北师大版中职数学基础模块上册配套教案及课件：《三角函数》第8-9课时同角三角函数的基本关系

北师大中职数学《三角函数》单元教学设计第课时8-9授课题目

5.4同角三角函数的基本关系授课类型新授课建议学时2学时函数主线1第五单元三角函数单元知识概览J Ii11,1;;1;诱导［正、余弦函H已知三角函:角的概念弧度任意角的1公式］数图像性质!数值求角111同角三角函数基•1的推广H制三角函数本关系三角函数是重要的一种基本初等函数，是一类具有周期变化规律的重要数学模型，它是研究自然界中周期现象的重要数学工具，也是三角计算的重要基础，并广泛应用于电学、力学、工程学等领域.本课从三角函数的内容分析定义出发，利用单位圆将三角函数的基本性质与圆的几何性质进行关联，用联系的观点提出问题，获得研究思路；以单位圆上点的坐标的意义为基础，在单位圆中构造出直角三角形，利用勾股定理和三角函数的定义得出同角三角函数的基本关系，体现了数形结合的研究思想；在学习过程中经历同角三角函数基本关系的推导和利用关系进行“知一求二”的运算体现了方程的思想.

1.会根据三角函数的定义或借助单位圆，推导同角三角函数的平方关系和商数关系；

2.掌握同角三角函数基本关系式，并会通过一个三角函数值求出另外两个三角函数值,建立方程思想；知识目标

3.能运用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，总结提炼出化简与证明的一般方法.L亲历同角三角函数的基本关系推导过程，培养观察分析、逻辑推理能力；教学目标

2.在推导过程中，用联系的观点通过数形结合的方式，培养学生观察、分析、运算、推导的能力目标基本能力求任意自变量的函数值、函数的定义域提升学生的逻辑推理和数学运算能力.通过在单位圆中构造出直角二角形帮助学生用几何直观和代数运算的方法推出同角三角函数素质目标的基本关系，运用同角三角函数基本关系式进行简单的化简与证明，培养和提升学生的数学运算、直观想象和逻辑推理等核心素养.同角三角函数基关系式的推导；灵活运用同角三角函数的基本关系式解决相关问题.重点教学重难点已知角的正切函数值利用方程思想求角的正弦值和余弦值；三角函数值的各象限符号在平方难点关系中的应用.第三象限第四象限

2.若NA,ZB,NC是钝角三角形ABC的三个内角，则sinAcosBtanC的值.A.一定大于零B.一定小于零C.可能大于零D.一定等于零

3.在平面直角坐标系中，已知点P%y是角的终边与单位圆的交点，试利用任意角三角函数的定义计算sin1a+cos2a的值.附录2知识检测

1.完成特殊角的三角函数值得表格填写.a0°30°45°60°90°的弧度数sin acos atana

2.在0〜360或［0,2乃范围内，找出与下列各角终边相同的角:9/19万1390°2780°3——4——

453.试一试在平面直角坐标系中，已知点P%y是角的终边与单位圆的交点，试利用任意角三角函数的定义计算5%上和cos上的值.33教案设计李恒重庆市渝中职业教育中心教法任务驱动法、自主探究法教学方法学法合作学习法、讨论学习法

1.使用表格工具对各象限角的三角函数值的符号分布情况进行统计；教学资源2,使用云班课软件进行学生学习情况跟踪和知识检测.

1.利用单位圆引导学生推导同角三角函数的平方关系和商数关系，可将三角函数的基本性质与圆的几何性质进行关联，用联系的观点提出问题，获得研究思路，培养学生逻辑推理的核心素养；可设计平方关系的变式训练，蕴含函数与方程的数学思想，引导学生在变形推导的过程中感受数学的变换之趣，体现数学逻辑美的教育引导课程思政

2.在等式的证明过程中遵循“由繁到简”的原则，可鼓励学生多动脑、多尝试，通过观察、分析、对比等过程总结出多种常用的等式证明方法，在培养学生分析问题、解决问题能力的同时蕴含化归的数学思想方法教学过程第1学时【课前知识储备】

1.三角函数的定义，直角三角形的边角关系，勾股定理；

2.三角函数在各象限的符号分布；课前准备

3.单位圆.【学生知识储备检测】见附录1设计意图、课中教学环节教学内容教师活动学生活动媒体资源等L【复:如习回【使用软件】

1.使用软件平1图，i顾:

1.利用云班课软件平【软件答题】台进行知识检终边上一点Px,y,则台发布课前知识储备检没角a L学生在课前使用软查，既可以记测，引导学生完成任意角的终边件完成知识储备检测录学生学习情的三角函数定义的知识a内容.况，又逐步促回顾，并通过“想一想”Pjr.y进学生自主学的问题，将内容导向本O1J问题情境的思考.习能力的提升.

2.教师使用软件记录学OP=r=_生的学习过程，并根据课【自主探究】

2.以分享展示一sina=前完成情况有针对性的

1.学生独立进行自的形式进行同进行抽问和引导.情景导入cosa二主探究，完成知识回角三角函数的_________9tana-顾内容.平方关系的问题情境】【分享引导】

2.有困难的同学可题推导，促进课前准备环节中有一个想一想在平

2.□诩在小组的帮助下完学生探究能力

1.发布复习任务单；面直角坐标系中，已知点在，的题

2.检查并点评学生任成.的提升.:角的终边与单位圆的交点，任意目:尸务完成情况，给予学生课角三角函数的定义计算前任务完成情况的及时（职）是评价.试利用cos1的值.生展示解答情况.2sin a+学）L【情境分析】二【引导分析】合作探究

1.鼓励学生

1.根据学生在云班课平分享分析过台上的答题内容抽点同程，给学生提学进行展示回答.供展示的机会，逐步促进【完成任务】学生自主学

1.学生举手发表自习能力的提己的分析过程.升.在平面直角坐标系中，如图，已知点P%y是角2的终边与单位圆的交2,通过引导点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,2•引导学生利用所学探究，使学生的知识对同角三角函数OP=L

2.利用投影仪对学成为学习的的平方关系和商数关系根据正弦和余弦的定义可知，生的分析过程进辅主体，让学生进行尝试性地推导.助展示.在探究过程--------------sin a==;中对该节内r容的知识逐---------------cos a==.渐成长出来.r让学生一边在R/AOPM中，由勾股定理有展示一边分2+2=p2,析，既让学生熟悉了教学由点Px,y,有0M二,设备的使用，PM=,即

3.积极思考回答追又促进学生T+2=1,所以3,考虑到学生学习水问的问题.表达能力的平层次的不同，学生可提升.以让学生自主探究或小2sirra^cos a=.组合作探究完成本环在单位圆中有，节.sin a=Q;cos a=Q.兀根据正切的定义，当二w—+%〃

24.大胆的发表自己ZeZ时，可知，的想法，并进行推导3,尊重不同----------------过程的展示.学生的分析tan a,所以，si次z、cosa和幻脸的关思路，体现以学生为主体系有的教育观念.

2.【推导关系】【推导关系】已知点Px,y是角a的终边与单位圆

1.通过对推导过程的留白，引导学生利用勾股的交点.过点P作x轴的垂线,交x轴于M.则定理进行列式和代换，AOMP是直角三角形，且OP=r=l.从而完整的经根据正弦、余弦和正切的定义可知，在历利用单位圆推导同角

4.在老师的三角函数基本关系的过单位圆上，引导下主动程，形成同角三角函数sin a—y；cosa=x；思考，培养学基本关系式.生一定的逻ytan a--,xw

0.

5.在老师的引导下辑推理能力x完成推导过程，对知和运算能力，在Rt OPM中，由勾股定理有识点进行理解记忆.激励学生不断进取的求

2.对关系式得出的过程知精神.222OM+PM=OP=

1.进行示范展示，展现逻由点Px,y,有OM=x,PM=y,辑推理的过程.即f+y2=i.所以，siira+cos2a=

1.强调三角函数的平方的写法以角a正弦的平方为例，其表示方法为sir^a=Csina2，注意

3.注意对三角脚函数平方书写格式的辨析和sin2a wsina2＞明确书写的区别.“同角”和有意义情况显然，当a的终边与坐标轴重合时，这的关注.个公式也成立.根据正切的定义，当JTa^~+k兀也G Z时，sina---------tan7=.cosa强调公式中的“同角”两字，注意这的角而成立的.些关系式都是针对使它们有意义【概括引导】

1.【抽象概括】

1.明确平方一般地，可以得到同角三角函数的基本

1.教师进行概括，明确【习惯养成】关系和商数推导出的关系式分别为

1.在教材上对重点关系，提升学关系式平方关系和商数关系；公式进行勾划，对公生的抽象概1平方关系sin2a+cos1a=1;式进行理解记忆.括能力，加深对关系式的/、…sin a理解.------------------2商数关系tan a=.cos a

2.【尝试证明】三分组活动抽象概括利用三角函数的定义证明同角三角函数

2.引导学生的基本关系式，并派出代表进行分享.【引导证明】通过证明的

1.教师将公式推导转化方式对关系成公式证明，引导学生【推理证明】式再一次进再一次对同角三角函数

1.巩固同角三角函行推导，提升的基本关系式进行证数的基本关系式的学生独立的明.推导过程，用证明的逻辑推理能方式再一次进行推力.导.如图，设角a终边上一点Px,【发布任务】

1.【“知弦求切”例题讲解】

31.在变式训练的基础上【完成任务】四给出例题，疏通知识障例1已知cos==一，且a是第四象

1.学生板演解题过碍，引导学生进行例题分示范讲解程，老师给与点评.析.限的角，求sin和tantz.y，OP=r={X+y1,则y xsin a--,cos a--.r rytan a--.X由上式可得vVyV人.2ysin oc+cos ct——+一s yr【方法理解】

1.在具体的证明过22程中体会常用的等」+y

13.通过对常一产一’式证明方法.用的等式证明方法的归即sin1a+cos1a~1•纳总结，体现由正切函数的定义，当数学证明方71法的灵活性a中——1■左》左EZ时，2和数学“化繁为简”的2y rsin atan cc———,原则加强学x/cos a生对数学思r想方法的理sin anr!解和认识.-------------即tan a.cos a

3.【归纳总结】常用的等式证明方法

2.做好学习笔记.

4.以开放式1左推右；的探究活动2右推左；

3.利用成语“左右逢提高学生学源”引导学生理解常见3左右推中间；习兴趣，培养的等式证明方法.4左右差为零.学生的对公证明恒等式一般情况下遵循“由繁到式的推演能简”的原则，蕴含化归的数学思想方法.力，提升学生

4.引导学生归纳证明等数学运算和式的方法，体现数学证明

4.【变式探究】逻辑推理的方法的灵活性和数学以同角三角函数的基本关系式为对象进核心素养.行变式探究，请学生进行变式挑战，给出变式“化繁为简”的原则.

3.学生相互提问挑战的过程就是对关

1.在教师引让另一组说明变式过程.系式熟练掌握的过导分析的基程，提问学生将变式如以sir^a+cos1a=1为例通过移础上让学生的结论用一体机进完成例题，培

5.教师引导学生以挑战行投影，回答的学生项、开方得到sina=±Vl-cos2a等，养学生的为激励进行变式的开放也用一体机进行展注重学生的不同思维过程，体现方程思想.探究.示.分析由sir^a+cos1a=1,得sina-±Vl-cos2逻辑推理和a这种变形形式数学的符号表达能力.可直接使用，以便简化解题书写过程.解因为是第四象限的角，所以sin«

0.所以since=-Jl-cos2a

2.教师根据学情进行点

2.在变式探究之后22—cos«+cos a=1「3丫评，多对学生进行鼓励.进行例

1、例2的探

52.通过变式究性学习，思考给出与例题，引导-----角所在象限的作用，cos a=1学生感受给对比有无给出角所25sma tana=----在象限的条件时解出象限的条252cos a----------------------------------题的区别.件对角和值cos a169的限定作用，5因为角a是第三象限的角，所以cos a

0.感受数学表“知弦求切”的方法利用平方关系由正达的精确性.弦求余弦或由余弦求正弦，再利用商数关系所以cos二=—9,代入

①式，得13求正切.

2.【“知切求弦”例题讲解】

123.引导学生归纳推导过例2已知=一,且是第程，得出“知弦求切”和“知切求弦”的方三象限的角，求的正弦值和余弦值.法，强调在推演过程中123•通过对不注意角的象限与三角函分析由幻〃=一得，同类型题目sin a数值的正负关系.解题过程的cos a分析，归纳出sirra+cos2a=1

②组成方程组，可解

3.通过对例题的分“知弦求析，归纳出“知弦求出sin和cos的值.切”和“知切”和“知切求切求弦”的

5.12…sin a12弦”的一般方法.一般方法，渗解由tana=一得，----------------=一5cos a5透数学分类12概括的思想.即sina=—cos a・・•

①,把

①代入57力2+cos2a=1…

②，.12sma=一cos a512,

5、12（）=—x——=——.51313“知切求弦”的方法同时利用平方关系和商数关系得到关于正、余弦的方程组，再解L【对照练习】【发布任务】【完成任务】巩固知识内方程组得解.L让学生独立完成随堂练P177【随堂练习】1题.1,独立完成【随堂练容，培养独立

（五）习后点评.习】思考的学习习课堂练习

2.独立完成【课堂检惯，检测学生

2.【课堂检测】测】，并阐述理由.的学习情况.P177【随堂练习】2题.

2.教师巡视.

1.同角三角函数的基本关系【发布任务】【归纳总结】提升学生的归

（六）

（1）平方关系让学生归纳总结，多鼓励学生积极参与课堂小纳概括能力表扬参与者.结归纳，其它同学可

（2）商数关系课堂小结作补充.

2.常见等式的证明方法

3.“知切求弦”与“知切求弦”的方法.

5.4同角三角函数的基本关系简单明了，重点突出.

一、同角三角函数的基本关系

三、例题示范

四、课堂练习板书设计.

1.平方关系例

12.商数关系例2

一、常见等式的证明方法“知切求弦”与“知切求弦”的方法第2学时课中教学环节设计意图、教学内容教师活动学生活动媒体资源等L【知识回顾】抽学生对公式进行默写.默写公式.温故知新同角三角函数的基本关系

（一）

（1）平方关系sin1a+cos1a-1;复习导入c/n n

（2）商数关系tana=^-^.cos a

1.【变式探究】【布置任务】【变式训练】

1.强化变式训以同角三角函数的基本关系式为对象进

1.引导学生进行变式

1.学生完成变式训练，让学生熟训练.行变式探究，请学生进行变式训练.练，熟练掌握移项、悉平方关系的开方等运算.变式达标，为如sirva=\-cos2a，后续内容的完

2.教师巡视课堂，督促

（二）成奠定基础.学生完成变式任务.21•2合作探究cos a=i-sin a，si*二±，l-cos2a‘2cos a-±vl-sin a等*

（三）

1.【证明题讲解】【发布任务】【完成任务】

1.利用证明等

1.教师发起例题的联系

1.认真审题，联系式的一般例3求证示范讲解任务，引导学生先认真审题,再思考解变式探究的过程分方法分析题442・sin6if-cos a-2sin决题设.析题目.目，确定求证的思路，巩固证明,・44了等式证明sin«-cos a“匚刀.的方法.22

①2=sin a+cos sina-cos a2•2=sm a-cos a22=sin«-l-sin«

2.针对提出2=2sin«-l.

2.【化简题讲解】的问题进行合理分析和sin一cos

2.设问例4中sin

0、例4化简

2.回答利用商数关转化，培养学cos0与tan同时出现，tan1一怎么进行化简？系将正切转化为正生数学运算弦与余弦的比值，在和推理的能_sin0-cos0进一步进行变化.力.原式sin----------1cos_sin-cos sin8—coscos9cossin9-cos9=cos

3.

3.【化简求值题讲解】例5已知3,求〃4si0-2cos0的值.

3.指导学生小组合作完

3.对于有一5cos0+3sin0成例

5.定难度的题解方法一显然cos,

3.小组合作完成例目，运用小组

5.合作探究的Asin0-2cos0方式进行学5cos0+3sin6习，培养学生4sin62cos0团结协作的=cos9cos95cos63sin6意识.--------------------------1-----------------------cos6cos

04.学生完成例题后抽生进行展示讲解._4碗6_2_4X-3_2_7-

4.完成后主动积极5+3tan05+3x-32举手发言和分享讲

4.灵活运用•Z1方法二由勿〃8=业一=-3,得cos3解.商数关系进sin0--3cos

3.行构造或变Asin0-2cos0形，题目中蕴含化归的数

5.对学生的解题过程进学思想方法，5cos0+3sin0行点评并给予鼓励.旨在锻炼学4-3cos8-2cos0生灵活运用5cos8+3-3cos

85.对照不同的解题过公式的能力.程理解“弦化切”_-14cos9_7与“切化弦”一4cos02的不同运算思路.

4.【归纳总结】方法一的运算思路是由正弦、余弦函数变化为正切函数求出结果，我们简称为“弦化

6.教师进行方法点拨.切”；方法二的运算思路是由正切函数变化为正弦函数和余弦函数后求出结果，我们简称为“切化弦”.教师巡视指导独立完成巩固重要知识

1.【对照练习】

（五）P177【随堂练习】3题.课堂练习

2.【课堂检测】P177【习题

5.4】水平一5题.同角三角函数基本关系的灵活运用教师引导学生归纳总结梳理知识并归纳总结

（六）让学生学会学习课堂小结分层练习，满必做题P177【习题

5.4】水平一.布置作业足不同层次学选做题P177【习题

5.4】水平二.生需求

5.4同角三角函数的基本关系简单明了，重点突出.

一、同角三角函数的基本关系

三、例题示范

四、课堂练习板书设计

1.平方关系例

32.商数关系例4

二、常见等式的证明方法例

51.例5中已知tanB=-3,求上鳖■竺匕的值是一种“齐次式”类型的题目，此类试题体现了5cos0+3sin0数学的形式与逻辑美，请你以探究数学之美为内容，形成简单的研究文档，并以WORD文档的形式上传到云班课后拓展延伸课的学习任务内容中.

2.以小组为单位准备1-2分钟的研究分享展示，制作2页配套的展示PPT.

3.完成学习平台上的知识检测内容.反思诊改重点是教学反思附录1:学生知识储备检测L完成三角函数在各象限的符号分布表格填写（填“+”或.点的坐标2所在的象限sinacosatanaX y第一象限第二象限。