初二数学题练习及答案

初二数学经典题型练习

1.已知如图，P是正方形ABCD内点，NPAD=NPDA=15°.求证Z^PBC是正三角形.证明如下首先，PA二PD,NPAD二NPDA=180°-150°+2=15°,NPAB=90-15°=75°在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ,连接PQ,则ZPDQ=60°+15=75,同样NPAQ=75°,又AQ=DQ,,PA=PD,所以△PAQgZkPDQ,那么NPQA=NPQD=604-2=30°,在Z^QA中,ZAPQ=180°-30°-75°=75°=ZPAQ=ZPAB,于是PQ=AQ=AB,显然△PAQg^PAB,得NPBA二NPQA二30，PB=PQ=AB=BC,ZPBC=90°-30°=60°，所以APBC是正三角形

2.已知如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.求证ZDEN=ZF.证明连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点,则又二AD/2;GN〃AD,ZGNM=ZDEM;1同理:GM=BC/2;GM〃BC,ZGMN=ZCFN;2又AD=BC,则GN=GM,ZGNM=ZGMN.故NDEM=NCFN.

3、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在AABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证点P到边AB的距离等于AB的一半.证明分别过E、C、F作直线AB的垂线，垂足分别为M、

0、N,在梯形MEFN中，WE平行NF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ=（ME+NF）/2又因为，角0CB+角0BC=90°=角NBF+角CB0所以角0CB二角NBF而角（013=角傥=角BNFCB=BF所以AOCB全等于aNBE△MEA全等于AOAC（同理）所以EM=AO,OB=NF所以PQ=AB/

2.ZPAB=ZPCB.

4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且NPBA=NPDA.求证:过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E；连接BE因为DP〃AE,AD//PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以，NPDA=NAEP已知，ZPDA=ZPBA所以，NPBA二NAEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，ZPAB=ZPEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以PE//AD,且PE二AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以AD//BC,且AD=BC所以，PE//BC,且PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，NPEB=NPCB所以，NPAB=NPCB

5.P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长.解将4BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为△BAPgABCQ所以AP=CQ,BP=BQ,NABP=NCBQ,ZBPA=ZBQC因为四边形DCBA是正方形所以NCBA=90,所以NABP+NCBP=90,所以NCBQ+NCBP=90即NPBQ=90，所以4BPQ是等腰直角三角形所以PQ=J2*BP,ZBQP=45因为PA=a,PB=2a,PC=3a所以PQ=2J2a,CQ=a,所以CP「2=9£2,PQ^2+CQ^2=8a^2+a^2=9a^2所以CP-2=PQ-2+CQ-2,所以△CPQ是直角三角形且NCQA=90°所以NBQC=90+45°=135°,所以NBPA=NBQC=135作BM±PQ则ABPM是等腰直角三角形所以PM=BM=PB/V2=2a/V2=J2a所以根据勾股定理得AB-2=AM，2+BM，2=V2a+a^2+V2a^2=[5+2J2]a2所以AB=[J5+2J2]a

6.一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水向容器中注满水的全过程共用时间t分求两根水管各自注水的速度解设小水管进水速度为x,则大水管进水速度为4xV V--1=t由题意得:2x8x5v解之得x=—8z经检验得x=型是原方程解St•••小口径水管速度为冬，大口径水管速度为卫St2t

7.如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点〃一2,-1,且P-1,—2为双曲线上的一点，为坐标平面上一动点，为垂直于x轴，夕垂直于y轴，垂足分别是力、B.1写出正比例函数和反比例函数的关系式；2当点0在直线刈9上运动时，直线掰9上是否存在这样的点0,使得△80与△勿尸面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由;3如图12,当点0在第一象限中的双曲线上运动时,作以尸、8为邻边的平行四边形凡2求平行四边形神周长的最小值.-1坐标代入得攵=’,所以正比例函数解解1设正比例函数解析式为丁=，将点—2,析式2为y=gx2同样可得，反比例函数解析式为y二一x2当点在直线加上运动时，设点的坐标为切,1加，于是加m=SMBQ=而Sa”二3-12|=1,19所以有，一加2=1,解得加=±24所以点的坐标为22,1和Q-2,-13因为四边形8s是平行四边形，所以—S,OQ=PC.而点〃-1,-2是定点，所以少的长也是定长，所以要求平行四边形少S周长的最小值就只需求00的最小值.2因为点在第一象限中双曲线上，所以可设点的坐标为〃,一，n42由勾股定理可得02=/+〃--2+4,rT n22所以当川--了二0即〃--=0时，02有最小值名nn又因为为正值，所以与2同时取得最小值，所以有最小值

2.由勾股定理得=6，所以平行四边形少S周长的最小值是

8.如图，尸是边长为1的正方形/戈力对角线力上一动点P与A、不重合，点少在射线回上，且PE=PB.1求证

①PE=PD；

②PELPD；2设/Rx,处的面积为N

①求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解1证法一

①•/四边形/夕

⑦是正方形，力为对角线，工・•・BC=DC,/BCX/DCP

50.・.*POPC,.△PBgXPDC SAS.・••PF PD,/PBO/PDC.又＜PB=PE,・•・PkPD.

②i当点£在线段比上出与反不重合时,PFPE,.方/PB/PEB,./PEB-/PDC,,./PEB+/PEO/PDM/PEC-180N〃上360/BCA/PDCPE=9G,二・PEL PD.ii当点£与点重合时，点〃恰好在/中点处，此时，PELPD.iii当点£在加的延长线上时，如图.:/PEO/PDC,Z1=Z2,・•・孑/〃6斤90°,.PE1PD.综合i iiiii,PELPD.2

①过点〃作上1%,垂足为凡则小也/片x,AOy/2,，H四-x,P六眸与陋—x=T一号X.止降变X二交X.后••・SNBF・2即y=--X2+^-X22

②—2+名」

37.22224•=」2/Q VO,••・当x=Xl时,12y最大值二一1证法二

①过点〃作6汽〃/8分别交皿、BC于G、R如图所示.•・・四边形是正方形，••・四边形4W和四边形67m都是矩形，△/G〃和△所都是等腰直角三角形.J GD=FOFP,GP=AG-BF,/PGA/PF—Q又「PB-PE,.BgFE,.GXFE,.XEFP^丛PGD SAS.二・P±PD.

②Z1=Z

2.「・Nl+N3=N2+N3=

90.••・/DPS.PEIPD.2

①:/片筋一旦・•・BQPG^^x，PE x.22「・S4PB所BF・P1-^-x=--x12222行.即、=」/+立％0x22分_12V2_1亚、21y——x Hx——x---H—・22224a=一■-VO,2，壬等寸,

9、如图，直线y=Lx+b与反比例函数y二k2x的图象交于A1,6,B a,3两点.1求k］、k2的值.2直接写出klx+b-k2x0时x的取值范围；3如图，等腰梯形OBCD中，BC〃OD,OB=CD,0D边在x轴上，过点C作CEL0D于点E,CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由・k_

110、如图12,已知直线〉=-x与双曲线y=-Z0交于4B两点,且点A的横坐标为

4.2x1求大的值；2若双曲线y=KZ0上一点的纵坐标为8,求△AOC的面积；3过原点的另一条直线/交双曲线=幺左0于P，两点P点在第一象限，若由点A B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.。