勾股定理背景历史和证明方法（多多益善）

勾股定理背景历史和证明方法（多多益善）商高定理商高是公元前十一世纪的中国人当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话商高说…故折矩，勾广三，股修四，经隅五商高那段话的意思就是（（说当直角三角形的两条直角边分别为3短边）和4长边）时，径隅（就是弦）则为5以后人们就简单地把这个事实说成勾三股四弦五〃这就是著名的勾股定理.关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说“故禹之所以治天下者，此数之所由生也此数指的是勾三股四弦五，这句话的意思就是说勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的毕达哥拉斯定理Pythagoras1theorem在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的因此又称此定理为毕达哥拉斯定理法国和比利时称它为驴桥定理，埃及称它为〃埃及三角形等但他们发现的时间都比我国要迟得多赵爽与勾股定理赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识他用几何图形的截、害U、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统

一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法,只是具体图形的分合移补略有不同而已中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位尤其是其中体现出来的形数统一〃的思想方法，更具有科学创新的重大意义事实上，〃形数统一〃的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件正如当代中国数学家吴文俊所说在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续应用就是求题，直角三角形知道2长边求第3边长

一、达纲要求

1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算

2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题

3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形

4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证

5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育

二、重点提示

1、重点勾股定理及其应用

2、难点勾股定理及其逆定理的证明

3、关键点灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算

三、方法技巧

1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便

2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高（或垂线段）构造直角三角形

3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据,它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊

四、典型考题示范例

1.若AABC的三外角的度数之比为3:4:5,最长边AB与最小边BC的关系是o分析因为三角形三个外角与三内角互补，三角形的内角和为180°,所以三外角的和为360°,这样三个外角的度数分别为90°,120°,150°,因而三角形之内角的度数分别为90°,60°,30，因而三角形是含30角的直角三角形，应用直角三角形，应用直角三角形的性质可以找到最长边与最短边的关系解设三角形的三个外角分别为3a,4a,5a,则有3a+4a+5a=360°,.•.a=30°3o（二904a=120°5a=150°故三角形三个角度数为zC=180°-90o=90o,zB=180°-）120=60,A=18C-150=30,AABC为含30的直角三角形O ON O OO「.，（.AB=2BC直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半）填AB=2BC评注本题应用勾股定理可以找到三边的关系，若已知一条边的长，可以求其余两边长。