单元质检卷三　一元函数的导数及其应用

单元质检卷三一元函数的导数及其应用（时间分钟满分分）:120:150

一、选择题:本题共小题,每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项8540是符合题目要求的.（福建福州模拟，理）已知函数）为偶函数，当时次幻=/-巾（.工）,则曲线

1.20207/U x0y=/（）在处的切线方程为（）x x=lB.x-y-2=0A.x-y=0C.x+y-2=0D.3x-y-2=

0.设函数人划在上可导，其导函数为八）若函数人工）在x=l处取得极大值，则函数二-2R x,y灯）的图像可能是（）UC D3已知函数於）=x+l,ga）=lnx,若於i）=g（X2）,则X2-X1的最小值为（）A.l B.2+ln2C.2-ln2D.

24.已知定义在（0,+oo）上的函数/U）满足0口）/）0,且式2）=2,则的解集是（）（）（）A.-oo,ln2B.ln2,+ooC.（0,e2）D.（e2,+oo）

5.（2020北京房山区二模,5）函数«x）=e？的零点个数为（）A.O B.l C.2D.3（山东青岛月模拟）已知函数於）二臀若於）加-妥在（⑹上恒成立,为自然对数

6.20205,80,+e的底数，则实数机的取值范围是（）e.八A.me B.m-C.m\D.mVe

7.已知函数f（x）+\x-a|,g（x）=（2（2-l）x+a\n x,若函数）=/（尤）与函数y=g（x）的图像恰好有两个不同的交点，则实数，的取值范围为（）（）（）A.l,+oo B.-oo,l所以=2鼎釐；户°令尸^^,贝I］，=2xi+241n巧+巧・1%i3-41n令解得》=y=o,

1.当时单调递增，当九时〈单调递减，因此81yO,y011y O,y yN即6/17解当ci=l时虫竺J1v==z l+lnxx+l-xlnx_lnx+%+1♦=，所以小尸gxx+1”计以%+12乙即当时，切线的斜率为:，又切线过点所以切线方程为x=l1,0,x-2y-l=

0.乙_x+12-ax尸丑-岛-春34axx+l2八%=一岛》高，2当aQ时尸函数在上单调递减;@0,Fx0,+8当时，令二¥+号+=«o g4,当/〉即〃〉时，方程与+0,4设〈则X1,X2,XI X2,CL JQ,CL当即〃时》此时尸函数在上单调递增;/W0,0W4,/zx0,x0,Fx0,+ooa-2-yJa2-4a2_a-2+Va-4a所以此时，函数尸⑴在上单调递增，在上单调递减.0XllX2,0,X1,X2,+OQ X1,X2当a4时的单调递减区间是吆挛任,5%综上所述，当时尸的单调递减区间是；0X0,+oo・当0iW4时Fx的单调递增区间是0,+oo.Q2+JQ2-4Q

2118.角星fx=aex+axex--.1=ae+b=e-l所以9K;=2ae-l=2e-l,因为®fix rx+b在处的切线为=6zxe-ln x=l y=2e-lx-e,解得⑵由得,犬-如心:即m\一1xe-ln120,X令e-:-I,则—=令在上单调递增，则力:8%=/zx=%2e.x+]n%,/zx0,+82\11e良-夕-〃J=/11=0,1=e

0.所以以九在；』上存在零点xo,即焉即xoex°=^^-=In%xo=eg+ln xo=O,In—e o.xo%o由于在上单调递增，故即=—.y=xe0,+oo xo=ln—=-lnxo,e%o%0因为研幻在上单调递减，在上单调递增，所以°e°-ln%o-l=x0O,xo xo,+oo8xmin=1+%Q-1_^%0所以加实数机的取值范围为Wl.GjI].

19.⑴解以一〃%-1产-1h〉/x*22+1=

0.

①当时，令八〉得x0,0xl;令，得/x X

1.所以於在上单调递增，在上单调递减.0,1l,+oo1

②当a0时，令人得乙X=0,Xl=l,X2=y.Vv了当日时/%二生之所以八%在上单调递增.0,0,+oo11力当时，令八元〉，得-或元；乙乙0%31X1令八幻得丁乙0,X

1.X所以大幻在和上单调递增，在；」上单调递减.乙乙0,51,+00V4*Cv11龙当〃君时，令八得或六0x0,0xl x乙乙IX1令八得；乙x0,lx1/V所以在』和上单调递增，在上单调递减.«r0*,+001,*综上，当时在上单调递增，在上单调递减;4r0,11,+8当时/在上单调递增；乙0,+oo当退时於在和上单调递增，在%上单调递减；0l,+oo1当；时於在』和上单调递增，在；上单调递减.乙乙乙oa0g,+oo1,Cv VV证明由⑴知，当时段在和上单调递增，在』上单调递减.则20,J l,+oo gx乙乙乙CX X在和上单调递增，在加上单调递减.因为所以是函数⑴的一乙乙i,+8gi=o,18CX vv个零点，且g*

0.当,°，，时，取-1且贝axo xo+a+]=ax^-xo-2axo+a+lOxoe^xo*,U-27+1a+l,gxo-a-l+a+\=

0.所以；〈所以在；上恰有一个零点，所以在区间,+上有乙g,gxo O,gx0,gx8X乙X两个零点.

20.解⑴由题意知设切点为在点尸处的切线方程为y-/x=lnx+lx0,Pxo,xolnxo.l,xoln xo-l=l整理得+ln xox-xo♦=1+ln xox-xo+l..1+In x=k-

1.0由711k=X+19即得]nxoro-l[1—*Y*令则h\x=--1-—/zx=lnx-x+l,当时在上单调递增；0xl xO,/zx0,1当x\时在上单调递减.,/zxO,/ix l,+oo所以尤的最大值为即故左/z/zl=O,xo=l,=

2.令・则尸〉2Fx=«x-gx=xln x lx+Z,x=ln x+2-Z=ln x-Z-2xl.

①当匕时2WO/Q0,所以在上单调递增.“X1,+00所以尸㈤〉刀即在上无零点.1=1,Fx1,+8

②当匕时，由，得户20Fx=O#

2.当〈破时尸幻所以尸%在上单调递减;1cx20,1,a2当%破时尸⑴所以方在上单调递增.20,x a2,+00Fx的最小值为左-破女#=攵-Fe%2=12_2-1J

2.令加伏尸破贝加纸=破所以加左在上单调递减，而皿Z-2,1-20,2,+oo2=2-・因此人的最大值为l=lj%3=3-e0,/n4=4e20,

3.

21.⑴解/当％时段故人工=可得川所以曲线尸於在=6=/+61nx,3/+2=1=9,X点次处的切线方程为广即广二1D1=9*1,9X-

80.力依题意,从而可得g\x=3x2-6x+--当整理可得XX Xgx=x

3.3f+61n x+3,x0,+oo.3*jy+l.令解得x=l.g%=gx=0,当变化时的变化情况如下表X,gx,gx0,111,+8Xgx0极小Z值所以，函数的单调递减区间为』,单调递增区间为的极小值为无极大gx0l,+oo;gx gl=l,值.证明由於=无得上对任意的孙金［且工犬令=〉则29+011121,+8,12,1,XX令x,x/ix=x---21n£1,+oo.当%时〃幻=妥一|=11+l]20,由此可得〃划在上单调递增，1,+81所以当t\时/⑺〉/即t

0.zl,z-y-21n因为323l,z-3/+3r-l=f-l0,Z:^-3,所以芯3左；户

②Z-3»+38+1-21n/^-3^+3^-1-3G-1-21n=H3+61n r+f-

1.1/L L由方可知，当t\时,⑺〉⑴即什故〉.

③1g g,P4P+Sn1,/MP+Snl+lL L由

①②③可得⑶；-X2/Xl4/X2]-2[/Ul/X2]

0.所以，当、时，对任意的孙且％有八*¥*2//力@2-3X2£[1,+00,1%2,

22.证明⑴因为八=〉所以在,+上存在零点.因为1-\/2=©2242©2-40,y=«r8所以当x0时故函数段在+上单调递增，所以函数产/㈤在/x=eM,/x0,80,+oo上有唯一零点.2

①令gx=ev--X-1x20,g\x-^x-x-\=/x+〃-1,由ZW函数g x在［上单调递增，故当时,所以函数在［上单调递增,故0,+oo x0g3g0=0,gx0,+oo由闻了得人闻石尸师司-画刁-二汽%g%5g0=

0.g20,e200,因为式%在［上单调递增，故，艰石0,+oo xo.令，・/zx10l,/z3=e2x-l,令所以/zix=eX-2x-l0WxW l,/zix=e2O,ln InIn1X222,1e-Ih tv012c-/zi.v03故当时，即所以人在［］上单调递减,因此当owe时oxi0avo,y10,o,i jaw/zo=o.由得人而工〃a-1WO,a-1=e—A/a-l-WO=/xo,因为在［，上单调递增，故/x0+8X

0.综上,XO J2a-

1.2^-ux Ar¥=e-e-x=e-e-1,所以当％时故函数”%在区间［上单调递增，1,/%0,1,+00因此〃xN l=O.由、可得］由得xofex°〃e o=x+a XQ/exoLxq/ao+QLe-Dxl+aeZxoNeDa%,xo2e-1-1aC.0,+oo D.-oo,

08.（2020河南新乡三模，理12）已知函数於尸/-@金D］）与g（x）=e，的图像上存在两对关于直线产对称的点,则实数a的取值范围是（）xA1B（l，eTA.e--,eeiD・

二、选择题:本题共小题,每小题分，共分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目4520要求.全部选对的得分，有选错的得分,部分选对的得分.503（山东潍坊临的模拟二）已知函数段）是函数段）的极值点，以下结论中正确的

9.2020,12=xlnx+fxo是（）11A.Oxo—B.x（）—e e/项）+）C2xo0D/xo+2xo

010.（2020山东聊城二模』0）下列关于函数1］）=r-3工2+2］的叙述正确的是（）函数为有三个零点A.0点（）是函数段）图像的对称中心B.1,

0.函数八元）的极大值点为C存在实数使得函数（）［（）劭㈤在上为增函数D.4,g x=/x p+R（海南天一大联考第三次模拟』）已知函数於）》,其中力则下列选项中的条

11.20202=%3+/+£R,件使得«x）仅有一个零点的有（）为奇函数B.4Z=ln（/2+l）C.a=-3,/2-40|lnx|,x0,exx+若方程）-矶）有六个不等的（山东师大附中月考/）设函数尸L/U x+2=

012.20202/Ul,x0,Da0,/+j0o实数根，则实数可能的取值是（）1*B.1C.l D.2三填空题:本题共小题,每小题分，共分.4520（山东、海南两省月模拟）函数）饕在点（））处的切线与直线垂

13.20204,13/U=P1yU2x+y-3=01直，则a-.

14.设若函数在区间」上单调递减,则实数a的取值范围为.«x=*lnx-a,«x[

415.已知函数■口大若对{x\g{x}=y[x+]-%},级使/x=kg2X,gx=V^+1a0,Vxi£2£[4,16],3=於成立,则实数a的取值范围是.

216.已知函数田㈤二加-心式〉.若直线与函数产的图像均相切，./x=2In1y=2x-b y=/x,gx则a的值乙为港总存在直线与函数广危的图像均相切，则a的取值范围是.,y=gx

四、解答题:本题共小题，共分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.

67017.10分河南郑州质量预测二，理已知函数次光尸也,=也202021gx x

0.CL X⑴当时,求曲线处的切线方程;4=1y=x=l1⑵讨论函数在上的单调性.Fx=/U.J^0,+oc9^分河南开封三模，理已知函数、-在处的切线方程为

18.12202020/U=6ue lnx+gz/£R x=l y=2e-lx-e.⑴求力值；Q若应¥后如恒成立，求实数m的取值范围.

219.12分2020陕西宝鸡三模，文21已知函数,/x=lnx+加・2a+lx,a£R/x为/U的导函数.⑴讨论人犬的单调性；⑵若当时,求证:有两个零点.gx=/x+a+l,gx分辽宁大连一中月模拟，文已知函数火匕火上

20.122020620x=xln/l,gx=1%R.若直线是曲线的一条切线，求k的直1y=gx y=*x⑵当时，直线与曲线无交点，求整数k的最大值.%1y=gx y=«x+l分天津已知函数,危尸始+攵足耳攵金玲了㈤为人处的导函数.

21.122020,20⑴当％时，=6，求曲线厂於在点川处的切线方程；1方求函数的单调区间和极值.gx=/x/x+2⑵当k-3时，求证:对任意的孙松£[1,+8,且丁2,有―,2/玛・/%

2.Z Xi-X

22.12分2020浙江,22已知1〈於2,函数危尸e”其中e=

2.

71828.・.是自然对数的底数.⑴证明:函数在上有唯一零点.y=/x0,+oo⑵记项为函数在上的零点,证明0,+ooSxqfeXo a.e-1a-1参考答案单元质检卷三一元函数的导数及其应用i.A当x0时,次㈤=%2」!!%又函数/为偶函数，所以2所以-x0x/x=x-ln%1=1,1八；故切线方程为即,故选x=2x-/l=l,y-l=x-l,x-y=0A.因为函数次划在上可导且火在处取得极大值，所以当时当尤=时〃幻=

2.B Rx x=l xl/xvO;10;当时八工〉%

10.所以当x0时,y=R\x0,当0x〈l时,丁二・犷00,当x=0或x=l时=-4\幻=0,当x\时尸讨〉x0,可知选项符合题意.故选B B.设所以所以令他尸，测〃/=，所以〃⑺

3.D/xi=gx2=/,xi=/-l/2=el X2-X1=U-/+1,e+l e-l,在上单调递减，在上单调递增，所以〃-00,00,+8min=/z0=

2.

4.A令二出,=理婴®则在上单调递减，且竽故八口-gx gQ0,gx0,+8g2==1,乙X X、等价为牛与，即、以故即则所求的解集为.故选e0ge2,e2,xln2,-oo,ln2A.

5.B令/幻二小/二,得分别画出产和产一的图像，如图所示，e*=x2,e当时，函数和有一个交点.x0y=e*当时工尸已丫工，x0令gx=e-2x,则夕%=当时，可得82gx=x=ln

2.当时,〈单调递减，当时单调递增.所以x£0,ln2gQ0,gx x£ln2,+s,gQ0,gxln2gxmin=gln2=e-21n2=2-ln40,所以在上单调递增.“X0,+8又因为所以当工£时於.故於在上无零点.40=1,0,+800,+8综上，函数兀^尸^-%2的零点个数为.故选1B.

11.

6.B若fix在上恒成立，即fix+—m在上恒成立，X X0,+oo0,+oo令力工+,=故只需即可，gx gxmaxrn10--x2-lnx+l-2x-21nx-l，令夕工=,得工=入___________________________________________________■_________________________________0-2,当刀时,当时,,0cxve g%0;xeN gxv所以在上单调递增，在上单调递减,gx0©2eZ+oo所以gXmax=ge_2=|,所以实数机的取值范围是〃弓乙2故选B.当时函数的定义域为所以只研究这两个函数在上的图像，当时次Q’o gx0,+oo,X£0,+GO“WO外单调递增，又单调递减，两者的图像最多只有一个交点，不符合题意.当a0时,gx2xa,.x2+x-2ax-alnx+a,0设夕⑴守㈤吆⑴,即叭x=因为2-2ax-alnx-a,xa,2x-a--xa.0,0《X2x a所以在上单调递减上单调递增，所以9x=0x0,,Q,+OO等l2x-a+0/2a,夕〃因为一时必一所以有两个零点，当且仅当xmin=-4-Qln+a,x-0,x+oo x+oo,gx〃〃解得即〃的取值范围为9Xmin=-2-aln+”0,l,+oc.与的图像在，］上存在两对关于直线对称的点,则函数与函

8.B70gx xGk y=x/x数的图像在］上有两个交点，•:2在上有两个实数解，即a=%-等在xE，9x=lnx xE,e Inxr-^,e上有两个实数解，令-塔则h%=%;厂3=%「1令依心在回刊上单调递增，且=/+%1-1=0,「11•:当尤时,/以%单调递减;当］时，力单调递增.•:-1%0,x£l,e%01%.e_9/zxmin—/ll—

1.:•函数

29.AD«x=:dn x+x x0,•:八x+l+2x.x=ln是函数的极值点，7%0H%,即•/xo=In xo+1+2x0=0,:了%在上单调递增，且0,+8=|0,1又一，〈/〈彳,即选项正确，选项不正确；x0/x--00,A B〉即选项正确，选项不正确.故选/xo+2xo=xolnxo+/+2xo=xolnxo+xo+2=xol-xo O,D CAD.令即解得x=0或或故函数於有三个零点，故选项正确;

10.ABC/x=0,xx-lx-2=0,x=l x=2,A因为川+%㈤所以点是函数图像的对称中心,故选项正确；令八解得笔故471=0,1,01%B x=2段在上单调递增，在^^,注编上单调-00,O D DD递减，在（）上单调递增,函数段）的极大值点为尸-噌故选项正确;因为段）在@W+oo1C上不单调，所以不存在实数使得函数（尸伏㈤产+联幻在上为增函数，故错误.故选R4,g%R DABC.

11.BD由题知八幻=〃.对于由於）是奇函数，知=因为〃所以兀）存在两个极值点，3/+A,0,0,x易知）有三个零点，故A错误;对于B,因为从+所以（）所以工）单调递增，则/U121,2o/x2o,1人幻仅有一个零点，故正确;对于若取=则於）的极大值为八-）极小值为川）此B C,2,1=4,=0,时（）有两个零点，故错误;对于/x C极小值为，（巧）=+等因为〃所以染所以〃一号2+贝!与75373r|z/o z/375IQ或吟月，从而/（-月底或人旧〃“旧）可知府）仅有一个零0,点，故正确D

12.BC当时次））xWO x=ep+l,则f（x）=eA（x+）x x（）l+e=e x+

2.由（）得即此时段）单调递减，/x0,x+20,xv-2,由f（x）0得〉即此时次划单调递增，/+20,-2vxW0,1即当时次）取得极小值#）全，作出段）的图像如图:x=-2x-2=-由图像可知当（）时,有三个不同的的取值与式幻对应.0/x Wlx设可幻,因为方程师）］一砒有六个不等的实数根，20+2=0lo所以^at+^-=Q在旧（］内有两个不等的实数根,0,1设⑺=心〃什心g10e61l-a+-05p00,1-4x――0,16Q CL910,/声，110,六幺01,I解得三圣结合选项可知实数可能是|或故选1,BC.Z lo3^ex-aex\nx^-alnx.|由题意，得fx=13Jxf___________________________________________________________________吟2［］上恒成立.因为、所以只需由题意可得/在e e0,In

14.[e-l,+oo xTeJlnx+l-Q WO1-X+-QO,X上恒成立.令gx=lnx+-.X即力［在n%+因为=筌油得％.则在上单调递减，在上单调递增，g%=gx=O,=1gx1l,e；因为；g=ln+e=e-l,ge=l+£,e-11+,所以一/gXmax=g1=e-

1.故a的取值范围为［・e l,+oo.［］结合题意可得

15.4,8log24=2W/xWlog216=4,要使得对仁［x\gx=y/x妆［］使成立,Vxi+7^^}304,16,gxi=/3则要求的值域在［］上，对求导得以加幅福gx2,4gx乙人VL人V y令〉解得结合该函数的定义域为「乙gx O,x*0,0,可知在-上单调递增，在-上单调递减，故在取到最大值，在X=Ogx

5.M gx

16.|由题意因为直线y=2x-b与函数可⑴，产的图|+oo/a=|gx=2ox-l,y gx5像均相切，所以旧一/解得工=设直线/与广形的图像相切于点1,4取到最小值,所以2需ax要-1满=足2,212则切线方程为x\代入以幻=〃/*彳〃:得一人-x\=ax2-Pi3,yi,xi0,y-21n=—x-xi,0,2+2111%i巧z*,即

2.所以ax-4-9%+|-21n%J=0/=14-§-4aX Q-21n%J=

0.。