增函数，当x£[0J]时，/©的值域为[-4,-3]2gx=3x2-6z2,•••々21当了£0,1时,gx3l—〃2o•••当x£0,l时，g x为减函数，从而当了w[0,1]时，有g%w[g⑴,g0]又g⑴=1—24—3〃2,g0=—2〃，即当口寸有gx£[l—2a—34,—2]任给e[0,11/%.e[-4-3],存在以£1]使得gx°=/匹,则。