北师大版《数学（拓展模块一上册》教案：第39课　平面向量内积的直角坐标运算

教案第四单元

4.

4.2《平面向量内积的直角坐标运算》授课题目平面向量内积的直角坐标运算授课课时2课型讲授知识与技能能由已知向量的坐标求出向量的内积；能根据已知向量和向量内学积分析向量之间的简单位置关系；标过程与方法将向量按平面直角坐标系分解成x,y方向，推导出向量内积的坐教标运算方法；利用知识点求解相关问题目情感态度在探究数学问题中感受获得知识的成就感；感受数学思维的逻辑性，严谨性，规范性教学重难点重点平面向量的内积的直角坐标运算方法；难点通过坐标判断两向量的位置关系（垂直，夹角等问题）第1课时教学活动学生活动设计思路将向量分

一、问题提出解,然后推用坐标表示向量后，向量的加法、减法和导向量内积的坐标运数乘运算都可以转换成坐标的代数运算算；那么，对于两个非零向量a与b,是否也可以用坐思考与回答标来计算向量的内积a■b呢？推导出结论

二、分析理解教学过程后，可以拓展如图1,平面直角坐标系的基本单位向量LJ思维分别算分析探究出X,y方向的模|i|=l,|j|=l,iJ=90，分解向量的因此，i■i=\i\2=1;内积,由于内理解记忆积是数量，可i j=\i\\j\cosi,j以直接相加=\i\\j\cos900=0j,j=\j\2=1-设两个非零向量a与b,它们的坐标分力为CL=x1i+y^j=+U丫其中％广光「、为实数.2/=%2＞2,2，y2从而a-b=x i+1yj,％2»+2/到2-i+7+x yj-i J=%12+yiy；2=x x|i|212+y yl；l212=%1%2+7172思考图1I回答提问

三、知识概括在平面直角坐标系中，如果两个非零向量分析在推导出=%以），（）b=x y2/29结论后，进一步思则a・b=+7172考一些特这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积殊情况，如向量垂之和直，夹角拓展思维:分别算出方向分解向量的内积，由于内X,y问题积是数量，可以直接相加我们还可以得出以下结论设两个非零向量a=（%i，yi），b=（%2，、2）

（1）|a|=V«■a=^x2+y2（向量模的计算公式）

（2）由于a_Lb=a・b=OOL A-b,fvp+y1y2=o可利用向量的坐标研究向量的垂直问题3cosa,b〉==/2叱+产2\a\\b\vxi2+yi2Vx22+y22可利用向量的坐标研究两个非零向量的夹角问题

四、知识巩固和应用例1判断下列各组向量是否互相垂直1a=1,2,b=-2,1；思考对应的例2a=-1,2,b=-3,

1.分析题思考和解1因为a-b=lx-2+2xl=0求解，加所以a1b.强知识的解答理解2因为a-b=-1x-3+2x1=51所以a与b不垂直提问例2已知a=—l,2,b=—3,1,求\a\,\b\a,b9解|a|=a•a=J—I2+22=V5,\b\—7b,b=J-I2=VTO,32+因为cosa b=f\a\\b\-1x-3+2xl V2—V5-V10-2因为0a b180°f所以V a b=45°f例3已知点AL2,B2,3425,求证荏LAC解证明AB=2,3-1,2=1,1ZC=-2,5-l,2=-3,3AB-AC=lx-3+1x3=0所以AB LAC第课时2教学活动学生活动设计思路

一、知识点回顾在平面直角坐标系中，如果两个非零向量=3，%），b=（x y）2f29则a・b=x x+y±yr22提示设点B=（%2/2）,则荏=思考回答（%2-x y一为），所以lf21=J-AB ABAB教学过程通过练习求解巩固知识点，=j（%2—%1）2+（、2—%）并加以运用，2这就是平面内两点间的距离公式提升思维能计算力

二、习题讲练提出问题习题1判断下列各组向量是否互相垂直1a=2,3,b=3,-2,解决问题2a=2,0,b=0,-13a=-2,1,b=3,4习题2下列相互垂直的一组向量是A、a=⑶—2,b=4,—6B、a=⑶―5,b=-5,3C、a=3,—5,b=-5,—3D、a=-3,2，b=4,-6习题3已知a=-1,2,b=匕1,a,b=45，求工解|a|22=倔=Va•a=J—l2+\b\=7b0b=Vx2+l2=V1+x2,匚、abcosab=\a\\b\fCOS45京久2=T+2X1_V21+2得22—%=VTo-V1+%2两边同时平方4x2—4%+4=10-1+%2得3%2+8%-3=0得r3%-1%+3=0所以或一3向量的内积比较抽象，可借助向量分解后分别求出内积，然后求和的方法增强记忆教学反思。